Z8/7. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 7
1
Z8/7. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 7
Z8/7.1. Zadanie 7
W punkcie A znajdującym się w przekroju α - α ramy wspornikowej na rysunku Z8/7.1 wyznaczyć naprężenia i kierunek główny. Oba stany naprężenia przedstawić graficznie na bokach elementarnego kwadratu. Następnie określić stan odkształcenia w układzie ZX oraz w układzie osi głównych. Przyjąć stałe materiałowe: E = 205 GPa, ν = 0,3. Na koniec określić naprężenie zredukowane według hipotez: H-M-H
i Treski. Przekrój pręta oraz położenie punktu A przedstawia rysunek Z8/7.2. Wymiary ramy wspornikowej są podane w metrach natomiast wymiary przekroju w centymetrach.
1,5
1,5
1,5
[m]
/m
2,0
16,0 kN
8,0 kN
α
α
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/7.1. Rama wspornikowa
20,0
2,0
2,0
A
20,0
11,0
[cm]
Rys. Z8/7.2. Blachownica teowa
Z8/7.2. Wyznaczenie sił przekrojowych
Chcąc wyznaczyć naprężenia główne w przekroju α - α należy w pierwszej kolejności wyznaczyć wartości i zwroty sił przekrojowych czyli siły normalnej, siły poprzecznej i momentu zginającego. Siła normalna jest dodatnia jeżeli rozciąga pręt. Siłę poprzeczną dodatnią przyjmiemy tak aby kręciła ona odciętą częścią ramy zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Moment zginający dodatni przyjmiemy tak aby rozciągał on dolną część przekroju blachownicowego (współrzędne z są tam dodatnie). Ponieważ rama jest wspornikowa do wyznaczenia sił przekrojowych nie będą nam potrzebne reakcje w utwierdzeniu. Rysunek Z8/7.3 przedstawia założone dodatnie zwroty sił przekrojowych.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/7. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 7
2
1,5
1,5
1,5
[m]
/m
2,0
16,0 kN
8,0 kN
T
N
X
M
Z=Z =Z
0
gl
T
X
N
M
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/7.3. Przyjęte zwroty sił przekrojowych
Siły przekrojowe będziemy wyznaczać dla górnej części ramy na rysunku Z8/7.3. Jeżeli jakaś siła czynna ma zwrot zgodny z założonym zwrotem siły przekrojowej to będziemy ją zapisywać z minusem.
Z kolei jeżeli jakaś siła czynna ma zwrot przeciwny do założonego zwrotu siły przekrojowej to będziemy ją zapisywać z plusem. Siła normalna wynosi
N =−16,0⋅2,0=−32,0 kN .
(Z8/7.1)
Siła poprzeczna wynosi
T =−8,0 kN .
(Z8/7.2)
Moment zginający wynosi
1
M =16,0⋅2,0⋅ ⋅2,0 −8,0⋅1,5 =20,0 kNm .
(Z8/7.3)
2
Rysunek Z8/7.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju α - α.
Z8/7.3. Charakterystyki geometryczne przekroju blachownicowego Chcąc wyznaczyć naprężenia główne będą nam potrzebne: pole powierzchni przekroju oraz moment bezwładności przekroju blachownicowego względem głównej osi Y=Y0=Ygl. Ale najpierw musimy wyznaczyć położenie środka ciężkości przekroju teowego. W tym celu obieramy początkowy układ współ-
rzędnych przedstawiony na rysunku Z8/7.5. Ponieważ przekrój teowy posiada jedną oś symetrii oś ZP po-czątkowego układu będzie się z nią pokrywała. Na rysunku tym zaznaczone są także współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur składowych. Współrzędne te wynoszą Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/7. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 7
3
1,5
1,5
1,5
[m]
/m
2,0
16,0 kN
8,0 kN
8,0 kN
32,0 kN
X
20,0 kNm
Z=Z =Z
0
gl
8,0 kN
X
32,0 kN
20,0 kNm
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/7.4. Prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju α – α
20,0
10,0
10,0
2,0
sc
Y
1
P
1,0
12,0
20,0
sc2
2,0
Z=Z =Z =Z
[cm]
P
0
gl
Rys. Z8/7.5. Środki ciężkości figur składowych
2,0
z =
=1,0 cm ,
(Z8/7.4)
P1
2
20,0
z =2,0
=12,0 cm .
(Z8/7.5)
P2
2
Zgodnie ze wzorem (6.14) współrzędna z środka ciężkości przekroju teowego w początkowych układzie współrzędnych wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/7. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 7
4
20,0
10,0
10,0
2,0
sc1
6,5
2,0
,55
Y=Y =Y
0
gl
,55
20,0
sc2
15,5
[cm]
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/7.6. Położenie środka ciężkości przekroju teowego 20,0⋅2,0⋅1,020,0⋅2,0⋅12,0
z =
=6,5 cm .
