1

Prawie wszystkie dziedziny nauki posługują się metodami statystycznymi w celu wydobycia

wiedzy z dużych zbiorów informacji. Zarówno informatyka, jako nauka zajmująca się m.in.

zbieraniem i przetwarzaniem informacji, jak i fizyka, wykorzystują osiągnięcia statystyki i

rachunek prawdopodobieństwa. Fizyka doświadczalna dostarcza nam pewnego zasobu

danych będących wynikiem eksperymentów – czyli informacji, na podstawie których można

uzyskać ogólny opis materii, zjawisk fizycznych, praw nimi rządzących – czyli wiedzę.

Możemy podzielić ten proces na dwa etapy:

1.

zbieranie danych,

2.

wyciąganie wniosków.

Oba etapy wymagają użycia odpowiednich metod opartych na statystyce

i rachunku prawdopodobieństwa.

1. ELEMENTY STATYSTYKI I RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA.

Załóżmy, że mamy do wykonania jakieś doświadczenie, np. rzut kostką

do gry. W rezultacie otrzymujemy różne wyniki (oczywiście ilość możliwych wyników jest

w tym wypadku ograniczona i wynosi 6). Nie możemy z całą pewnością przewidzieć wyniku,

ponadto wynik następnego rzutu nie zależy od wyniku poprzedniego. Jeśli powtórzymy nasz

eksperyment dostateczną ilość razy (tu oczywiście powstaje problem co to znaczy

„dostateczną”) a kostka nie była oszukana możemy zauważyć, że każda liczba oczek

występuje w przybliżeniu równie często. Przez częstość bezwzględną (oznaczmy ją

x

n )

rozumieć będziemy ilość wystąpień określonej liczby oczek

x

w całym eksperymencie, czyli

w

N

rzutach (np. ilość „trójek” oznaczymy

3

n , bo

3

=

x

), natomiast częstość względna (

x

f )

równa jest stosunkowi częstości bezwzględnej do całkowitej liczby rzutów, czyli

N

n

f

x

x

=

.

( 1)

Spróbujmy

opisać to zdarzenie losowe w sposób teoretyczny używając

podstawowych pojęć. Niech ilość rzutów

N

dąży do nieskończoności

∞

→

N

. Wynikiem

pojedynczego rzutu może być tylko jedna z sześciu liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mówimy,

że zmienna losowa

x

przyjmuje takie właśnie wartości. Są to tylko określone wartości – w

tym wypadku sześć liczb całkowitych. Taką zmienną losową nazywamy dyskretną

(skokową). Wcześniej mówiliśmy o częstości występowania określonej liczby oczek. Gdy

ilość rzutów dąży do nieskończoności, częstość względna dąży do prawdopodobieństwa:

N

n

P

x

x

=

, gdzie

∞

→

N

( 2)

Jeśli kostka nie jest oszukana, prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową każdej

2

z sześciu wartości jest jednakowe. Możemy zilustrować to przy pomocy wykresu:

0

1

2

3

4

5

6

7

x

P(x)

1/6

Rys. 1. Rzut kostką do gry. Rozkład prawdopodobieństwa.

Taki sposób opisu zmiennej losowej przy pomocy prawdopodobieństw nazywamy

rozkładem zmiennej losowej. Zauważmy, że powyższy rozkład jest unormowany do

jedynki, tzn. suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych rezultatów, czyli

prawdopodobieństwo, że w wyniku rzutu kostką otrzymamy liczbę oczek równą liczbie

całkowitej od 1 do 6, jest równe „jedności”, co w języku rachunku prawdopodobieństwa

oznacza „pewność” (pomijamy możliwość rozpadnięcia się kości, rezultat interesujący raczej

dla osób badających historię amnestii, pozwalał on bowiem ujść skazańcowi z życiem).

Przykładem rozkładu zmiennej losowej dyskretnej, w którym prawdopodobieństwo

przyjęcia przez zmienną określonej wartości z dozwolonego przedziału (dodatnie liczby

całkowite) nie jest dla wszystkich wartości zmiennej jednakowe jest rozkład Poissona

(czyt. „płasona”).

Rozkład ten czasami nazywany jest rozkładem zdarzeń rzadkich, ponieważ mamy

z nim do czynienia wtedy, gdy niezależnie występujące zdarzenia losowe są bardzo mało

prawdopodobne. Rozkładem tym opisywano np. liczbę zgonów żołnierzy na skutek kopnięcia

konia w pruskiej armii, ale podlega mu również np. liczba rozpadów jąder w próbce

promieniotwórczej na jednostkę czasu. Znane są również przykłady wnioskowania

odwrotnego. Fakt, że liczba cząstek powstałych w wyniku eksperymentów akceleratorowych

nie daje się opisać rozkładem Poissona, który opisuje zdarzenia niezależne, pozwolił na

wysnucie wniosku, że cząstki te nie są produkowane w sposób niezależny. Podobnie jest

z wyszukiwaniem słów kluczowych w tekście. Słowa związane z tematem tekstu nie

pojawiają się w nim przypadkowo i nie powinny dać się opisać rozkładem Poissona.

3

x

P

x

Rys. 2. Przykładowy rozkład Poissona.

W omawianych wyżej przykładach zmienna losowa mogła przyjmować tylko wartości

dyskretne. Jeśli zmienna losowa może być dowolną liczbą rzeczywistą z dozwolonego

przedziału nazywamy ją ciągłą zmienną losową. W przypadku, gdy prawdopodobieństwo

przyjęcia przez zmienną losową dowolnej wartości rzeczywistej z określonego przedziału

b

a;

1

jest jednakowe mamy do czynienia z tzw. rozkładem równomiernym.

