Zadania na ćwiczenia rachunkowe z fizyki
dla studentów Fizyki Technicznej, rok I, sem. 1
Część II. Kinematyka
II.1) Ruch punktu materialnego opisany jest równaniem:
b
x( t) =
ct + e −ct ,
c 2
gdzie b, c — stałe dodatnie. Znaleźć: a) prędkość początkową, b) maksymalną prędkość, c) maksymalne przyspieszenie punktu.
II.2) Zależność przebytej przez ciało drogi od czasu wyraża się wzorem: s( t) = at 4 −bt 2. Znajdź ekstremalną wartość prędkości ciała. Sporządź wykres zależności prędkości chwilowej od czasu.
II.3) Korzystając z ogólnych definicji prędkości i przyspieszenia wyprowadź
równania ruchu jednostajnie zmiennego w przypadku jednowymiarowym.
II.4) Cząstka porusza się w dodatnim kierunku osi x. Jej prędkość v zależy od x zgodnie ze wzorem v = αx, gdzie α jest stałą dodatnią. Wyznaczyć: a) zależność prędkości od czasu, b) średnią prędkość cząstki w czasie, w którym przebędzie ona pierwszych s metrów drogi. Przyjąć, że x = x 0 dla t = 0.
II.5) Ruch punktu materialnego opisują równania: x( t) = αt, y( t) = βt−γt 2.
Znaleźć: a) równanie toru, b) prędkość i przyspieszenie po czasie t, c) kąt między wektorami prędkości i przyspieszenia po czasie t.
II.6) Promień wodzący punktu materialnego zmienia się w czasie w nastę-
pujący sposób: ~r( t) = 5 t~ı + exp( −t) ~ + sin(4 t) ~k. Znaleźć zależność od czasu prędkości punktu oraz jego przyspieszenia.
II.7) Dwie cząstki poruszają się w prostokątnym układzie współrzędnych ze stałymi prędkościami: ~v 1 = 2 ~ı [m/s] i ~v 2 = 3 ~ [m/s]. W chwili t = 0
cząstki te znajdują się odpowiednio w punktach: ~r 1 = − 3 ~ı [m] oraz ~r 2 = − 3 ~
[m]. Znaleźć wektor określający położenie cząstki pierwszej względem drugiej.
Wyznaczyć czas, w którym cząstki zbliżą się na najmniejszą odległość oraz położenia cząstek w tej chwili.
II.8) Równania ruchu dwóch punktów wyglądają jak następuje:
~r 1( t) = (0 , 2 , 0) + (3 , 1 , 2) t + (1 , 1 , 0) t 2 [m] , 1
~r 2( t) = (1 , 0 , 1) + (0 , 2 , 1) t [m] .
Znaleźć prędkość i przyspieszenie punktu drugiego względem pierwszego.
II.9) Po rzece płynie łódka ze stałą względem wody prędkością v 1, prostopa-dłą do kierunku prądu. Woda w rzece płynie wszędzie równolegle do brzegów, ale wartość jej prędkości zależy od odległości od brzegów i dana jest wzorem v 2 = v 0 sin ( πy/L), gdzie v 0 i L są stałymi ( L jest szerokością rzeki). Znaleźć: a) wartość prędkości łódki względem nieruchomych brzegów, b) kształt toru łódki.
II.10) Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu R = 1 , 2 m ru-chem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem stycznym at = 2 m/s2.
Po jakim czasie przyspieszenie normalne będzie k = 3 razy większe od przyspieszenia stycznego?
II.11) Wentylator obraca się, wykonując n = 3000 obr/min. Po wyłączeniu prądu wentylator zatrzymuje się po czasie t = 3 min. Ile obrotów wykonają śmigła wentylatora podczas hamowania?
II.12) Punkty leżące wzdłuż promienia obracającego się koła przebywają drogę kątową, zależną od czasu zgodnie z równaniem: α = At−Bt 3, gdzie A =
0 , 3 rad/s, B = 0 , 01 rad/s3. Znaleźć dla tych punktów zależność prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego od czasu. Wyznaczyć prędkość liniową oraz całkowite przyspieszenie punktów leżących na obwodzie koła w chwili t = 5
s, jeżeli promień koła wynosi R = 0 , 5 m.
II.13) Wektor wodzący, określający położenie punktu materialnego, zmienia się z czasem zgodnie z równaniem: ~r( t) = r 0 ( ~ı sin ωt + ~ cos ωt), gdzie r 0 = 5
cm, ω = π/ 2 s − 1. Znaleźć wektor prędkości i wektor przyspieszenia, podać ich bezwzględne wartości i obliczyć kąt, jaki tworzy wektor wodzący z wektorem prędkości liniowej.
II.14) Koło o promieniu R toczy się bez poślizgu po poziomym podłożu ze stałą prędkością v 0. Znaleźć długości wektorów prędkości i przyspieszenia dowolnego punktu na obwodzie koła. Podać równanie toru tego punktu, przyjmując, że dla t = 0 jego współrzędne wynosiły x = 0, y = 0, natomiast współrzędne środka koła były równe x = 0, y = R. Obliczyć całkowitą drogę przebytą przez punkt leżący na obwodzie koła między kolejnymi zetknięciami tego punktu z podłożem.
