1. Anna Jurczyk
Wydział Zespół
ROK II GRUPA I
2. Marika Kuczyńska
FiIS 2
Temat:
Pracownia Nr ćwiczenia:
11
fizyczna Mostek Wheatstone a
Data Zwrot do
wykonania: Data oddania: popr: Data oddania: Data zaliczenia: OCENA:
22.11.2010 25.11.2010 25.11.2010 8.12.2010
Ćwiczenie nr 32: Mostek Wheatstone a
Cel ćwiczenia:
Praktyczne zastosowanie praw Kirchhoffa i sprawdzenie zależności określających
opór zastępczy dla połączeń szeregowych, równoległych i mieszanych.
Wstęp teoretyczny:
Prawo Ohma:
Stosunek napięcia między końcami przewodnika do natężeń prądu jest wielkością stałą,
nazywaną, opornością:
= (1)
I prawo Kirchoffa:
Algebraiczna suma natężeń prądów wpływających do węzła sieci musi być równa zeru.
+ +. . . + = 0 (2)
II prawo Kirchoffa:
Suma różnic potencjałów obliczonych kolejno wzdłuż zamkniętej pętli sieci równa się zeru:
+ +. . . + = 0 (3)
Z zastosowania powyższych zależności możemy ustalić wartość oporu zastępczego dla
układu oporów połączonych:
-szeregowo:
= + +. . . + (4)
-równolegle:
1 1 1 1
= + +. . . + (5)
Mostek Wheatstone a jest układem do pomiaru (porównywania) oporów. Tworzy go
połączenie czterech oporów: Rx, R2, R3, R4 oraz galwanometru o oporze R5. Mostek jest
zasilany z ogniwa galwanicznego lub zasilacza o sile elektromotorycznej E i oporze
wewnętrznym RE
Mostek Wheatstone a używany w ćwiczeniu przedstawiono na rysunku 1. Prąd płynący
z ogniwa galwanicznego E rozgałęzia się w punkcie A. Jedna jego część płynie przez
szeregowo połączone opory Rx i R, druga przez przewód AB. Przez zmiany położenia suwaka
zmienia się stosunek oporów Ra do Rb.
Metoda Wheatstone a porównywania oporów polega na tzw. równoważeniu mostka, to
znaczy na takim dopasowaniu oporów, by potencjały w punktach D i punkcie gdzie znajduje
się suwak (x) były równe
(Vx = VD), czyli żeby prąd płynący przez galwanometr G był równy zeru.
Rys.1
Po zrównoważeniu mostka dochodzimy do zależności:
= (6)
Gdzie:
- szukana wartość oporu,
R- ustalona wartość oporu,
x- położenie suwaka,
l- długość listwy z drutem oporowym,
Aby pomiar był najdokładniejszy, należy tak dobrać R aby stan równowagi mostka można
było uzyskać w przybliżeniu w połowie długości drutu oporowego.
Układu pomiarowy:
1. Listwa z drutem oporowym, zaopatrzona w podziałkę milimetrową i kontakt ślizgowy,
umożliwiający zmiany długości odcinków x i y.
2. Opornica dekadowa R
3. Symbolem oznaczono zestaw oporników wmontowanych na odpowiedniej płytce z
pleksiglasu.
4. Mikroamperomierz G jako wskaz
nik zerowania mostka. Jego czułość można regulować.
5. Zasilacz stabilizowany 3A/30V.
Wykonanie ćwiczenia
Z dostępnych elementów łączymy obwód elektryczny według schematu na rys.1, podłączając
kolejno za 4 nieznane opory: , , oraz .
Następnie dla każdego nieznanego oporu równoważymy mostek dopasowując opór R
zaczynając od ustawienia suwaka na położeniu x= , po czym przesuwając suwak co 10 cm.
Zaczynając od położenia x=10 cm i kończąc na x=90 cm.
Następnie dokonujemy analogicznych pomiarów dla składającego się z połączonych
szeregowo, równolegle oraz w sposób mieszany(rys.2) oporów , , i .
liczymy w tym przypadku również ze wzorów 4 i 5 posługując się wyliczonymi wcześniej
wartościami , , i . Wartość tę oznaczymy jako .
Rys. 2 Układ mieszany oporów.
Wyniki pomiarów.
Długość drutu oporowego: l= 1m
Tabela 1. Podłączony tylko 1 nieznany opornik.