Generator liczb losowych (w rzeczywistości pseudolosowych) daje liczby z takiego

właśnie rozkładu (przy czym

1

,

0

=

= b

a

), tzn. że losując kolejną liczbę z jednakowym

prawdopodobieństwem otrzymamy dowolną liczbę rzeczywistą z przedziału

1

;

0

(osoby

grające w gry losowe powinny zwrócić uwagę, że prawdopodobieństwo otrzymania takiej

samej liczby co poprzednio jest takie samo jak każdej innej ponieważ zdarzenia są

niezależne!).

1

Nawias trójkątny „

” oznacza, że wartość należy do przedziału, nawias okrągły „

(

”, że jest z niego

wyłączona.

4

Rys. 3. Rozkład równomierny.

Wyobraźmy sobie teraz następujące doświadczenie. Do pionowej płyty

przymocowano cienkie pręty tak, jak przedstawia to rys. 4. Jest to tzw. tablica Galtona.

Rys. 4. Tablica Galtona

Doświadczenie polega na przepuszczeniu przez taki tor przeszkód dużej ilości kulek

i zbadaniu w jaki sposób rozłożą się w przegrodach w najniższym rzędzie. Jeśli odstępy

pomiędzy prętami są dobrane do wielkości kulek tak, że prawdopodobieństwo odchylenia

x

f(x)

a

b

Δx

5

kulki w obie strony jest równe (tzn. są niewiele większe od średnicy kulek tak, żeby zderzenia

z prętami były centralne), najwięcej kulek wpadnie do środkowych przegród (gdyby kulki

miały tendencje do odchylania się raczej w lewo, najwięcej wpadło by do przegród

położonych na lewo od środka, itd.). Ilościowo możemy zilustrować wyniki doświadczenia w

postaci tzw. histogramu. Na osi X odkładamy numer przegrody (i), na osi Y liczbę kulek,

które do niej wpadły (czyli częstość bezwzględną) lub też stosunek tej liczby do wszystkich

kulek użytych w eksperymencie (czyli częstość względną).

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

i

n

i

Rys. 5. Przykładowy histogram.

Przedstawiony histogram jest oczywiście histogramem przykładowym, ponieważ

powtarzając doświadczenie w tych samych warunkach za każdym razem możemy uzyskać

trochę inne wyniki. Są to wyniki doświadczalne będące rezultatem procesu losowego.

Aby uzyskać opis teoretyczny musimy znaleźć wzór funkcji, której wykres przechodzi przez

środki słupków histogramu w matematycznie wyidealizowanej sytuacji gdy liczba kulek dąży

do nieskończoności, natomiast średnice kulek, odległości między prętami i szerokości

przegród dążą do zera. Częstości względne przechodzą wtedy w prawdopodobieństwa,

a numery przedziałów możemy zastąpić wartościami ciągłej zmiennej losowej. Okazuje się,

że w takim wyidealizowanym, granicznym przypadku linia przechodząca przez środki

słupków (których szerokości dążą do zera) dąży do wykresu funkcji:

( )

2

2

2

2

1

)

(

σ

π

σ

x

x

e

x

f

−

−

=

( 3)

Jest to funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Gaussa, zwanego inaczej

rozkładem normalnym

.

Zauważmy, że w odniesieniu do prawdopodobieństwa zostało tutaj użyte słowo

6

„gęstość”. W przypadku skokowej zmiennej losowej mogliśmy mówić

o prawdopodobieństwie przyjęcia przez zmienną danej wartości (np. w rzucie kostką

prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba oczek

4

=

x

wynosi 1/6, czyli

6

1

4

=

P

lub

( )

6

1

4

=

P

). Gdy mamy do czynienia ze zmienną ciągłą przyjmującą wartości liczb

rzeczywistych, prawdopodobieństwo to odnosi się raczej do przedziału liczbowego

(

)

x

x

x

Δ

+

,

. Jeśli szerokość przedziału

x

Δ

dąży do zera odpowiada mu wartość gęstości

prawdopodobieństwa

)

(x

f

, a prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową wartości

z przedziału

(

)

x

x

x

Δ

+

,

jest równe

(

)

x

x

f

x

x

x

P

Δ

⋅

=

Δ

+

)

(

,

.

( 4)

Użycie określenia „gęstość” powinno teraz wydawać się bardziej uzasadnione, kiedy bardziej

widoczna staje się analogia do znanej z lekcji fizyki w szkole gęstości ciał

ρ

(

V

m

⋅

=

ρ

,

gdzie

m

– masa,

V

- objętość).

Przyjrzyjmy

się jeszcze raz rysunkowi 3. Zaznaczono na nim przykładowy przedział

o szerokości

x

Δ

. Ze wzoru 4 wynika, że prawdopodobieństwu odpowiada pole powierzchni

(wysokość zaciemnionego prostokąta pomnożona przez jego szerokość) pod wykresem

funkcji gęstości ograniczone krańcami przedziału (lewy kraniec przedziału jest równy

x

,

prawy:

x

x

Δ

+

). Całemu dozwolonemu przedziałowi

b

a

,

powinno odpowiadać zdarzenie

pewne, czyli – jeśli rozkład jest unormowany - prawdopodobieństwo równe jedności.

Rzeczywiście łatwo można obliczyć, że pole powierzchni pod całym wykresem

z rys. 3 jest równe 1. Również rozkład Gaussa opisany wzorem 3 jest unormowany

do jedności. Przyjrzyjmy się bliżej temu wzorowi. Występują w nim dwa parametry:

x

- wartość średnia (liczba rzeczywista),

σ - odchylenie standardowe (dodatnia liczba rzeczywista).

