5.3. Całki oznaczone w sensie Newtona  Leibniza
Definicje
Niech f będzie funkcją ciągła w przedziale domkniętym [a, b].
b
" Całką oznaczoną f (x)dx funkcji f w przedziale [a, b], w sensie Newtona 
+"
a
Leibniza, nazywamy liczbę równą ró\
nicy F(b) - F(a) wartości funkcji pierwotnej
funkcji f.
b
'
Symbolicznie: f (x)dx = F(b) - F(a), gdzie F (x) = f (x) .
+"
a
b
Ró\
nicę F(b) - F(a) piszemy krótko [F(x)]
a
b
" O funkcji y = f(x), dla której istnieje f (x)dx mówimy, \
e jest całkowalna w [a, b].
+"
a
Praktyczna reguła
b
" Aby obliczyć całkę oznaczoną f (x)dx wystarczy obliczyć:
+"
a
a) całkę nieoznaczoną f (x)dx = F(x) + c,
+"
b) wartości F(b), F(a) funkcji pierwotnej F :
c) ró\
nicę F(b) - F(a).
" Pamiętaj: całka oznaczona jest liczbą, całka nieoznaczona  rodziną funkcji.
Przykłady
1 1
1 1
�ł
3
a) dx = x4 łł = - 0 = 0,25.
�ł4 śł
+"x �ł �ł0 4
0
b
dx a
b
b) = [ln x] = ln a  ln b = ln , dla a > 0, b > 0.
a
+"
x b
a
Ą
Ą
Ą
c) xdx = [sin x] = sin Ą- sin = 0  1 =  1.
Ą
+"cos
2
Ą
2
2
1
Obliczenia pomocnicze
2
d) Oblicz - 4x +1)dx =
+"(3x
(3x2  4x +1)dx = x3 2x + x + c
0
+"
= [ x3 2x + x + c ]1 =
0
= ( 1  2 + 1)  ( 0  2�"0 + 0) = 0.
4
5
4
�ł łł
x4 3 3
3
3
�ł śł
e) - 6x2 +3 x2 -1)dx = - 2x3 + x - x =  71,25+ (8 2 +1).
+"(x3
4 5 5
�ł śł
-2
�ł �ł-2
Twierdzenia
Zakładamy, \
e występujące w całkach funkcje są ciągłe w [a, b].
b b
a) kf (x)dx = k f (x)dx , dla k `" 0,
+" +"
a a
b b b
b) f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx , całka sumy funkcji
+"[ +" +"
a a a
b b b
c) f (x) - g(x)]dx = f (x)dx  g(x)dx , całka ró\
nicy funkcji
+"[ +" +"
a a a
b c b
d) f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx , gdzie c " (a, b); zob. rysunek
+" +" +"
a a c
addytywność całki względem przedziału całkowania
b a
e) f (x)dx =  f (x)dx . zamiana granic całkowania
+" +"
a b
Twierdzenie
Je\
eli funkcja f : t f(t) jest ciągła i funkcja g: x g(x) jest ró\
niczkowalna na [b, c],
zło\
enie funkcji g z f jest funkcją ciągłą oraz � = g(b), ł = g(c),
c ł
to f [g(x)]g'(x)dx = f (t)dt
+" +"
b �
(wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych)
Przykłady
7 7 7 7 7
3x - 5 2x - 6 3x - 5 2x - 6 x +1
a) dx - dx = dx = = 5.
+" +" +"( x +1 - x +1 )dx = +" +"dx
x +1 x +1 x +1
2 2 2 2 2
ln 3
-x
2. Oblicz dx .
+"xe
0
Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych, mamy:
ln 3 ln 3 ln 3
ln 3
-x -x
dx =
0
+"xe +"x(-e )' dx = [x(-e-x )] - +"- e-xdx =
0 0 0
ln 3
ln 3
1
-x
= (- ln3) e - ln3 - 0 + dx = - ln 3 + [- e-x] =
0
+"e
3
0
1 1 1
= - ln 3 - - e0 = - (1 + ln 3 ) - 1.
3 3 3
Zadania do samodzielnego rozwiązywania
b
Zadanie 1. Oblicz całkę f (x)dx , jeśli:
+"
a
x
a) f(x) = 2x x + 4x - 5 ,a = 1, b = 4; b) f(x) = 3 - 2e +6x , a = 0 , b =1;
4
c) f(x) = 2sin x - cosx + 1, a = 0,b = Ą ; d) f(x ) = + 3x - 7 , a = 1 , b = e;
x
2
e) f(x) = 3x -5 x + 2x , a = 1, b = 4.
Zadanie 2. Oblicz:
3 1 0 1
a) , b) 8x3dx , c) 4x3 + 3x)dx , d)
+"4xdx +"- +"(1- +"6x(2x - 3)dx ,
1 -2 -1 -1
2Ą 4 2 1
-x
e) 4cos x + 3sin x)dx , f) 3 x-1dx , g) dx , h) x2 )-1dx .
+"(1- +"- +"e +"(1+
Ą 1 -1 0
Zadanie 3. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych,
oblicz:
Ą e 3
2
a) xdx , b) xdx , c)
+"xsin +"ln +"5xarctgdx .
0 1 0
Zadanie 4. Stosując podane podstawienie, oblicz:
Ą
1 1
2
x2
a) 1+ x2 dx , t2 = 1+x2 ; b)
+"2x +"4xe dx , t = x2 ; c) +"sin x cos x dx , t =sin x ;
0 0 0
0 3 1
xdx x2dx exdx
d) , t2 = 4 - 5x; e) , t2 = 5+x3 ; f) , t = 3+ex .
+" +" +"
3+ ex
4 - 5x
5 + x3
-1 0 0
Zadanie 5. Stosując odpowiednie podstawienie, oblicz:
Ą 2 2 12
cos xdx (2x - 3)dx
(x2 - 2x)dx
a) , c) , d) x - 3 dx .
+"1+ sin x , b) +" +" +"5x
x + 3
x2 - 3x + 7
0 1 1 4
Odpowiedzi
164
2
Zad. 1.: a) 69,8: b) 10 -2e; c) 3+ Ą ; d) 12,5 -7e  1,5e ; e) .
3
1 Ą
Zad. 2.: a) 16; b) 30 ; c) � ; d) 8 ; e) Ą- 6 ; f) - 6 ; g) e - ; h) .
4
e2
10 5
Zad. 3.: a) Ą ; b) e  2; c) Ą - 3 .
3 2
2 1 1
2
2 t
Zad. 4.: a) dt = (2 2 -1) ; b) 2 dt = 2(e  1) ; c) dt = � ;
+"2t 3 +"e +"t
1 0 0
3 2 2 3+e
7 2 dt 2 dt 3 + e
2
d)  � - t )dt = ; e) = ln 2 0,4 ; f) = ln .
+"(4 +" +"
6 3 t 3 t 4
2 4
5
Zad. 5.: a) 0 ; b) 15 ln(1,25)  3,5 ; c) 0 ; d) 744 .