Opór
13 2 5 8 12 20 29 60 100 630
wzorcowy[&!]
x [cm] 50 90 80,7 70 59,7 50 40 30 20 10
12,50 18,00 20,91 18,67 17,78 20,00 19,33 25,71 25,00 70,00
Pomiar ostatni dla x=10 cm odrzucamy ze względu na zbyt duże odchylenie od pozostałych
wartości. Obarczamy ten pomiar błędem grubym.
Tabela 1a. Zestawienie wartości końcowych dla 2 opornika.
19,77 18,94 22,41
u( ) 3,96 0,95 3,62
u( ) w % 20,0 4,8 18,3
Gdzie:
- średnia wszystkich wyników,
- średnia wyników w środkowym zakresie ( 5 środkowych wartości, kolor zielony),
- średnia wyników w zewnętrznym zakresie (2 pierwsze i 2 ostatnie wartości, kolor niebieski)
Opór
wzorcowy[&!]
x [cm]
50
(Oznaczenia te odnoszą się również do tabelek dla pozostałych wariantów.)
Tabela 2. Podłączony tylko 2 nieznany opornik.
Opór
37 5 10 16 24 37 54 84 150 400
wzorcowy[&!]
x [cm] 50 90 80,5 69,5 60 50 40 30 20 10
37,00 45,00 41,28 36,46 36,00 37,00 36,00 36,00 37,50 44,44
Tabela 2a. Zestawienie wartości końcowych dla 2 opornika.
38,67 36,29 42,06
u( ) 3,55 0,44 3,45
u( ) w % 9,2 1,2 8,9
Tabela 3. Podłączony tylko 3 nieznany opornik.
Opór
77 8 18 31 50 77 110 180 270 600
wzorcowy[&!]
x [cm] 50 90 80 70 60 50 40 30 20 10
77,00 72,00 72,00 72,33 75,00 77,00 73,33 77,14 67,50 66,67
Tabela 3a. Zestawienie wartości końcowych dla 3 opornika.
73,00 74,96 69,54
u( ) 3,19 2,15 2,86
u( ) w % 4,4 2,9 3,9
Tabela 4. Podłączony tylko 4 nieznany opornik.
Opór
86 8 19 30 47 73 100 159 260 600
wzorcowy[&!]
x [cm] 50 90 80 70 60 50 40 30 20 10
86,00 72,00 76,00 70,00 70,50 73,00 66,67 68,14 65,00 66,67
=71,40 u( )=6,11
Tabela 4a. Zestawienie wartości końcowych dla 4 opornika.
71,40 69,66 69,92
u( ) 6,11 2,41 5,04
u( ) w % 8,6 3,4 7,1
Tabela 5. Połączenie szeregowe.
Opór
86 8 19 30 47 73 100 159 260 600
wzorcowy[&!]
x [cm] 50 90 80 70 60 50 40 30 20 10
190,00 180,00 180,00 175,00 180,00 183,00 180,00 180,00 180,00 177,78
=180,58 u( )=3,88 =202,83 u( )=21,48
Tabela 5a. Zestawienie wartości końcowych dla połączenia szeregowego.
180,58 179,60 179,44
u( ) 3,88 2,88 1,11
u( ) w % 2,2 1,6 0,6
Tabela 6. Połączenie równoległe.
Opór
12 2 3 5 8 12 18 28 48 100
wzorcowy[&!]
x [cm] 50 90 79,5 70 60 51,5 40 30 20 10
12,00 18,00 11,63 11,67 12,00 12,24 12,00 12,00 12,00 11,11
= , u( )=1,97 =9,60 u( )=0,97
Tabela 6a. Zestawienie wartości końcowych dla połączenia równoległego.
 12,47 11,98 13,19
u( ) 1,97 0,21 3,23
u( ) w % 15,8 1,6 25,9
Tabela 7. Połączenie mieszane.
Opór
45 4 10 18 30 45 67 103 180 390
wzorcowy[&!]
x [cm] 50 91 79 70 59,5 50 40 30 20 10
45,00 40,44 42,63 42,00 44,07 45,00 44,67 44,14 45,00 43,33
=43,63 u( )=1,53 =49,17 u( )=2,36
Tabela 7a. Zestawienie wartości końcowych dla połączenia mieszanego.