Od wartości średniej zależy położenie wykresu względem osi X,

σ odpowiada natomiast za

jego szerokość. Im odchylenie standardowe jest mniejsze, wykres staje się węższy ale

jednocześnie wyższy tak, aby pole pod wykresem pozostało niezmienione. W odróżnieniu od

rozkładu równomiernego, w przypadku rozkładu Gaussa wykres funkcji nie przecina nigdy

osi X, zbliża się tylko do niej asymptotycznie (

0

)

(

→

x

f

gdy

±∞

→

x

). Oznacza to, że cały

dozwolony przedział to

(

)

+∞

∞

− ,

, czyli wszystkie liczby rzeczywiste. Jeśli zmienna losowa

podlega rozkładowi normalnemu, możemy powiedzieć zatem, że pewne jest tylko to, że

przyjmie jakąś wartość rzeczywistą

7

(

)

1

,

=

+∞

∞

−

P

.

Rys. 6. Rozkład Gaussa dla różnych parametrów

x

i

σ

.

2

1

σ

σ

<

.

Prawdopodobieństwo, że wartość ta znajdzie się w przedziale

σ

σ

+

−

x

x

,

wynosi w przybliżeniu 0.6826, czyli 68.26%,

σ

σ

2

,

2

+

−

x

x

- 0.9545, czyli 95.45%,

σ

σ

3

,

3

+

−

x

x

- 0.9973, czyli 99.73%.

Wartości parametrów

x

i

σ

można odczytać z wykresu funkcji gęstości

prawdopodobieństwa. Wartość

zmiennej losowej

x

, dla której gęstość prawdopodobieństwa

)

(

x

f

jest największa odpowiada wartości średniej

x

, wartości

σ

σ

+

−

x

x

,

na osi X

natomiast wyznaczają tzw. punkty przegięcia. Są to charakterystyczne punkty na krzywej, w

których krzywa zmienia kształt z wklęsłego na wypukły lub odwrotnie. Ponieważ we wzorze

3 występuje funkcja eksponencjalna (

( )

exp

), szczególny przypadek funkcji wykładniczej

o podstawie

e

(

72

.

2

≈

e

tzw. liczba Nepera lub Eulera), mająca w wykładniku zmienną

podniesioną do kwadratu, krzywa Gaussa (zwana również krzywą dzwonową) posiada dwa

takie punkty.

Rozkład normalny o wartości średniej

x

i odchyleniu standardowym

σ

oznaczamy

x

f(x)

σ

1

σ

2

σ

2

8

symbolem

( )

σ

,

x

N

. Rozkład

( )

1

,

0

N

nazywamy standardowym rozkładem normalnym.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

f(x)

Rys. 7. Standardowy rozkład normalny.

0

=

x

,

1

=

σ

.

Rozkład o dowolnych parametrach można poprzez odpowiednie przekształcenia

sprowadzić do standardowej postaci i odwrotnie, ze standardowego rozkładu można łatwo

otrzymać rozkład o dowolnych parametrach

x

i

σ . Jest to użyteczne, ponieważ pola pod

krzywą Gaussa nie można obliczyć analitycznie tak, jak w przypadku np. rozkładu

równomiernego, gdzie mamy do czynienia z polami prostokątów. Numerycznie policzone i

zawarte w odpowiednich tablicach wartości pól odnoszące się do rozkładu standardowego

pozwalają na nieskomplikowane analityczne obliczanie pól dla rozkładu o dowolnych

parametrach.

Zastanówmy

się jakie zmienne losowe mogą podlegać rozkładowi normalnemu.

Tablica Galtona jest ilustracją pewnego procesu, w którym na ostateczny wynik wpływ ma

wiele niezależnych czynników (każdemu z nich odpowiada jeden rząd w tablicy Galtona).

Ogólnie taki sam wynik dostajemy, gdy badamy zmienną losową będącą sumą wielu

niezależnych zmiennych o takich samych rozkładach. W praktyce okazuje się jednak,

że wielkości, na które ma wpływ wiele niezależnych czynników, których liczby i charakteru

wpływu nawet nie znamy, dają się z dobrym przybliżeniem opisać rozkładem Gaussa.

Przykładem takich wielkości mogą być wzrost czy długość stopy dorosłego człowieka.

Nie z tego powodu jednak poświęciliśmy rozkładowi normalnemu tyle uwagi.

W laboratorium będziemy zajmować się pomiarami różnych wielkości fizycznych. Pomiar

jest złożonym procesem, w którym na ostateczny wynik wpływ ma wiele czynników.

W rezultacie mierząc daną wielkość w tych samych warunkach za każdym razem możemy

otrzymać trochę inną wartość. Jeśli powtórzymy nasz pomiar dostatecznie dużo razy

i przyjrzymy się sporządzonemu z wyników histogramowi, okaże się, że obwiednia

histogramu przypomina krzywą Gaussa. Jeśli tak jednak nie jest mamy podstawy

9

przypuszczać, że popełniliśmy błędy, których można uniknąć. Posługując się mechanicznym

modelem rozkładu normalnego jakim jest tablica Galtona, wyobraźmy sobie, że jeden rząd

prętów jest uszkodzony tak, że kulki nie odchylają się z jednakowym prawdopodobieństwem

w prawo i w lewo. Spowoduje to zaburzenie sytuacji z jaką mieliśmy do czynienia w

przypadku prawidłowo skonstruowanej tablicy, gdzie średnio biorąc – mówiąc już językiem

potocznym i odwołując się do intuicji – odchyleń w prawo i w lewo jest tyle samo i „w końcu

wychodzi na zero”. (Wskazówka dla osób chcących rozważyć to ściśle: Ile dróg prowadzi do

każdej z przegród? Do których przegród prowadzi tylko jedna droga, a do której najwięcej

dróg? Co to jest częstość względna i prawdopodobieństwo?). Błędami, z którymi mamy do

czynienia w procesie pomiarowym zajmiemy się w dalszej części naszych rozważań.