2
Odpowiedzi
II.1) a) v(0) = 0, b) vmax = v( ∞) = b/c, c) amax = a(0) = c.
q
II.2) v
b
ext = ± 4 b
.
3
6 a
II.3) x = x 0 + v 0 t + a 0 t 2 (dla t = 0 x = x 2
0 i v = v 0).
II.4) a) v( t) = ax 0e at, b) vś r =
as
.
ln(1+ s/x 0)
II.5) a) y( x) = −γx 2 + βx, b) ~v( t) = α~ı + ( β − 2 γt) ~, ~a( t) = − 2 γ~, α 2
α
c) tg δ =
α
.
β− 2 γt
II.6) ~v( t) = 5 ~ı − exp( −t) ~ + 4 cos(4 t) ~k, ~a( t) = exp( −t) ~ − 16 sin(4 t) ~k, II.7) ~r 12( t) = ( − 3 + 2 t) ~ı + 3(1 − t) ~ [m], t 0 = 1 , 154 [s], ~r 1( t 0) = − 0 , 692 ~ı [m],
~r 2( t 0) = 0 , 462 ~ [m].
II.8) ~v( t) = −(3 + 2 t) ~ı + (1 − 2 t) ~ − ~k [m/s], ~a( t) = − 2 ~ı − 2 ~ [m/s2].
q
II.9) a) v( y) =
v 21 + v 20 sin2( πy/L), b) x( y) = Lv 0 [1 − cos ( πy/L)].
πv 1
q
II.10) t =
kR ≈ 1 , 34 s.
at
II.11) N = 1 nt = 4500 obr.
2
II.12) ω = A − 3 Bt 2, ε = − 6 Bt, v = ( A − 3 Bt 2) R = − 0 , 225 m/s, at = − 6 BtR = − 0 , 15 m/s2.
II.13) ~v = ωr 0 ( ~ı cos ωt − ~ sin ωt), ~a = −ω 2 r 0 ( ~ı sin ωt + ~ cos ωt), v = ωr 0 = 5 π/ 2 cm/s, a = ω 2 r 0 = 5 π 2 / 4 cm/s2, α = π/ 2.
II.14) v = 2 Rω| sin ωt |, a = Rω 2, gdzie ω = v 2
0 /R,
q
x = R arc cos R−y −
y(2 R − y), s = 8 R.
R
3
Wzory
1. Kinematyka punktu materialnego
a) równania ruchu (rys. 1):
~r = ~r( t)
x = x( t) , y = y( t) , z = z( t) droga:
s = s( t)
b) równania toru:
y = y( x) , z = z( x) c) prędkość:
d~r
~v = dt
dx
vx =
, . . .
dt
ds
v = dt
[ v] = m/s
d) przyspieszenie:
d~v
d 2 ~r
~a =
=
dt
dt 2
dv
d 2 x
a
x
x =
=
, . . .
dt
dt 2
[ a] = m/s2
e) przyspieszenie styczne i normalne (rys. 2):
dv
d 2 s
at =
=
dt
dt 2
4
v 2
an = ρ
ρ — promień krzywizny toru
f) ruch jednostajny prostoliniowy:
~v = ~v 0 = const
~r = ~r 0 + ~v 0 t
(dla t = 0 ~r = ~r 0)
g) ruch jednostajnie zmienny:
~a = ~a 0 = const
~v = ~v 0 + ~a 0 t
~a
~r = ~r
0 t 2
0 + ~
v 0 t + 2
(dla t = 0 ~r = ~r 0 i ~v = ~v 0) 2. Kinematyka ruchu obrotowego ciała sztywnego
a) równanie ruchu (rys. 3):
ϕ = ϕ( t)
[ ϕ] = rad
b) prędkość kątowa:
dϕ
ω = dt
[ ω] = rad/s
c) przyspieszenie kątowe:
dω
d 2 ϕ
ε =
=
dt
dt 2
[ ε] = rad/s2
d) związki między ~v, ~at i ~an oraz ~ω i ~ε (rys. 4a,b):
~v = ~ω × ~r
5
~at = ~ε × ~r
~an = −ω 2 ~r
e) ruch obrotowy jednostajny:
ω = ω 0 = const
ϕ = ϕ 0 + ω 0 t
(dla t = 0 ϕ = ϕ 0)
2 π
ω 0 =
= 2 πν
T
T — okres, [ T ] = s, ν — częstotliwość, [ ν] = s − 1
f) ruch obrotowy jednostajnie zmienny:
ε = ε 0 = const
ω = ω 0 + ε 0 t
ε
ϕ = ϕ
0 t 2
0 + ω 0 t +
2
(dla t = 0 ϕ = ϕ 0 i ω = ω 0) z
A
t = 0
t
s
A'
r
y
O
x
Rysunek 1:
Rysunek 2:
6
Rysunek 4:
7