43,63 43,98 42,85
u( ) 1,53 1,17 1,89
u( ) w % 3,5 2,7 4,3
Opracowanie wyników pomiaru:
Wyznaczamy niewiadome pojedynczych oporów korzystając ze wzoru (6) dla
różnych długości x. Następnie przyjmujemy, że szukany opór jest wartością średnią
otrzymanych wartości.
Niepewność u( ) obliczamy z odchylenia standardowego otrzymanych wartości R dla
różnych długości x.
Analogicznie postępujemy przy wyliczeniu wartości , , i niepewności u( ), u( ),
u( ).
Otrzymujemy:
= 19,77 &! u( ) = 3,96 &! u( ) = 20%
= 38,67 &! u( ) = 3,55 &! u( ) = 9,18%
= 73 &! u( ) = 3,19 &! u( ) = 4,37%
= 71,4 &! u( ) = 6,11&! u( ) = 8,56%
Następnie porównujemy średnie wartości oporów dla środkowego zakresu wyników
oraz wyników otrzymanych przy dużych zakresach (przy krańcach listwy) oraz obliczamy ich
niepewności z odchylenia standardowego.
Wyniki te wraz z niepewnościami zostały umieszczone i porównane w tabelach 1a, 2a, 3a, 4a,
5a, 6a i 7a.
Dla połączenia szeregowego, równoległego i mieszanego niewiadome wyliczmy
dwoma sposobami:
1). Robimy to analogicznie jak dla pojedynczych oporów.
2). Aby wyliczyć niewiadomy opór korzystamy ze wzorów na opór zastępczy natomiast, aby
wyliczyć niepewność obliczamy na podstawie prawa przenoszenia niepewności
pomiarowych.
Połączenie szeregowe:
Ad 1). = 180,58 &! u( ) = 3,88 &! u( ) = 2,15%
Ad 2). Przy wyliczeniu oporu zastępczego korzystamy ze wzoru (4)
= 202,83 &!
Korzystamy z prawa przenoszenia niepewności pomiarowych, a ponieważ zależność od
, , , jest liniowa więc równanie ma postać sumy geometrycznej:
( ) ( ) ( ) ( )
u( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( )
u( ) = ( ) ( ) ( ) ( )
3,96 + 3,55 + 3,19 + 6,11 &!
u( ) = 21,48 &! u( ) = 10,59%
Połączenie równoległe:
Ad 1). = 12,47 &! u( ) = 1,97 &! u( ) = 15,8%
Ad 2). Przy wyliczeniu oporu zastępczego korzystamy ze wzoru (5)
= 9,6 &!
Z prawa przenoszenia niepewności pomiarowych:
u( ) = " ( ) + " ( ) + " ( ) + " ( )
Gdzie:
( )
( )
= ( ) ( ) - = 0,24
( ) ( )
( )
( )
= ( ) ( ) - = 0,06
( ) ( )
( )
( )
= ( ) ( ) - = 0,07
( ) ( )
( )
( )
= ( ) ( ) - = 0,02
( ) ( )
u( ) = ( ) ( ) ( ) ( )
0,93 + 0,22 + 0,06 + 0,11 &!
u( ) = 0,97 &! u( ) = 10,07%
Połączenie mieszane:
Ad 1). = 43,63 &! u( ) = 1,53 &! u( ) = 3,51%
Ad 2). Przy wyliczeniu oporu zastępczego korzystamy ze wzoru:
· 4 3
·
2 1
= +
+ +
2 1 4 3
który wynika z zastosowania wzorów (4) i (5) do tej konfiguracji połączenia oporników
, , i
= 9,6 &!
Z prawa przenoszenia niepewności pomiarowych:
= ( ) - = 0,44
( )
= ( ) - = 0,11
( )
= ( ) - = 0,43
( )
= ( ) - = 0,12
( )
u(R ) = ( ) ( ) ( ) ( )
1,73 + 0,4 + 1,38 + 0,7 &!
u(R ) = 2,36 &! u(R ) = 4,81%
Analiza niepewności:
Niepewność dla poszczególnych wyliczanych wyznaczamy z odchylenia
standardowego. Jest ono znacznie większe niż niepewność otrzymana z prawa przenoszenia
niepewności:
Tab. 8 Niepewności obliczone z odchylenia standardowego i prawa przenoszenie niepewności.