2. Błędy pomiarowe w pomiarach bezpośrednich

Celem pomiaru wielkości fizycznej jest poznanie jej wartości rzeczywistej (

R

x

).

W praktyce jest to jednak niemożliwe. Niemożliwe jest bowiem dokonanie pomiaru nie

obarczonego błędem. Różnicę pomiędzy wartością rzeczywistą a zmierzoną (

x

) nazywać

będziemy błędem bezwzględnym (

x

x

R

−

), błąd względny natomiast określa jaką część

wartości rzeczywistej stanowi błąd bezwzględny:

R

R

x

x

x

x

−

=

δ

(5)

Błąd względny można również wyrazić w procentach mnożąc powyższy wzór przez

%

100

.

Nie znając wartości rzeczywistej

R

x

nie jesteśmy w stanie określić dokładnej wartości

błędów. Możemy natomiast dokonać ich oceny i wyeliminować te błędy, których przyczyny

powstania i charakter wpływu jest nam znany. Są jednak błędy, których nie jesteśmy w stanie

skorygować. Musimy zatem dokonać oceny wartości rzeczywistej oraz oceny błędu z jakim

została wyznaczona. Dopiero te dwie wartości stanowią prawidłową odpowiedź w fizyce

doświadczalnej.

Metody oceny wartości opierają się na statystyce i rachunku prawdopodobieństwa.

Konieczne jest więc zebranie dużej liczby danych. Możemy zrealizować to na przykład

poprzez wielokrotne powtórzenie pomiaru w tych samych warunkach pomiarowych.

Od liczby pomiarów oraz prawidłowego ich opracowania zależy dokładność wyniku naszego

eksperymentu.

Już na pierwszym etapie opracowania danych pomiarowych należy pozbyć się

10

wpływu na ostateczny wynik tzw. błędów grubych. Przyczyną ich powstania może być

np. pomyłka eksperymentatora przy odczytywaniu wyniku. W rezultacie otrzymujemy

wynik, który znacznie odbiega od innych wyników. Prawdopodobieństwo popełnienia

takiego błędu jest małe, zatem jeśli przyglądając się dużej liczbie zebranych danych

pomiarowych zauważymy kilka wartości znacznie odbiegających od reszty, możemy

pominąć je w opracowaniu. Mówimy, że odrzucamy pomiary obarczone błędem grubym. Są

one odpowiedzialne za powstawanie peryferyjnych części histogramu (słupków daleko

położonych od środka).

Drugim rodzajem dających się wyeliminować błędów są tzw. błędy systematyczne.

Mogą one być spowodowane nieuwzględnieniem pewnych poprawek (np. siły wyporu

powietrza przy bardzo dokładnym ważeniu), czy też wadami urządzeń pomiarowych

(przykładem może być źle wyskalowany przyrząd). W efekcie tego rodzaju błędy powodują

przesunięcie całego histogramu wzdłuż osi X (każdy pomiar obarczony jest dodatkowo

błędem o takiej samej wartości). Trudniejsze do skorygowania są błędy systematyczne

charakteryzujące się nie stałą, lecz zmieniającą się według określonego prawa wartością.

Wyobraźmy sobie na przykład, że dokonujemy bardzo dokładnego pomiaru długości

metalowego pręta. Jeśli w trakcie pomiaru, na skutek różnych czynników, temperatura

wzrasta na tyle, że zjawisko termicznej rozszerzalności metali staje się nie do pominięcia,

otrzymywać będziemy coraz to większe wartości długości pręta. Znając jednak zależność

długości od temperatury i przebieg zmian tego czynnika zewnętrznego możemy dokonać

odpowiednich poprawek.

Po pozbyciu się błędów grubych i systematycznych pozostaje nam zająć się

niemożliwymi do wyeliminowania błędami statystycznymi (przypadkowymi). Są one

wynikiem działania wielu czynników, których wpływ na rezultat pomiaru ma charakter

fluktuacji i powodują, że wyniki wielokrotnego pomiaru tej samej wartości w warunkach,

które uważamy za jednakowe układają się w krzywą Gaussa.

Wróćmy do mechanicznego modelu rozkładu normalnego jakim jest tablica Galtona.

Każdy rząd prętów umocowanych na tablicy odpowiada jednemu czynnikowi, który ma

wpływ na wartość pomiaru. Przykładem mogą być warunki zewnętrzne (takie jak

temperatura, ciśnienie powietrza, wahania napięcia zasilania itp.), czy też niedokładność

odczytu. Jak już mówiliśmy w poprzednim rozdziale nie znamy i nie musimy nawet znać ich

liczby. Jednakowe prawdopodobieństwo odchylenia kulki w prawą i lewą stronę ilustruje

fluktuacyjny wpływ czynników. Oznacza to, że dana wartość (np. napięcia zasilania) może

odbiegać nieznacznie od pewnej wartości, którą przybiera najczęściej raz w jedną raz

11

w drugą stronę. Zmiany te mają charakter losowy. Losowy charakter zatem mają same

wyniki pomiaru. Jednakowe prawdopodobieństwo z jakim kulka znajdzie się

w odpowiednich przegrodach po zderzeniu z prętem powoduje, że najwięcej kulek wpadnie

do przegrody znajdującej się pod szczeliną, w której kulki zaczynają swoją drogę. Podobnie

jest w procesie pomiarowym. Jeśli zmiany czynników pomiarowych nie są jednokierunkowe

(co może być przyczyną błędów systematycznych), a mają tylko charakter fluktuacji,

powstałe w ich wyniku błędy powinny się wzajemnie znosić. Posługując się dalej analogią

do tablicy Galtona, mamy prawo przypuszczać, że środkowej przegrodzie (w której

położenie kulki względem osi X jest nie odchylone) odpowiada wartość rzeczywista

mierzonej wielkości. Jednocześnie środkowej przegrodzie tablicy odpowiada parametr

x

(wartość średnia) rozkładu normalnego. Wynika z tego, że jeśli wyniki wielokrotnego

pomiaru danej wielkości fizycznej przeprowadzone w takich samych warunkach dają się

opisać rozkładem Gaussa, najlepszą oceną rzeczywistej wartości tej wielkości jest wartość

średnia

x

.

