Z8/6. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 6
1
Z8/6. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 6
Z8/6.1. Zadanie 6
W punkcie A znajdującym się w przekroju α - α ramy wspornikowej na rysunku Z8/6.1 wyznaczyć naprężenia i kierunek główny. Oba stany naprężenia przedstawić graficznie na bokach elementarnego kwadratu. Następnie określić stan odkształcenia w układzie ZX oraz w układzie osi głównych. Przyjąć stałe materiałowe: E = 205 GPa, ν = 0,3. Na koniec określić naprężenie zredukowane według hipotez: H-M-H
i Treski. Przekrój pręta oraz położenie punktu A przedstawia rysunek Z8/6.2. Wymiary ramy wspornikowej są podane w metrach natomiast wymiary przekroju w centymetrach.
1,0
1,0
2,0
α
24,0 kN
α
/m
Z=Z =Z
0
gl
2,0
16,0 kN
[m]
Rys. Z8/6.1. Rama wspornikowa
8,0
4,0
4,0
2,0
1,0
12,0
Y=Y =Y
0
gl
20,0
A
12,0
,08
[cm]
2,0
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/6.2. Blachownica dwuteowa
Z8/6.2. Wyznaczenie sił przekrojowych
Chcąc wyznaczyć naprężenia główne w przekroju α - α należy w pierwszej kolejności wyznaczyć wartości i zwroty sił przekrojowych czyli siły normalnej, siły poprzecznej i momentu zginającego. Siła normalna jest dodatnia jeżeli rozciąga pręt. Siłę poprzeczną dodatnią przyjmiemy tak aby kręciła ona odciętą Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/6. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 6
2
częścią ramy zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Moment zginający dodatni przyjmiemy tak aby rozciągał
on dolną część przekroju blachownicowego (współrzędne z są tam dodatnie). Ponieważ rama jest wspornikowa do wyznaczenia sił przekrojowych nie będą nam potrzebne reakcje w utwierdzeniu. Rysunek Z8/6.3 przedstawia założone dodatnie zwroty sił przekrojowych.
T
N
X
M
Z=Z =Z
0
gl
24,0 kN
X
N
T
M
/m
Z=Z =Z
0
gl
2,0
16,0 kN
[m]
1,0
1,0
2,0
Rys. Z8/6.3. Przyjęte zwroty sił przekrojowych Siły przekrojowe będziemy wyznaczać dla dolnej części ramy na rysunku Z8/6.3. Jeżeli jakaś siła czynna ma zwrot zgodny z założonym zwrotem siły przekrojowej to będziemy ją zapisywać z minusem.
Z kolei jeżeli jakaś siła czynna ma zwrot przeciwny do założonego zwrotu siły przekrojowej to będziemy ją zapisywać z plusem. Siła normalna wynosi
N =−16,0⋅2,0=−32,0 kN .
(Z8/6.1)
Siła poprzeczna wynosi
T =24,0 kN .
(Z8/6.2)
Moment zginający wynosi
1
M =−16,0⋅2,0⋅ ⋅2,0−24,0⋅1,0=−56,0 kNm .
(Z8/6.3)
2
Rysunek Z8/6.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju α - α.
Z8/6.3. Charakterystyki geometryczne przekroju blachownicowego Chcąc wyznaczyć naprężenia główne będą nam potrzebne: pole powierzchni przekroju oraz moment bezwładności przekroju blachownicowego względem głównej osi Y=Y0=Ygl. Pole powierzchni zgodnie z ry-sunkiem Z8/6.2 wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/6. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 6
3
24,0 kN
32,0 kN
X
56,0 kNm
Z=Z =Z
0
gl
24,0 kN
24,0 kN
X
32,0 kN
56,0 kNm
/m
Z=Z =Z
0
gl
2,0
16,0 kN
[m]
1,0
1,0
2,0
Rys. Z8/6.4. Prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju α - α
A=2⋅8,0⋅2,020,0⋅1,0=52,0 cm 2 .
(Z8/6.4)
Moment bezwładności względem osi głównej Y=Y0=Ygl wynosi 8,0
7,0
J
⋅24,03
⋅20,03
= J =
−
=4549 cm 4 .
