Zadania na ćwiczenia rachunkowe z fizyki
dla studentów Fizyki Technicznej, rok I, sem. 1
Część IIIC. Dynamika punktu materialnego — praca i energia
IIIC.1) Wciągarka ustawiona na wysokości h przeznaczona jest do wciągania skrzyń o masie m z punktu A do B po chropowatej równi pochyłej tworzącej kąt α z poziomem. Obliczyć pracę, jaka zostaje wykonana przy wciąganiu jednej skrzyni ze stałą prędkością v 0 wiedząc, że współczynnik tarcia między skrzynią a powierzchnią równi wynosi f . Znaleźć moc wciągarki. Przyspieszenie ziemskie wynosi g.
IIIC.2) Parowóz o mocy P = 600 kW ciągnie pociąg o masie całkowitej m = 500 t. Współczynnik tarcia wynosi f = 0 , 02 a przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2. Jakie będzie przyspieszenie pociągu w chwili, gdy jego prędkość osiągnie wartość v = 1 m/s? Jaka będzie maksymalna prędkość pociągu?
IIIC.3) Deska o masie m i długości l leży na granicy zetknięcia dwóch stołów, na stole pierwszym. Jaką minimalną pracę należy wykonać, aby przesunąć ją ze stołu pierwszego na drugi, jeżeli współczynniki tarcia pomiędzy de-ską a stołem wynoszą f 1 i f 2, odpowiednio dla pierwszego i drugiego stołu, a przyspieszenie ziemskie g?
IIIC.4) Walec o wysokości h, promieniu podstawy R i gęstości ρ 1 pływa w naczyniu wypełnionym cieczą o gęstości ρ 2 ( ρ 2 > ρ 1). Oś walca jest prosto-padła do do podstawy naczynia. Obliczyć pracę, jaką należy wykonać, aby walec zanurzyć całkowicie w cieczy. Przyspieszenie ziemskie wynosi g.
IIIC.5) W wesołym miasteczku zbudowano „diabelską pętlę” o promieniu R.
Obliczyć, jaka powinna być minimalna wysokość H zjeżdżalni dla wózków, aby mijały one bezpiecznie (nie odrywając się od toru) najwyższy punkt pętli? Opory ruchu pominąć.
IIIC.6) Na szczycie gładkiej kuli o promieniu R położono monetę, której następnie nadano prędkość początkową v 0 w kierunku poziomym. W którym miejscu, licząc od wierzchołka kuli, moneta oderwie się od niej? Przyspieszenie ziemskie jest równe g.
1
IIIC.7) Na stole leży lina o długości l. Po wysunięciu niewielkiego odcinka liny poza krawędź stołu lina zaczyna się z niego ześlizgiwać. Zaniedbując tarcie znaleźć zależność prędkości liny od długości x jej zwisającego odcinka.
Przyspieszenie ziemskie wynosi g.
IIIC.8) Piłeczka pingpongowa po uderzeniu o podłogę traci 1 /k część swojej energii kinetycznej ( k > 1). Znaleźć całkowitą drogę, jaką przebędzie piłeczka zrzucona z wysokości h aż do chwili zatrzymania się.
IIIC.9) Sanki ześlizgują się z oblodzonego pagórka, którego zbocze ma dłu-gość l = 10 m i jest nachylone pod kątem α = 30 ◦ do poziomu. Jaką odległość przebędą sanki na odcinku poziomym po zjechaniu ze zbocza, jeżeli na całej drodze współczynnik tarcia wynosi f = 0 , 02?
IIIC.10) Po sznurze o długości l wiszącym pionowo zsuwa się pierścień o masie m. Przy końcu sznura pierścień ma prędkość n = 3 razy mniejszą niż miałby, gdyby spadał swobodnie. Ile ciepła wydzieliło się przy zsuwaniu pier-
ścienia? Przyspieszenie ziemskie jest równe g.
IIIC.11) Pocisk został wystrzelony z powierzchni Ziemi pionowo do góry z prędkością początkową v 0 = 1 km/s. Uwzględniając zmianę siły ciężkości z wysokością znaleźć maksymalną wysokość, na jaką wzniesie się pocisk nad powierzchnię Ziemi. Promień Ziemi wynosi Rz ≈ 6400 km a przyspieszenie ziemskie jest równe g ≈ 10 m/s2. Jaka powinna być minimalna prędkość pocisku, aby nie wrócił on na Ziemię?
IIIC.12) Obliczyć minimalną pracę potrzebną do umieszczenia satelity o masie m = 100 kg na orbicie kołowej, przebiegającej a) na niewielkiej wysokości nad powierzchnią Ziemi, b) na wysokości równej promieniowi Ziemi. Promień Ziemi Rz ≈ 6400 km, przyspieszenie ziemskie g ≈ 10 m/s2.
Odpowiedzi
IIIC.1) W = mgh (1 + f ctg α), P = mgv 0 (sin α + f cos α).
IIIC.2) a = P/mv − fg = 1 m/s2, vmax = P/fmg = 6 m/s.
IIIC.3) W = 1 ( f
2
1 + f 2) mgl.
2
IIIC.4) W = πR 2 h 2( ρ 2 −ρ 1)2 g .
2 ρ 2
IIIC.5) H = 5 R.
2
IIIC.6) x = R
v 2
0 .
3 − 3 g
q
IIIC.7) v =
g x.
l
IIIC.8) s = (2 k − 1) h.
IIIC.9) d = l (sin α − f cos α) /f = 241 m.
IIIC.10) Q = 8 mgL.
9
√
IIIC.11) h =
v 2 R
0
z
= 50 km, v
2 gR
2 gR
0 min =
z = 11 , 2 km/s.
z −v 2
0
IIIC.12) a) W = 1 mgR
mgR
2
z = 3 , 2 GJ, b) W = 3
4
z = 4 , 8 GJ.
Wzory
1. Praca
a) stała siła, ruch prostoliniowy (rys. 1):
W = ~
F · ~s = F s cos α
b) zmienna siła, ruch prostoliniowy w kierunku działania siły (rys. 2): Z
x 2
W =
F dx
x 1
[ W ] = J = N ·m = kg · m2/s2
2. Moc
dW
P = dt
Jeżeli P = const, to
W
P = t
3
[ P ] = W = J/s = kg · m2/s3
3. Energia kinetyczna
mv 2
Ek = 2
Jeżeli energia potencjalna ciała Ep = const, to praca działających na ciało sił (rys. 3)
W 1 − 2 = Ek 2 − Ek 1
[ Ek] = J.
4. Energia potencjalna
Może być zdefiniowana tylko dla sił zachowawczych, których praca nie zależy od drogi. Jeżeli energia kinetyczna ciała Ek = const, to praca działających na ciało sił (rys. 3)
W 1 − 2 = Ep 1 − Ep 2
[ Ep] = J.
a) siła ciężkości, P = mg:
Ep = mgh
b) siła oddziaływania grawitacyjnego, F = G mM
r 2
( G = 6 , 685 · 10 − 11 N · m2/kg2 — stała grawitacyjna): mM
Ep = −G r
5. Zasada zachowania energii mechanicznej
Dla ciała, na które działają siły zachowawcze, zachodzi zależność: Ek 1 + Ep 1 = Ek 2 + Ep 2 , gdzie indeksy „1” i „2” odnoszą się do dwóch dowolnych chwil czasu 4
W
x
0
x
x
1
2
Rysunek 1:
Rysunek 2:
1
V1
E , E
k1
p1
m
W1-2
2
F
E , E
k2
p2
V2
Rysunek 3:
5