Najlepszą oceną tego parametru jest średnia arytmetyczna:

N

x

x

x

x

x

N

+

+

+

+

=

...

3

2

1

,

(6)

gdzie:

...

,

2

1

x

x

-

oznaczają pojedyncze pomiary,

N

- liczbę wszystkich pomiarów.

Zapiszmy ten wzór używając bardziej zaawansowanych symboli:

N

x

x

N

i

i

∑

=

=

1

,

(7)

gdzie:

indeks

N

i

,...

3

,

2

,

1

=

.

Parametr

σ , który jest miarą rozmycia rozkładu Gaussa, a co za tym idzie miarą rozrzutu

naszych wyników wokół wartości średniej możemy ocenić przy pomocy wzoru:

(

)

1

1

2

−

−

=

∑

=

N

x

x

N

i

i

x

σ

.

(8)

Korzystając z wiadomości zawartych w rozdziale 1. możemy powiedzieć, że jeśli

skądinąd (mówimy „a priori”, co oznacza „z założenia”) wiemy, że pomiary podlegają

rozkładowi Gaussa o parametrach

x

i

x

σ

(co zapisujemy w postaci

( )

x

x

N

x

σ

,

~

)

12

i dokonujemy pojedynczego pomiaru, na 68% zmierzona wartość

x

znajdzie się

w przedziale

(

)

x

x

x

x

σ

σ

+

−

,

.

Jest to zarazem prawdopodobieństwo, że wartość średnia

x

znajduje się w przedziale

(

)

x

x

x

x

σ

σ

+

−

,

(zrozumienie tego może ułatwić wyobrażenie sobie wykresu

przedstawiającego dwa rozkłady Gaussa:

( )

x

x

N

σ

,

i rozkładu o wartości średniej równej

x

,

czyli

(

)

x

x

N

σ

,

). Mimo tego, że nie jest to zbyt duża szansa, wartość

x

σ

podaje się jako błąd

pojedynczego pomiaru (dokładnie określamy go mianem średniego błędu kwadratowego

pojedynczego pomiaru

)

x

x

s

σ

=

.

(9)

Wybór taki podyktowany jest koniecznością pogodzenia dwóch sprzecznych interesów:

chcemy mieć możliwie jak najmniejszy błąd i możliwie jak największe

prawdopodobieństwo, że wartość średnia (będąca najlepszą oceną wartości rzeczywistej)

zawarta jest w przedziale

x

s

x

± .

Udowodnijmy zasadność wyboru na ogólnym przykładzie rozkładu normalnego

o parametrach

μ

(wartość średnia) i

σ (odchylenie standardowe). Jak już wiemy

z poprzedniego rozdziału, miarą prawdopodobieństwa w rozkładach gęstości

prawdopodobieństwa jest pole pod wykresem funkcji gęstości. Zwiększanie pola, czyli

prawdopodobieństwa (tzw. poziomu ufności) wiąże się z poszerzaniem przedziału, który mu

odpowiada (tzw. przedziału ufności). Ponieważ krańce przedziału

(

)

σ

μ

σ

μ

+

− ,

wyznaczone są przez punkty przegięcia, stosunkowo małe zawężenie przedziału ufności

powoduje stosunkowo duże zmniejszenie pola (w tym obszarze krzywa Gaussa jest

wypukła), poszerzanie przedziału zaś jest mało opłacalne (na zewnątrz przedziału

(

)

σ

μ

±

krzywa dzwonowa jest wklęsła i pole pod nią daje już mały wkład do poziomu ufności,

porównaj przedziały i odpowiadające im wartości prawdopodobieństwa podane w rozdz. 1

).

Wybór 5 można uznać więc za optymalny.

Ostatecznie, zgodnie z zasadą, że podanie wyniku pomiaru wymaga określenia błędu

z jakim był wyznaczony, rezultat pojedynczego pomiaru przedstawiamy w formie:

x

s

x

±

.

( 50)

Podobnie podanie wartości średniej jako najbardziej zbliżonej do wartości

rzeczywistej mierzonej wielkości fizycznej wymaga określenia niepewności jej znajomości.

Wartość średnia obliczona przy pomocy wzoru 7 z danych doświadczalnych podlega również

rozkładowi normalnemu (jest zmienną losową o rozkładzie Gaussa). Gdybyśmy powtórzyli

13

wielokrotnie eksperyment polegający na wykonaniu

N

pomiarów tej samej wielkości, z

każdej serii

N

pomiarów obliczyli wartość średnią i usypali z tych wartości histogram

okazałoby się, że daje się on również opisać krzywą Gaussa. Parametr

x

σ

tej krzywej byłby

jednak znacznie mniejszy niż odchylenie standardowe serii składającej się z

N

pomiarów.

Można udowodnić, że związek pomiędzy tymi wartościami jest następujący:

N

x

x

σ

σ

=

.

(11)

Rozkład wartości średniej jest więc N -krotnie węższy od rozkładu wyników pomiaru.

Jak

już wykazaliśmy wcześniej, przyjęcie za błąd odchylenia standardowego jest

wyborem optymalnym. Jako niepewność znajomości wartości średniej zatem należy podać

wartość obliczoną ze wzoru:

(

)

(

)

1

1

2

−

⋅

−

=

∑

=

N

N

x

x

s

N

i

i

x

(12)

gdzie:

x

s nazywamy średnim błędem kwadratowym wartości średniej.