(Z8/7.6)
C
20,0⋅2,020,0⋅2,0
Położenie środka ciężkości przekroju teowego przedstawia rysunek Z8/7.6. Pole powierzchni tego przekroju wynosi
A=20,0⋅2,0 20,0⋅2,0 =80,0 cm 2 .
(Z8/7.7)
Współrzędna z01 półki wynosi
z =1,0−6,5=−5,5 cm .
(Z8/7.8)
01
Współrzędna z02 środnika wynosi
z =12,0−6,5=5,5 cm .
(Z8/7.9)
02
Moment bezwładności względem osi głównej Y=Y0=Ygl wynosi 20,0
2,0
J
⋅2,03
⋅20,03
= J =
−5,52⋅20,0⋅2,0
5,52⋅2,0⋅20,0=3767 cm 4 .
(Z8/7.10)
Y
Ygl
12
12
Z8/7.4. Wyznaczenie naprężeń głównych w punkcie A Aby wyznaczyć naprężenia główne w punkcie A musimy w pierwszej kolejności wyznaczyć naprę-
żenie normalne σX oraz naprężenie styczne τXZ w punkcie A. Rysunek Z8/7.7 przedstawia siły przekrojowe dla przekroju pręta znajdującego się w lewej części ramy wspornikowej, dla którego oś X zwrócona jest w prawo. Na podstawie rysunku Z8/7.7 możemy odczytać, że siła normalna w przekroju pręta jest ściskająca czyli wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/7. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 7
5
N =−32,0 kN .
(Z8/7.11)
Siła poprzeczna posiada zwrot przeciwny do zwrotu osi Z=Z0=Zgl a jej wartość bezwzględna wynosi
∣ T Z∣=−8,0 kN .
(Z8/7.12)
Moment zginający rozciąga dolną część przekroju pręta więc wynosi on M =20,0 kNm=2000 kNcm .
(Z8/7.13)
Y
Rysunek Z8/7.8 przedstawia położenie punktu A w układzie osi głównych przekroju blachownicowego.
Naprężenie normalne σX zgodnie z (7.8) wynosi w punkcie A 1,5
1,5
[m]
/m
2,0
16,0 kN
8,0 kN
8,0 kN
32,0 kN
X
20,0 kNm
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/7.7. Siły przekrojowe w przekroju pręta 20,0
10,0
10,0
2,0
6,5
2,0
Y=Y =Y
0
gl
4,5
A
20,0
15,5
11,0
[cm]
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/7.8. Położenie punktu A w przekroju blachownicowym Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/7. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 7
6
20,0
10,0
10,0
,02
2,0
6,5
Y=Y =Y
0
gl
4,5
A
0,0
0,0
2
1
15,5
sc3
11,0
[cm]
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/7.9. Część przekroju blachownicowego znajdująca się poniżej punktu A
−32,0 2000
kN
A=
⋅ 4,5 =1,989
=19,89 MPa .
X
(Z8/7.14)
80,0
3767
cm 2
Rysunek Z8/7.9 przedstawia wymiary i położenie środka ciężkości części środnika blachownicowego przekroju teowego znajdującej się poniżej punktu A. Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXY zgodnie z (7.20) wynosi
∣
8,0⋅11,0⋅2,0⋅10,0
kN
A∣=
=0,2336
=2,336 MPa .
(Z8/7.15)
XZ
2,0⋅3767
cm 2
Ponieważ siła poprzeczna TZ posiada zwrot przeciwny do zwrotu osi Z=Z0=Zgl to i naprężenie styczne τXZ
ma taki sam zwrot czyli jest ujemne.
A=−2,336 MPa .
(Z8/7.16)
XZ
Rysunek Z8/7.10 przedstawia elementarny kwadrat z zaznaczonymi naprężeniami w punkcie A. Tensor naprężenia w punkcie A ma postać
A=[ 19,89 0 −2,336
0
0
0
] .
(Z8/7.17)
−2,336 0
0
Tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych zgodnie z (8.9) wynosi 2⋅−2,336
tg2⋅ =
=0,2349 .
(Z8/7.18)
gl
0,0−19,89
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/7. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 7
7
2,336 MPa
X
19,89 MPa
19,89 MPa
aP
2,336 MPa
2,336 M
Z
Rys. Z8/7.10. Graficzna prezentacja stanu naprężenia w punkcie A Kąt nachylenia osi głównych wynosi
=6,61 o .
