Algebra liniowa IS

Egzamin 10.02.2010, drugi termin

1. Podać definicję grupy i ciała

Def. {S, ∗} jest grupą jeżeli

• ∀

a,b∈S

a ∗ b ∈ S,

• ∃

e∈S

∀

a∈S

a ∗ e = a = e ∗ a,

• ∀

a∈S

∃

b∈S

a ∗ b = b ∗ a = e,

• ∀

a,b,c∈S

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c,

• dodatkowo grupa jest abelowa jeżeli ∀

a,b∈S

a ∗ b = b ∗ a.

Def. {F, +, ·} jest ciałem jeżeli

• {F, +} jest grupą abelową,

• {F \{0}, ·} jest grupą abelową,

• ∀

a,b,c∈F

a · (b + c) = a · b + a · c

Niech S := {(t, 2

t

) : t ∈ R}, S zawiera więc pary liczb rzeczywistych.

Działanie ∗ między elementami S (x

1

, y

1

) i (x

2

, y

2

) zdefiniowane jest przez

(x

1

, y

1

) ∗ (x

2

, y

2

) = (x

1

+ x

2

, y

1

y

2

). Pokazać, że (S, ∗) jest grupę przemien-

ną.

• (t, 2

t

) ∗ (u, 2

u

) = (t + u, 2

t+u

) ∈ S zbiór jest zamknięty ze względu

na *,

• (0, 1) ∗ (t, 2

t

) = (t, 2

t

) = (t, 2

t

) ∗ (0, 1) element neutralny,

• (t, 2

t

) ∗ (−t, 2

−t

) = (−t, 2

−t

) ∗ (t, 2

t

) = (0, 1) element odwrotny,

• łączność:

(t, 2

t

) ∗ [(u, 2

u

) ∗ (v, 2

v

)]

=

[(t, 2

t

) ∗ (u, 2

u

)] ∗ (v, 2

v

)

(t, 2

t

) ∗ (u + v, 2

u+v

)

=

(t + u, 2

t+u

) ∗ (v, 2

v

)

(t + u + v, 2

t+u+v

)

=

(t + u + v, 2

t+u+v

)

• przemienność:

(t, 2

t

) ∗ (u, 2

u

)

=

(u, 2

u

) ∗ (t, 2

t

)

(t + u, 2

t+u

)

=

(u + t, 2

u+t

)

2. Podać postać trygonometryczną liczby zespolonej i reguły mnożenia, dzie-

lenia i potęgowania liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Omó-
wić znajdowanie pierwiastków liczb zespolonych.

(a) Przedstawić w postaci trygonometrycznej i algebraicznej wyrażenie

(

√

3 − i)

10

(1 − i)

6

(b) Znaleźć pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z liczby i. Wynik po-

dać w postaci algebraicznej.

1

3. Podać definicję przestrzeni liniowej nad ciałem liczbowym. Czy zbiór wek-

torów postaci (v + t, t − u, 2v + t + u), gdzie v, t, i u są liczbami rze-
czywistymi tworzy podprzestrzeń przestrzeni wektorowej R

3

. Jaki jest jej

wymiar? Podać przekład wektorów bazowych dla tej podprzestrzeni. Za-
pisać tą podprzestrzeń w postaci V = (x, y, z) ∈ ax + by + cz + d = 0 z
odpowiednio dobranymi a, b, c i d.

4. W bazie {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0)} wektro ma wspórzędne (1, 2, 3). Sprawdź,

czy zbiór wektorów {(0, 1, 1), (1, 0, 2), (0, 1, −1)} jest bazą i, jeżeli tak, zna-
leźć współrzedne podanego wektora w nowej bazie.

5. Podać definicję przekształcenia liniowego A : V → V

0

, jądra przekształce-

nia liniowego i obrazu przekształcenia liniowego. Pokazać, że jądro prze-
kształcenia liniowego jest podprzestrzenią V , a obraz podprzestrzenią w
V

0

.

6. Niech f : (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) ∈ R

4

→ (x

1

+ x

3

, x

2

+ x

4

) ∈ R

2

. Wyznaczyć

macierz odwzorowania w bazie kanonicznej. Wyznaczyć jądro i obraz od-
wzorowania (podać wymiary i bazy Ker f , i Im f . Znaleźć rząd odwzo-
rowania. Jaka relacja wiąże rząd odwzorowania f z dim Ker f ?

7. Znajdź macierz przekształcenia f : R

4

→ R

2

danego przez f (x, y, z, t) =

(x+3y−2z, z−y+x−t) w bazach odpowiednio {(2, 0, 1, 0), (−1, 1, 0, 3), (0, 1, 1, 0), (1, −1, 2, 3)}
i {(1, 1), (1, 0)}.

8. Co to jest rząd macierzy? Znaleźć rząd macierzy.







2

1

4

1

−1

1

−1

1

−1

1

−1

3







9. Znaleźć macierz odwrotną do





0

−1

1

−1

2

−1

2

−1

0





10. Znaleźć wyznacznik macierzy o wymiarze n × n (n ­ 2)















a

−b

0

· · ·

0

0

0

a

−b

· · ·

0

0

0

0

a

· · ·

0

0

..

.

..

.

..

.

. .

.

..

.

..

.

0

0

0

· · ·

a

−b

−b

0

0

· · ·

0

a















11. Rozwiązać układ równań korzystając z metody eliminacji Gaussa

x + 2y + 3z

=

6

2x + 3y + z

=

6

3x + 2y + z

=

6

2

12. Obliczyć wartości i wektory własne macierzy





1

0

1

0

1

0

1

0

1





i sprawdzić,czy

wektory własne są ortogonalne.

13. Metodą Grama-Schmidta utworzyć zbiór ortonormalny wektorów ze zbio-

ru x

1

, x

2

, x

3

, gdzie

x

1

= (1, 1, 1), x

2

= (1, 1, −1), x

3

= (2, 1, 1)

.

3