Ostatecznie wynik pomiaru wielkości fizycznej

X , której wartości rzeczywistej nie znamy,

zapisujemy jako:

(

)

x

s

x

X

±

=

,

(13)

co oznacza tylko tyle, że prawdopodobieństwo, że wartość rzeczywista znajduje się

w przedziale

(

)

x

x

s

x

s

x

+

− ,

wynosi 68%.

Ze wzoru 12 wynika, że im więcej pomiarów wykonamy tym błąd wyznaczenia

wartości średniej jest mniejszy, węższy jest więc przedział, w którym

z prawdopodobieństwem 68% znajduje się wartość rzeczywista, co oznacza, że wynik jest

dokładniejszy. W praktyce jednak zwiększanie liczby pomiarów wiąże się z wydłużaniem

czasu trwania eksperymentu, co zwiększa prawdopodobieństwo jednokierunkowej zmiany

warunków zewnętrznych. Należy zatem uważać by nie spowodować powstania błędów

systematycznych.

Interpretacja zapisu 13 opiera się na założeniu, że wyniki pomiarów podlegają

rozkładowi normalnemu. Faktycznie jest to tylko hipoteza, czyli przypuszczenie podlegające

weryfikacji. Weryfikacja, która polega na sprawdzeniu prawdziwości, może zostać dokonana

przy pomocy testów zgodności. Jednym z takich testów używanych do porównywania

rozkładów doświadczalnych z teoretycznymi jest test χ

2

(chi-kwadrat).

14

3. Testowanie hipotezy przy pomocy testu χ

2

przedstawione na

wybranym przykładzie.

Nauczmy

się posługiwać testem χ

2

na wybranym przykładzie. Jak wiadomo jednym

z warunków prawidłowego działania łożyska jest to, aby kulki użyte do jego produkcji miały

takie same średnice. Określenie „takie same” jest jednak czysto teoretyczne, ponieważ

w praktyce niemożliwe jest wyprodukowanie takich kulek. Jest to spowodowane

nieuniknionymi błędami w procesie produkcji. Błędy te (spowodowane np. fluktuacjami

warunków zewnętrznych) mają taki sam charakter jak błędy pomiarowe. Proces kontroli

jakości ma za zadanie odrzucenie elementów o średnicach znacznie (to, co rozumiemy pod

pojęciem „znacznie” jest oczywiście ilościowo dokładnie określone i podane przez

producenta) odbiegających od wartości nominalnej (zwróćmy uwagę na analogię do błędów

grubych omawianych w poprzednim rozdziale). Wiedząc już jakie skutki wywołują błędy

statystyczne, przypuszczamy, że rzeczywiste wartości średnic kulek podlegają rozkładowi

normalnemu. Jednokierunkowa zmiana warunków w trakcie trwania produkcji może jednak

być powodem wystąpienia błędów systematycznych. Jeśli wpływ takich błędów na wartości

średnic jest na tyle mały, że kulki nie zostaną odrzucone podczas kontroli jakości

uwzględnienie ich w rozkładzie może spowodować jego deformację. Błędy systematyczne

o stałej wartości spowodują tylko przesunięcie wartości średniej względem wartości

nominalnej, nie są one odpowiedzialne za zmianę kształtu rozkładu .

Z

wcześniejszych rozważań zawartych w tym opracowaniu wynika, że zbadanie

rozkładu wartości rzeczywistych jest w praktyce nie do zrealizowania ze względu na

występowanie nieuniknionych statystycznych błędów pomiarowych. Mamy prawo jednak

przypuszczać, że wyniki pojedynczych pomiarów średnicy serii

N

kulek podlegają również

rozkładowi Gaussa. Podstawą tego przypuszczenia jest twierdzenie, że zmienna losowa

x

będąca sumą zmiennych losowych o rozkładach normalnych podlega również rozkładowi

normalnemu.

Stawiamy zatem hipotezę, że zmienna losowa

x

podlega rozkładowi Gaussa

o parametrach

x

i

x

σ

, co zapisujemy symbolicznie w postaci:

( )

x

x

N

x

H

σ

,

~

:

0

.

Aby ją zweryfikować w pierwszej kolejności dokonujemy oceny parametrów założonego

rozkładu korzystając ze wzorów 7 i 8.

15

Jakościowo możemy porównać rozkład doświadczalny z teoretycznym (założonym)

przedstawiając wyniki pomiarów w postaci histogramu i nanosząc odpowiednią krzywą

teoretyczną. W tym celu musimy cały zakres pomiarowy (oznaczmy go literą

r ) podzielić na

odpowiednią liczbę przedziałów (

k

), przy czym

min

max

x

x

r

−

=

,

(14)

gdzie:

max

x

oznacza największą zmierzoną wartość,

min

x

odpowiednio najmniejszą.

Niestety wynik testu zależy od liczby przedziałów

k

, wyborem której nie rządzą żadne

dające się teoretycznie uzasadnić zasady. Otrzymamy w ten sposób jakby

k

„szufladek”,

do których posortujmy nasze pomiary. Szerokość każdego przedziału jest taka sama i równa

k

r

x

=

Δ

.

( 15)

Histogram jest słupkowym wykresem, w którym na osi X odkładamy numery przedziałów

lub wartości zmiennej losowej

x

(zaznaczenie tylko wartości odpowiadających krańcom

przedziałów czyni wykres bardziej czytelnym). Na osi Y natomiast, dla każdego przedziału,

którego numer możemy oznaczyć indeksem

l

(

k

l

...