(Z8/6.5)
Y
Ygl
12
12
Z8/6.4. Wyznaczenie naprężeń głównych w punkcie A Aby wyznaczyć naprężenia główne w punkcie A musimy w pierwszej kolejności wyznaczyć naprę-
żenie normalne σX oraz naprężenie styczne τXZ w punkcie A. Rysunek Z8/6.5 przedstawia siły przekrojowe dla przekroju pręta znajdującego się w lewej części ramy wspornikowej, dla którego oś X zwrócona jest w prawo. Na podstawie rysunku Z8/6.5 możemy odczytać, że siła normalna w przekroju pręta jest ściskająca czyli wynosi
N =−32,0 kN .
(Z8/6.6)
24,0 kN
56,0 kNm
X
32,0 kN
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/6.5. Siły przekrojowe w przekroju pręta Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/6. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 6
4
8,0
4,0
4,0
2,0
1,0
12,0
Y=Y =Y
0
gl
20,0
4,0
A
12,0
8,0
[cm]
2,0
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/6.6. Położenie punktu A w przekroju blachownicowym 8,0
2,0
1,0
12,0
Y=Y =Y
0
gl
20,0
4,0
A
,07
1,01
sc
12,0
6,0
1
8,0
sc2
[cm]
Z=Z =Z
2,0
0
gl
Rys. Z8/6.7. Część przekroju blachownicowego znajdująca się poniżej punktu A Siła poprzeczna posiada zwrot zgodny ze zwrotem osi Z=Z0=Zgl a jej wartość bezwzględna wynosi
∣ T Z∣=24,0 kN .
(Z8/6.7)
Moment zginający rozciąga górną część przekroju pręta więc wynosi on M =−56,0 kNm=−5600 kNcm .
(Z8/6.8)
Y
Rysunek Z8/6.6 przedstawia położenie punktu A w układzie osi głównych przekroju blachownicowego.
Naprężenie normalne σX zgodnie z (7.8) wynosi w punkcie A Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/6. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 6
5
−32,0 −5600
kN
A=
⋅4,0 =−5,540
=−55,40 MPa .
X
(Z8/6.9)
52,0
4549
cm 2
Rysunek Z8/6.7 przedstawia wymiary i położenie środków ciężkości figur składowych części przekroju znajdującej się poniżej punktu A. Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXY zgodnie z (7.20) wynosi
∣
24,0⋅6,0⋅1,0⋅7,08,0⋅2,0⋅11,0
kN
A∣=
=1,150
=11,50 MPa .
(Z8/6.10)
XZ
1,0⋅4549
cm 2
Ponieważ siła poprzeczna TZ posiada zwrot zgodny ze zwrotem osi Z=Z0=Zgl to i naprężenie styczne τXZ ma taki sam zwrot czyli jest dodatnie.
A=15,50 MPa .
(Z8/6.11)
XZ
Rysunek Z8/6.8 przedstawia elementarny kwadrat z zaznaczonymi naprężeniami w punkcie A. Tensor naprężenia w punkcie A ma postać
A=[−55,40 0 15,50
0
0
0 ] .
(Z8/6.12)
15,50
0
0
Tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych zgodnie z (8.9) wynosi 2⋅11,50
tg2⋅ =
=0,4152 .
gl
(Z8/6.13)
0,0 −−55,40
Kąt nachylenia osi głównych wynosi
=11,27 o .
(Z8/6.14)
gl
11,50 MPa
X
55,40 MPa
a
55,40 MPa
P
aP
0 M
1,51
11,50 MPa
1,50 M1
Z
Rys. Z8/6.8. Graficzna prezentacja stanu naprężenia w punkcie A Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/6. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 6
6
Dodatni kąt nachylenia osi głównych oznacza, że obrót układu współrzędnych nastąpi od osi Z do osi X.
Naprężenia główne zgodnie z (8.10) i (8.11) wynoszą 0,0−55,40 0,0−−55,40
A=
⋅cos2⋅11,27 o11,50⋅sin2⋅11,27 o
Zgl
2
2
,
(Z8/6.15)
A=2,292 MPa
Zgl
0,0−55,40
0,0−55,40
A =
−
⋅cos 2⋅11,27 o−11,50⋅sin 2⋅11,27 o
Xgl
2
2
.