(Z8/7.19)
gl
Dodatni kąt nachylenia osi głównych oznacza, że obrót układu współrzędnych nastąpi od osi Z do osi X.
Naprężenia główne zgodnie z (8.10) i (8.11) wynoszą 0,019,89 0,0−19,89
A=
⋅cos2⋅ 6,61 o−2,336⋅sin 2⋅6,61 o
Zgl
2
2
,
(Z8/7.20)
A=−0,2707 MPa
Zgl
0,019,89
0,0−19,89
A =
−
⋅cos 2⋅6,61 o−−2,336⋅sin2⋅6,61 o
Xgl
2
2
.
(Z8/7.21)
A =20,16 MPa
Xgl
Obliczenie naprężeń głównych możemy sprawdzić zgodnie z (8.12). Naprężenia główne wyznaczone z tego wzoru wynoszą
0,019,89
=
±
.
(Z8/7.22)
1
2−2,3362={ 20,16 MPa
/2
2
0,0−19,89
2
−0,2707 MPa
Jak widać naprężenia główne zostały wyznaczone poprawnie. Rysunek Z8/7.11 przedstawia naprężenia główne zaznaczone na elementarnym kwadracie. Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał
postać
A=
gl
[20,16 0 0
0
0
0
] .
(Z8/7.23)
0
0 −0,2707
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/7. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 7
8
0,2707 MPa
Xgl
X
20,16 MPa
20,16 MPa
0,270
6,61o
7 M
Z
P
Z
gl
a
Rys. Z8/7.11. Graficzna prezentacja naprężeń głównych w punkcie A Z8/7.5. Wyznaczenie stanu odkształcenia w punkcie A Rama wspornikowa jest wykonana ze zwykłej stali budowlanej. Dla tego typu stali wartość współ-
czynnika Poissona wynosi 0,3 natomiast wartość modułu Younga wynosi E=205 GPa=205000 MPa .
(Z8/7.24)
Wartość modułu Kirchhoffa wynosi więc
205
G=
=78,85 GPa=78850 MPa .
(Z8/7.25)
2⋅ 10,3
Dla tensora naprężenia (Z8/7.17) odkształcenia liniowe oraz postaciowe w układzie współrzędnych ZX
wynoszą
1
=
⋅[19,89−0,3⋅00]=97,02⋅10−6 ,
(Z8/7.26)
X
205000
1
=
⋅[0−0,3⋅ 19,890]=−29,11⋅10−6 ,
(Z8/7.27)
Y
205000
1
=
⋅[ 0−0,3⋅19,890]=−29,11⋅10−6 ,
(Z8/7.28)
Z
205000
−2,336
=
=−14,81⋅10−6 .
(Z8/7.29)
XZ
2⋅78850
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/7. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 7
9
Ponieważ w punkcie A działa tylko jedno naprężenie styczne, pozostałe mają wartość zero także i pozostałe odkształcenia postaciowe są oczywiście równe zero. Tensor odkształcenia będzie miał więc w punkcie A postać
A=[ 97,02
0
−14,81
0
−29,11
0
]⋅10−6 .
(Z8/7.30)
−14,81
0
−29,11
Dla tensora naprężenia w układzie osi głównych (Z8/7.23) odkształcenia główne wynoszą 1
=
⋅[ 20,16−0,3⋅0−0,2707]=98,74⋅10−6 ,
(Z8/7.31)
Xgl
205000
1
=
⋅[ 0−0,3⋅ 20,16−0,2707]=−29,11⋅10−6 ,
(Z8/7.32)
Ygl
205000
1
=
⋅[−0,2707−0,3⋅ 20,160]=−30,82⋅10−6 .
(Z8/7.33)
Zgl
205000
Odkształcenia postaciowe w układzie osi głównych wynoszą oczywiście zero. Tensor odkształcenia w uk-
ładzie osi głównych ma postać
A=
gl
[98,74 0 0
0
−29,11
0
]⋅10−6 .
(Z8/7.34)
0
0
−30,82
Z8/7.6. Wyznaczenie naprężeń zredukowanych
Naprężenie zredukowane wyznaczone według hipotezy H-M-H dla stanu naprężenia w punkcie A ramy wynosi
H =19,8923⋅−2,3362=20,30 MPa .
(Z8/7.35)
red
Naprężenie zredukowane wyznaczone według hipotezy Treski dla stanu naprężenia w punkcie A ramy wynosi
T =19,8924⋅−2,336 2=20,43 MPa .
(Z8/7.36)
red
Jak więc widać naprężenie zredukowane według hipotezy Treski jest większe niż naprężenie to wyznaczone według hipotezy H-M-H.
Dr inż. Janusz Dębiński