Twierdzenie 1 Następujące warunki są równoważne:
(i) zbiór B jest bazą przestrzeni V ,
(ii) zbiór B jest minimalnym zbiorem generatorów przestrzeni V ,
(iii) zbiór B jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym przestrzeni V .
Dowód
(i) ⇒ (ii) Niech b ∈ B. Ponieważ B jest zbiorem liniowo niezależnym to
wektora b nie da się wyrazić przy pomocy innych wektorów ze zbioru B.
Zatem jeśli B 1 jest właściwym podzbiorem zbioru B to B 1 nie może generować
przestrzeni V bo wektory należące do B \ B 1 nie należą do Lin( B 1).
(ii) ⇒ (iii) Zbiór B musi być liniowo niezależny (gdyby był liniowo zależny
to można by go było zmniejszyć otrzymując mniejszy zbiór generatorów).
Ponieważ B jest zbiorem generatorów to każdy wektor z V da się wyrazić jako
liniowa kombinacja wektorów z B, a więc zwiększenie zbioru B spowoduje
”utratę” liniowej niezależności.
(iii) ⇒ (i) Zbiór B jest liniowo niezależny i jeśli v ∈ V \ B to zbiór B ∪ {v}
jest liniowo zależny (wynika to z maksymalności B), a więc v można wyrazić
jako liniową kombinację elementów zbioru B. To oznacza, że B jest również
zbiorem generatorów, a więc jest bazą.
Przykłady
1. Układ (1 , 0 , 0 , 0), (0 , 1 , 0 , 0), (0 , 0 , 1 , 0), (0 , 0 , 0 , 1) jest bazą przestrzeni 4
R .
2. Układ wektorów e 1 = (1 , 0 , . . . , 0), e 2 = (0 , 1 , . . . , 0), . . . , en = (0 , 0 , . . . , 1) jest bazą przestrzeni Kn. Bazę tą będziemy nazywać bazą kanoniczną (albo
standardową) przestrzeni Kn.
3. Układ (1 , 1 , 1 , 1), (1 , 1 , 1 , 0), (1 , 1 , 0 , 0), (1 , 0 , 0 , 0) również jest bazą przestrzeni 4
R
4. Przestrzeń R[ x] ma bazę: 1 , x, x 2 , x 3 , . . . .
5. Układ A = {(1 , 0 , 0 , . . . ) , (0 , 1 , 0 , . . . ) , . . .} jest zbiorem liniowo niezależnym w przestrzeni RN ale nie jest bazą bo na przykład wektora (1 , 1 , 1 , . . . ) nie
da się zapisać w postaci liniowej kombinacji wektorów ze zbioru A (gdyż w
Lin( A) znajdują się tylko skończone liniowe kombinacje!!!).
6. Przestrzeń C nad ciałem C posiada bazę, która składa się z wektora 1.
7. Przestrzeń C nad ciałem R posiada bazę, która składa się z wektorów 1 , i.
Twierdzenie 2 (Steinitz) Jeśli układ v 1 , v 2 , . . . , vn jest bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K i układ wektorów u 1 , u 2 , . . . , um jest układem wektorów
liniowo niezależnych to:
(i) m ¬ n,
(ii) jeśli m = n to u 1 , u 2 , . . . , um jest bazą przestrzeni V ,
1
(iii) jeśli m < n to istnieje dokładnie n−m wektorów, które wraz z wektorami
u 1 , u 2 , . . . , um tworzą bazę przestrzeni V .
Twierdzenie 3 Każda niezerowa przestrzeń liniowa posiada bazę.
Wniosek 1 Każdy układ wektorów liniowo niezależnych można uzupełnić do
bazy przestrzeni liniowej.
Twierdzenie 4 Jeśli przestrzeń liniowa V nad ciałem K posiada bazę, która
ma dokładnie n wektorów to każda inna baza też składa się z n wektorów.
Wymiar przestrzeni liniowej
Wymiarem przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy ilość elementów
dowolnej bazy tej przestrzeni. Wymiar przestrzeni V oznaczać będziemy
przez dim V . Jeśli wymiar jest skończony to będziemy mówić o przestrzeni
skończenie wymiarowej. Przyjmujemy, że wymiar przestrzeni zerowej jest
równy 0.
Przykłady
1. dim
3
R = 3,
2. ogólnie dim Kn = n,
3. dim R[ x] = + ∞
Nieformalnie mówiąc wymiarem przestrzeni liniowej jest ilość parametrów
potrzebna do opisu dowolnego wektora danej przestrzeni. Na przekład mówimy,
że nasza przestrzeń jest trójwymiarowa, bo żeby opisać dowolny punkt musimy
podać trzy parametry (długość, wysokość, szerokość).
Innym przykładem niech będzie przestrzeń Mn,m( K) macierzy o n × m o
współczynnikach z ciała K. Jest to przestrzeń, w której dodawaniem jest
zwykłe dodawanie macierzy, a mnożeniem skalarów z ciała K przez wektory
zwykłe mnożenie stałej przez macierz. Nietrudno jest zauważyć, że aby zdefiniować
macierz trzeba określić m · n warości, a to oznacza, że dim Mn,m( K) = m · n.
Twierdzenie 5 Jeśli U, W są podprzestrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni
V to:
(i) jeśli U ⊂ W to dim U ¬ dim W ,
(ii) U ⊂ W i dim U = dim W wtedy i tylko wtedy gdy U = W .
Wniosek 2 Podprzestrzeń przestrzeni skończenie wymiarowej jest przestrzenią
skończenie wymiarową.
2