(Z8/6.16)
A =−57,69 MPa
Xgl
Obliczenie naprężeń głównych możemy sprawdzić zgodnie z (8.12). Naprężenia główne wyznaczone z tego wzoru wynoszą
0,0−55,40
.
=
±
211,502=
(Z8/6.17)
1
{2,292 MPa
/2
0,0−−55,40
2
2
−57,69 MPa
Jak widać naprężenia główne zostały wyznaczone poprawnie. Rysunek Z8/6.9 przedstawia naprężenia główne zaznaczone na elementarnym kwadracie. Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał
postać
A=
gl
[−57,69 0 0
0
0
0 ] .
(Z8/6.18)
0
0 2,292
2,292 MP
Xgl
a
X
57,69 MPa
57,69 MPa
2,292 M
11,27o
P
Z
a
gl
Z
Rys. Z8/6.9. Graficzna prezentacja naprężeń głównych w punkcie A Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/6. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 6
7
Z8/6.5. Wyznaczenie stanu odkształcenia w punkcie A Rama wspornikowa jest wykonana ze zwykłej stali budowlanej. Wartość współczynnika Poissona dla tego typu stali wynosi 0,3 natomiast wartość modułu Younga wynosi E=205 GPa=205000 MPa .
(Z8/6.19)
Wartość modułu Kirchhoffa wynosi więc
205
G=
=78,85 GPa=78850 MPa .
(Z8/6.20)
2⋅ 10,3
Dla tensora naprężenia (Z8/6.12) odkształcenia liniowe oraz postaciowe w układzie współrzędnych ZX
związanym z przekrojem pręta wynoszą
1
=
⋅[−55,40−0,3⋅ 00 ]=−270,2⋅10−6 ,
(Z8/6.21)
X
205000
1
=
⋅[0−0,3⋅−55,400]=81,07⋅10−6 ,
(Z8/6.22)
Y
205000
1
=
⋅[ 0−0,3⋅−55,400 ]=81,07⋅10−6 ,
(Z8/6.23)
Z
205000
15,50
=
=98,29⋅10−6 .
(Z8/6.24)
XZ
2⋅78850
Ponieważ pozostałe naprężenia styczne w punkcie A są równe zero pozostałe odkształcenia postaciowe są także równe zero. Tensor odkształcenia będzie miał więc w punkcie A ostatecznie następującą postać
A=[−270,2 0 98,29
0
81,07
0 ]⋅10−6 .
(Z8/6.25)
98,29
0
81,07
Dla tensora naprężenia w układzie osi głównych (Z8/6.18) odpowiednie odkształcenia główne wynoszą 1
=
⋅[−57,69−0,3⋅02,292]=−284,8⋅10−6 ,
(Z8/6.26)
Xgl
205000
1
=
⋅[ 0−0,3⋅−57,692,292]=81,07⋅10−6 ,
(Z8/6.27)
Ygl
205000
1
=
⋅[ 2,292−0,3⋅−57,690 ]=95,60⋅10−6 .
(Z8/6.28)
Zgl
205000
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/6. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 6
8
Odkształcenia postaciowe w układzie osi głównych wynoszą oczywiście zero. Tensor odkształcenia w uk-
ładzie osi głównych ma postać
A=
gl
[−284,8 0 0
0
81,07
0 ]⋅10−6 .
(Z8/6.29)
0
0
95,60
Z8/6.6. Wyznaczenie naprężeń zredukowanych
Naprężenie zredukowane wyznaczone według hipotezy H-M-H dla stanu naprężenia w punkcie A ramy wynosi
H =−55,4023⋅15,502=61,56 MPa .
(Z8/6.30)
red
Naprężenie zredukowane wyznaczone według hipotezy Treski dla stanu naprężenia w punkcie A ramy wynosi
T =−55,40 24⋅15,502=63,48 MPa .
(Z8/6.31)
red
Jak więc widać naprężenie zredukowane według hipotezy Treski jest większe niż naprężenie to wyznaczone według hipotezy H-M-H.
Dr inż. Janusz Dębiński