1

=

) zaznaczamy liczbę pomiarów (

l

n ),

które „wpadają” do tego przedziału. Mówimy, że pomiar „wpada” do danego przedziału,

jeśli jego wartość jest większa od wartości lewego krańca przedziału i jednocześnie mniejsza

od wartości prawego krańca. W tym miejscu nasuwa się pytanie co zrobić gdy pomiar ma

wartość równą któremuś krańcowi. Oczywiście nie możemy takiego pomiaru zaliczyć do

dwóch przedziałów jednocześnie, nie możemy również pominąć go w ogóle. Z tych

względów przedziały muszą być jednostronnie domknięte (mówiliśmy już co to oznacza przy

okazji rozkładu równomiernego). Wybór pomiędzy lewostronnie i prawostronnie

domkniętymi przedziałami jest dowolny, obowiązuje nas jednak konsekwencja w całym

opracowaniu. Symbolicznie zapisujemy to w postaci:

)

l

P

l
L

x

x ,

lub

(

l

P

l

L

x

x ,

,

gdzie:

l
L

x symbolizuje lewy kraniec

l

-tego przedziału, a

l
P

x jego prawy kraniec.

Wyjątek od tej reguły stanowią lewy kraniec pierwszego przedziału

1

L

x i prawy kraniec

ostatniego przedziału

k

P

x , które muszą być zawsze domknięte. Dzięki temu

max

x

i

min

x

nie

zostaną pominięte w opracowaniu. Za

1

L

x bowiem przyjmujemy najmniejszą zmierzoną

wartość (

min

1

x

x

L

=

),

k

P

x natomiast powinno odpowiadać wartości największej (

max

x

x

k

P

=

).

16

Ogólnie prawy kraniec przedziału powstaje przez dodanie do lewego krańca wartości

szerokości przedziału, czyli dla dowolnego przedziału o numerze

l

mamy:

x

x

x

l

L

l
P

Δ

+

=

.

(16)

Prawy kraniec poprzedniego przedziału jest jednocześnie lewym krańcem następnego:

1

+

=

l

L

l
P

x

x

.

(17)

Krańce (granice) przedziałów obliczamy zatem korzystając ze wzorów:

x

l

x

x

l
L

Δ

⋅

−

+

=

)

1

(

min

x

l

x

x

l
P

Δ

⋅

+

=

min

.

(18)

Rzeczywiście po dokonaniu prawidłowych obliczeń

k

P

x powinien odpowiadać największej

zmierzonej wartości:

(

)

max

min

max

min

min

min

x

x

x

x

k

r

k

x

x

k

x

x

k

P

=

−

+

=

⋅

+

=

Δ

⋅

+

=

.

(19)

Naniesienie na gotowy histogram krzywej teoretycznej wymaga policzenia

teoretycznych wartości

l

n (oznaczmy je

t

l

n ). Określają one jakiej wartości

l

n spodziewamy

się średnio

2

przypuszczając, że zmienna losowa

x

podlega rozkładowi Gaussa o parametrach

x

i

x

σ

.

Z

wiadomości zawartych w rozdz. 1. wynika, że prawdopodobieństwo znalezienia się

wyniku pomiaru w danym przedziale jest równe polu pod krzywą ograniczonemu krańcami

tego przedziału. Pozwólmy sobie na zastosowanie przybliżenia tego pola polem prostokąta,

tzn. niech

x

x

f

x

x

P

l

C

l

P

l

L

Δ

⋅

=

)

(

)

,

(

,

(20)

gdzie

l

C

x oznacza środek

l

-tego przedziału:

2

l
P

l

L

l

C

x

x

x

+

=

,

(21)

a )

(

l

C

x

f

wartość funkcji gęstości prawdopodobieństwa określoną wzorem 3.

Doświadczalnym wartościom

l

n odpowiadają prawdopodobieństwa )

,

(

l

P

l

L

x

x

P

określone wzorem 20. Aby jednak porównać te wartości musimy oba rozkłady

(doświadczalny i teoretyczny) unormować do tej samej wartości (pola pod rozkładami muszą

być równe). Jeśli na osi Y histogramu odkładamy liczbę (spośród

N

pomiarów) wyników,

które wpadają do danego przedziału, czyli częstości bezwzględne

l

n , odpowiadają im

wartości teoretyczne, które należy obliczyć jako:

2

l

n

jest bowiem również zmienną losową (podlega fluktuacjom), jest to jednak zmienna losowa dyskretna.

17

N

x

x

f

N

x

x

P

n

l

C

l

P

l
L

t

l

⋅

Δ

⋅

=

⋅

=

)

(

)

,

(

.

(22)

Warto zwrócić uwagę, że są to liczby rzeczywiste. Porównywanie ich z naturalnymi

wartościami

l

n

nie wymaga jednak zaokrąglania. Jest to wręcz niewskazane, gdyż powoduje

wprowadzenie niepotrzebnego błędu, co ma szczególne znaczenie przy ilościowym

porównywaniu rozkładu doświadczalnego z teoretycznym.

Jakościowe porównanie polegające na określeniu stopnia zgodności bez zastosowania

liczbowej miary pozwala nam tylko powiedzieć, że „naszym zdaniem rozkłady są podobne

lub nie”. Jest to jednak odpowiedź niewystarczająca w ścisłej dziedzinie nauki jaką jest

fizyka. Hipoteza

0

H

wymaga weryfikacji, która jest ściśle określoną procedurą opartą na

statystyce i rachunku prawdopodobieństwa. Stosując taki sposób badania prawdziwości

przypuszczenia dokonujemy porównania ilościowego. Jedną z metod jest test

χ

2

.

Z przyczyn, które pozostawiamy dociekliwemu czytelnikowi do samodzielnego

studiowania, wartość

χ

2

należy obliczyć z następującego wzoru:

(

)

∑

∑

=

=

−

=

=

'

1

2

'

1

2

'

'

'

k

l

t

l

t

l

l

k

l

l

n

n

n

m

χ

.

