13.10.2001
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1
A i B A i B
Pr A B 1
|
Pr
A B 1
|
4
3
Pr B A 1
|
Pr B
A 2
|
5
5
Oblicz p Pr A B | A B.
7
(A) p
9
1
(B) p
2
3
(C) p
5
5
(D) p
8
7
(E) p
8
13.10.2001
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2
E X E Y 0 , Var( X ) Var( Y ) 1 i Cov X , Y . Oblicz Cov 2 2
X , Y .
(A)
2
2
2
Cov( X , Y )
(B)
2
2
2
Cov( X , Y ) 2
(C)
2
2
2
Cov( X , Y ) 3
(D) |
Cov(
2
X , 2
Y ) |
(E) Cov(
2
X , 2
Y ) 2
13.10.2001
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3
X , X ,... X ,...o dwóch stanach: „1” i „2” który ma 0
1
n
! " # $
1/ 2 1/ 2
P
.
1/ 3 2 /
3
% # P i -tym wierszu i j -tej kolumnie tej macierzy oznacza ij
Pr( X j | X i) & Pr( X )
1 1. Oblicz
n 1
n
0
lim Pr( X
X
.
n 1 |
n
)
2
1
n
(A) 3
lim Pr( X
X
n 1 |
n
)
2 1/
1
n
(B) 9
lim Pr( X
X
n 1 |
n
)
2 5 /
1
n
(C) 2
lim Pr( X
X
n 1 |
n
)
2 1/
1
n
(D) )
lim Pr( X
X
nie istnieje
n 1 |
n
2
1
n
(E) 9
lim Pr( X
X
n 1 |
n
)
2 2 /
1
n
13.10.2001
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4
Niech X ,..., X "! " " '! #
1
n
( x
1
( )
) /
e
dla x
f
( x)
,
;
0
dla x .
Wyznaczono ,ˆˆ parametrów , w sytuacji, gdy
" % 0 ).
( "! c "
c ˆ " estymatorem parametru .
n 1
(A) c
n
n 1
(B) c
n
(C) c 1
(D) Nie istnieje taka liczba c n
(E) c
n 1
Wskazówka: ˆ
min X
X
,...
.
1
n
13.10.2001
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5
N
Niech N
i N N N , gdzie N )
1 X i
0
1
i1
parametrem # X , X ,... X ,... N i od siebie
1
2
n
X * +' $
i
Pr( X )
1 p i Pr( X ) 0 q , gdzie p q 1, 1
0 p . Oblicz
i
i
N 1
r E
.
N 1
0
p
(A) r
1 e
q
p
(B)
r
q
p
(C)
r
q 1
p
(D) r
q
1 e
q
p
(E)
r
q 1 1
13.10.2001
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6
W , W ,..., W ,...
1
2
n
n
E( W )
.
Niech 0
T i T
W dla ,...
n ,
1 2
Y jest
n
n
1/
0
i
i1
z E( Y ) 1/ i Y
W . Niech
i
N
max n 0 : T Y .
n
) " N .
n
(A) Pr N n
dla n ,
1
,
0
,...
2
n
(B)
Pr N n
dla n ,
1
,
0
,...
2
n
(C)
Pr N n
/
e
dla n
,
1
,
0
,...
2
!
n
n
(D) Pr N n
/
e
dla n
,
1
,
0
,...
2
!
n
n
/(
)
1
(E)
Pr N n e
dla n
,
1
,
0
,...
2
!
n
13.10.2001
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7
, " ' ' ' N
2
,
# i 2
" !
" #- n .," "
/ # 0
X
15035
.
1
n , X
15035
.
1
n
i
i
"! " i -tej próbki (liczba 1.15035 jest kwantylem
!123, ' ' &
0 ! / # 5 n obserwacjach wyznaczamy w sposób
$# "
m med( X , X , X , X , X ) 1
2
3
4
5
Oblicz
c Pr m
15035
.
1
n m
15035
.
1
n
% # 114&
(A) c 0.95
(B) c 0.97
(C) c 0.99
(D) c 0.90
(E) c 0.85
Wskazówka: -
Pr X
.
i
15035
.
1
n Pr X i 15035
.
1
n 1/8
) " - # '
13.10.2001
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8
Niech X ,..., X "! " " '! #
1
5
1
x
dla x
f ( x
;
1
)
0 dla x .
1
H : 1/ 2 przeciwko alternatywie 0
H : 1/ 2 / # 0.01. Wyznacz obszar krytyczny tego testu. Test 1
prowadzi do odrzucenia H na rzecz H wtedy i tylko wtedy, gdy: 0
1
5
(A) 5582
ln
X
i
.
2
i 1
5
(B)
ln X
i
.
23 2093
i 1
5
(C)
.
2 5582
X e
i
i 1
5
(D)
2093
.
23
X e
i
i 1
5
1
(E)
23 2093
.
e
i 1 X
i
13.10.2001
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9
!$
5 kul czerwonych,
5"
2 kule zielone.
Losujemy kolejno, bez zwracania 4 !
" 6 7" " p
' # !
(A) p 2 /10
(B) 9
p 1/
(C) p 2 / 5
(D) p 5 / 7
(E) 4
p 1/
13.10.2001
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10
Zmienne losowe N i X "
! $
Pr N
n
n 2 dla n , 1 ,....
2
;
Pr X
x
x 2 dla x 0 .
Oblicz Pr X N .
(A) Pr X N 2 / 3
(B) Pr X N 1/ 2
(C) Pr X N 1/ 4
(D) Pr X N 1/ 3
(E) Pr X N ln 2
13.10.2001
r.
___________________________________________________________________________
Arkusz odpowiedzi*
Imi! ........................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ...............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
7 ( Punktacja
1 A
2 B
3 A
4 E
5 A
6 A
7 B
8 A
9 C
10 D
* Arkuszu odpowiedzi.