Odchylenie standardowe
3,96 3,55 3,19 6,11
[&!]
Prawo przenoszenia
0,70 0,46 0,70 0,69
niepewności [&!]
Również dla połączenia oporów równolegle, szeregowo jak i w sposób mieszany za
niepewność przyjmujemy odchylenie standardowe.
Tab.9
szeregowo równolegle mieszane
Odchylenie
3,88 1,97 1,53
standardowe [&!]
Prawo przenoszenia
1,85 0,12 0,45
niepewności [&!]
Tak duże odchylenie standardowe wynika tutaj z metody, która nie jest precyzyjna i
nie daje dokładnego wyniku.
Porównujemy niepewności oporów zmierzonych dla wszystkich otrzymanych
wartości ( ) dla wartości ze środkowego zakresu listwy( ) i wartości otrzymane przy
krańcach listwy( ) dla poszczególnych wariantów.
Tab.10
u( )w % u( ) w %
u( ) %
20,0 4,8 18,3
9,2 1,2 8,9
4,4 2,9 3,9
8,6 3,4 7,1
2,2 1,6 0,6
15,8 1,6 25,9
3,5 2,7 4,3
Jak widać, w decydującej większości (oprócz wariantu z oporem R ) niepewność dla
jest znacznie większa od niepewności i ma decydujący wpływ na całkowitą
niepewność u( ).
Świadczy to o tym, iż ta metoda pomiaru nieznanego oporu jest tym dokładniejsza im
mniejszy zakres położenia x na listwie wykorzystamy.
Im ten zakres jest większy tym mniej dokładny wynik otrzymamy.
Fakt, iż dla wariantu z oporem R niepewność jest mniejsza od niepewności
może wynikać z przypadkowego pokrycia się otrzymanych wartości R na skutek nałożenia się
błędów i ponieważ jest to przypadek odosobniony, nie bierzemy go pod uwagę formułując
powyższy wniosek.
Porównujemy opory zmierzone w połączeniach równoległym, szeregowym i
mieszanym, z analogicznymi oporami zastępczymi wyznaczonymi na podstawie
odpowiednich wzorów i sprawdzamy, czy są one równe w granicach niepewności
pomiarowych. Jeżeli zachodzi poniższa nierówność wyniki uważamy za zgodne w granicach
błędu.
( - > -
) | |
Gdzie:
A- R wyliczone doświadczalnie ( Ad 1)
B- R wyliczone ze wzorów ( Ad 2)
 ( - = ( ) + ( )
)
Gdzie:
k  współczynnik rozszerzenia równy 2
u(a)  niepewność A
u(b)  niepewność B
Połączenie szeregowe:
43,65>22,25 - wynik zgodny
Połączenie równoległe:
4,39>2,86 - wynik zgodny
Połączenie mieszane:
5,63>5,54 - wynik zgodny
Wnioski:
W tabeli 10 znajduje się zestawienie wszystkich otrzymanych wartości i niepewności.
Tabela10 . Zestawienie wartości
Połączenie Połączenie Połączenie mieszane
szeregowe równoległe
R [&!] 19,77 38,67 73 71,4 180,58 202,83 12,47 9,6 43,63 49,17
u(R) [&!] 3,96 3,55 3,19 6,11 3,88 21,48 1,97 0,97 1,53 2,36
u(R) w % 20 9,18 4,37 8,56 2,15 10,59 15,8 10 3,5 4,81
Niepewności dla poszczególnych wyników obliczamy z odchylenia standardowego.
W każdym przypadku odchylenie standardowe jest stosunkowo dużą wartością świadczy to o
tym, iż użyta metoda nie jest odpowiednia jeśli chcemy wyznaczyć dokładną wartość
zadanego oporu. Zakreśla ona jedynie rząd rzeczywistej wartości oporu. Wynika to głównie z
faktu, iż zakres położeń x na listwie oporowej na jakim pracowaliśmy był stosunkowo duży, a
jak wcześniej stwierdziliśmy, im większy zakres x tym mniej dokładny wynik.
Zatem aby otrzymać dokładny wynik korzystając z tej metody należałoby przyjąć jak
najmniejszy zakres x w otoczeniu środka listwy.
Dla wszystkich połączeń oporników , , i wyniki otrzymane doświadczalnie i z
podanych wzorów uznajemy za zgodne.