(23)

Użyliśmy w nim znanych z dotychczasowych rozważań oznaczeń opatrzonych jednak

dodatkowo znaczkiem „’ „. Znaczek ten symbolizuje tutaj odpowiednie wartości po

dokonaniu pewnego zabiegu. Zabieg ten jest podyktowany koniecznością spełnienia

warunku, że częstość bezwzględna

l

n

nie może być zbyt mała jeśli chcemy porównywać

rozkład doświadczalny (histogram) z rozkładem teoretycznym przy pomocy testu

χ

2

.

Zwykło się przyjmować, że

l

n

musi być większa od pięciu:

5

>

l

n

.

(24)

Warunek 24 w praktyce nie zawsze jest jednak spełniony, musimy więc dokonać pewnego

oszustwa. Polega ono na łączeniu sąsiednich przedziałów tak aby nierówność 24 była

prawdziwa (jeśli histogram sugeruje, że dane podlegają rozkładowi Gaussa, problem dotyczy

tylko peryferyjnych części histogramu, czyli słupków położonych daleko od środka). Jest to

potrzebne tylko do prawidłowego policzenia wartości

χ

2

, wystarczy zatem obliczyć wartości

opatrzone znaczkiem „’ „ występujące we wzorze 23 (rysowanie „oszukanego histogramu”

nie ma sensu). Dokonujemy tego poprzez zwykłe dodatnie liczebności doświadczalnych

sąsiednich przedziałów tylko tam gdzie jest to konieczne. Pozostałe przedziały

pozostawiamy bez zmian. Sens porównania wymaga dodania wartości

t

l

n

w sposób

analogiczny, czyli np. jeśli połączyliśmy pierwszy, drugi i trzeci przedział histogramu

18

(mówimy, że zsypaliśmy te przedziały), tzn. obliczyliśmy nową wartość

3

2

1

1

'

n

n

n

n

+

+

=

,

możemy porównać ją tylko z wartością '

1

t

n

obliczoną jako:

t

t

t

t

n

n

n

n

3

2

1

1

'

+

+

=

.

Liczba przedziałów

k

zmniejszy się więc do

'

k

(chyba że częstości wszystkich przedziałów

są większe od 5, wtedy wszystkie wartości „primowane” są równe wartościom bez znaczka

„’ „).

Przyglądając się wzorowi 23 widzimy, że występują w nim kwadraty różnic pomiędzy

odpowiednimi wartościami częstości doświadczalnych i teoretycznych:

(

)

2

'

'

t

l

l

n

n

−

.

Możemy zatem powiedzieć, że

χ

2

, zbudowane jako suma takich kwadratów (podniesienie

różnicy do kwadratu daje nam zawsze dodatnią wartość dzięki czemu nie występuje znane

nam z rozważań na temat rozkładu normalnego zjawisko znoszenia się odchyłek), jest miarą

rozbieżności rozkładów doświadczalnego i teoretycznego. Im większe różnice pomiędzy

rozkładami tym

χ

2

ma większą wartość. Musimy zatem wybrać graniczną wartość

χ

2

, do

której przyjmujemy hipotezę (uznajemy ją za prawdziwą), że dane pomiarowe podlegają

rozkładowi teoretycznemu, tzn. uznajemy rozbieżności pomiędzy rozkładami za fluktuacje

statystyczne. Otrzymanie wyniku większego od wartości granicznej pozwala na odrzucenie

hipotezy (uznanie jej za fałszywą). Należy jednak zwrócić uwagę, że

χ

2

jest również zmienną

losową i podlega rozkładowi prawdopodobieństwa (rozkład

χ

2

). Istnieje zatem różne od zera

prawdopodobieństwo, że wyniki pomiarów podlegają założonemu rozkładowi,

ale w rezultacie eksperymentu otrzymaliśmy akurat wartość

χ

2

większą od wartości

granicznej (inaczej mówiąc krytycznej). Prawdopodobieństwo to nazywamy poziomem

istotności

i oznaczamy najczęściej literą

α. Jest ono równe polu pod rozkładem χ

2

odpowiadającemu przedziałowi

(

)

+∞

,

2

,

α

χ

K

(przez

2

,

α

χ

K

oznaczyliśmy wartość krytyczną

χ

2

).

Jak widać zależy ona od dwóch parametrów: K i

α. W przypadku testowania rozkładu

normalnego

3

'

−

= k

K

.

(25)

Ogólnie jednak, w przypadku testowania innych rozkładów liczba przedziałów po zsypaniu

'

k

może być pomniejszana o inną niż 3 wartość.

Ostatecznie jeśli w wyniku eksperymentu otrzymaliśmy wartość

χ

2

taką, że:

19

•

2

,

2

α

χ

χ

K

>

hipotezę

0

H należy odrzucić, przy czym prawdopodobieństwo

odrzucenia w rzeczywistości prawdziwej hipotezy (popełnienia błędu I

rodzaju

) wynosi

α;

•

2

,

2

α

χ

χ

K

≤

nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

0

H .

Z dotychczasowych rozważań wynika, że przyjmując mniejsze wartości

α

zmniejszamy prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju, skutkuje to jednak

wybieraniem większych wartości krytycznych

2

,

α

χ

K

, a co za tym idzie zwiększaniem

przyjęcia hipotezy fałszywej (błąd II rodzaju).

Po

obliczeniu

K ze wzoru 25 i wybraniu wartości poziomu istotności

α, wartość

krytyczną

2

,

α

χ

K

należy odnaleźć w tablicach statystycznych (można również skorzystać

z funkcji statystycznych dostępnych np. w programie Excel).