Całka krzywoliniowa funkcji skalarnej na płaszczyz
nie. Niech będą dane na płaszczyz
nie Oxy
łuk gładki (l) o początku A i końcu B oraz funkcja f, która każdemu punktowi P = (x, y) krzywej
(I) przyporządkowuje liczbę f (P) = f (x, y). Funkcję tę nazywamy funkcją skalarną, aby
odróżnić ją od funkcji wektorowej. Zakładamy, że funkcja f jest ograniczona na (I).
Całka krzywoliniowa funkcji f po krzywej (I), jest oznaczana symbolami
l - droga całkowania. - funkcja podcałkowa, dl - różniczka łuku.
A
uk (I) = AB dzielimy za pomocą punktów podziału A = Ao, A1, ... , An-1, An = B
Tworzymy cięciwy odpowiadające tym łukom a długości tych cięciw oznaczamy
Średnicą podziału nazywamy długość najdłuższego z łuków częściowych w danym podziale.
Na każdym z łuków częściowych obieramy po jednym punkcie
i tworzymy
Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji f na drodze (I).
Normalny ciąg podziałów jest to ciąg podziałów, których średnice tworzą ciąg zbieżny do 0
(a liczby łuków częściowych ciąg rozbieżny do ).
Granica sumy całkowej. Jeśli każdemu normalnemu ciągowi podziałów, przy dowolnym
wyborze argumentów, odpowiada ciąg sum całkowych zbieżny do pewnej granicy, to tę
granicę nazywamy całką krzywoliniową funkcji f po krzywej (l), co zapisujemy
Sens geometryczny. Jeśli f (P) = 1 wszędzie na (l), to całka jest długością łuku (l)
Sens fizyczny. Jeśli (l) oznacza krzywą materialną, a f(P) gęstość w dowolnym punkcie P tej
krzywej, to całka
jest masą tej krzywej.
Obliczenie całki krzywoliniowej funkcji skalarnej na płaszczyz
nie
Jeśli łuk gładki (I) jest dany na płaszczyz
nie Oxy jawnie
y=y(x),
a funkcja f jest ciągła na (I), to całka krzywoliniowa funkcji f po krzywej (I) istnieje i zachodzi równość
Jeśli łuk gładki (I) jest dany na płaszczyz
nie Oxy parametrycznie
x = x (t), y = y (t),
a funkcja f jest ciągła na (I), to całka krzywoliniowa funkcji f po krzywej (I) istnieje i zachodzi równość
Całka krzywoliniowa funkcji skalarnej w przestrzeni. Niech będą dane w przestrzeni Oxyz:
łuk gładki (l) oraz funkcja skalarna f punktu P = (x, y, z), określona i ograniczona na (I). Całkę
krzywoliniową funkcji f po krzywej (l) w przestrzeni Oxyz definiujemy . analogicznie jak na
płaszczyz
nie Oxy i oznaczamy symbolami
Jeśli łuk gładki (I) jest dany w przestrzeni Oxyz parametrycznie
x = x (t), y = y (t), z=z(t)
a funkcja f jest ciągła na (I), to całka krzywoliniowa funkcji f po krzywej (I) istnieje i zachodzi równość