(7.69)

(7.70)

(7.71)

Z postaci równania (7.71) wynika, że przepływający gaz jest płynem
barotropowym (ciśnienie jest tylko funkcją gęstości); możemy zatem napisać

(7.72)

Wykorzystując te zależności przekształcamy równanie ciągłości

(7.73)

i następnie dodajemy oraz odejmujemy od niego stronami równanie (7.70)

(7.74)

Wprowadzimy dwie nowe zmienne i oraz obliczymy ich pochodne substancjalne

(7.75)

Pochodne te będą znikać



jeśli po porównaniu wyrażeń (7.75) z równaniami (7.74) przyjmiemy:

(7.76)




(7.76cd.)

oraz odpowiednio

(7.77)

Oznacza to, że sumy pozostają stałe na każdej linii (7.77), określającej
chara-kterystyki ukÅ‚adu równaÅ„ (7.69) ¸ (7.71); staÅ‚e wzdÅ‚uż charakterystyk
wartości fun-kcji i noszą nazwę niezmienników (parametrów) Riemanna .




Rys. 7.10


Charakterystyki są liniami możliwych nieciągłości pochodnych (przykł. 7.13)
parametrów gazu i mają one w płaszczyźnie prostą interpretację fizyczną; są to
bowiem linie rozchodzenia się słabych zaburzeń ciśnieniowych względem
nieruchomego układu współrzędnych. Zostało to przedstawione na rys. 7.10 dla
zaburzenia wytworzonego w przekroju A - A przewodu wypełnionego gazem
poruszającym się z prędkością Po czasie długość odcinka przewodu objęta
zaburzeniem wynosi
Niezbędne są jeszcze związki między parametrami gazu na charakterystykach.
W celu ich uzyskania piszemy równania na różniczki zupełne funkcji




i podstawiamy wzory (7.76)



Na charakterystykach znikają różniczki zupełne funkcji mamy zatem



i następnie



Występującą w powyższym wzorze całkę obliczamy przy wykorzystaniu równań
(7.20) i (7.71)



i ostatecznie otrzymujemy dwie rodziny charakterystyk w płaszczyźnie stanu
gazu

(7.78)

Charakterystyki te utworzone są przez dwie rodziny prostych równoległych,
nachylonych pod kÄ…tami , w lewo dla pierwszej rodziny i w prawo dla drugiej,
gdyż

(7.79)

Ze wzoru (7.78) wynikają zależności:

(7.80)



równania charakterystyk (7.77) możemy więc również zapisać następująco

(7.81)



*

Przedstawioną metodę charakterystyk można stosować do badania różnego rodzaju
przepływów w walcowych rurach wypełnionych gazem. Jeżeli gaz znajduje się w
spoczynku na odcinku przewodu AC w chwili to w obszarze ABC (rys. 7.11a)
charakterystyki są liniami równoległymi i reprezentują linie ruchu zaburzeń
akustycznych. Jednorodny stan gazu w obszarze ABC jest określony w płaszczyźnie
stanu punktem o współrzędnych (rys. 7.11b); przypadek taki nazywamy podwójnie
zdegenerowanym .




Rys. 7.11


Załóżmy obecnie, że w punktach A i C przewodu generowane są stałe zaburzenia
ciśnieniowe ze wzrastającą prędkością V, w przedziałach czasu równych
odpowiednio AD i CH (rys. 7.12a).
Warunki początkowe przepływu zezwalają na wyznaczenie parametrów Riemanna
(7.78)

(7.82)

związki między prędkością dźwięku a prędkością przepływu w fali ciśnieniowej są
więc następujące

(7.83)





Rys. 7.12


Uwzględniając wzory (7.20) i (7.71) możemy również wyrazić pozostałe parametry
gazu jako funkcje prędkości dźwięku:

(7.84)

Zarówno charakterystyki pierwszej rodziny wychodzące z punktu A, jak i
charakterystyki drugiej rodziny wychodzÄ…ce z punktu C sÄ… liniami prostymi.
Wynika to natychmiast ze wzoru (7.81), gdyż na każdej z tych charakterystyk
niezmienniki, odpowiednio i zachowują stałe wartości, a niezmiennik jest stały
w całym obszarze ABED i również niezmiennik jest stały w całym obszarze CBGH.
Tego rodzaju przepływy, posiadające tę właściwość, że jedna rodzina
charakterystyk jest rodzinÄ… prostych, nazywane sÄ… falÄ… prostÄ…. W oparciu o
poprzednie rozważania możemy stwierdzić, że falą prostą jest każdy przepływ
sąsiadujący z przepływem jednostajnym.
WychodzÄ…ce z punktu A charakterystyki pierwszej rodziny tworzÄ… falÄ™
zgęszczeniową. Jak widać bowiem ze wzoru (7.83), wzrost prędkości powoduje
wzrost prędkości dźwięku, a zatem ciśnienia, gęstości i temperatury (7.82). Gdy
V i a rosnÄ…, to kÄ…ty nachylenia tych charakterystyk malejÄ…: majÄ… one zatem
tendencje do doganiania siÄ™ i tworzenia coraz to silniejszego zaburzenia. W
fali ABED wszystkie charakterystyki drugiej rodziny są liniami ruchu zaburzeń
akustycznych i stan gazu jest na nich określony tylko jedną charakterystyką BE
w płaszczyźnie stanu (rys. 7.12b); przypadek taki nazywamy pojedynczo
zdegenerowanym .
WychodzÄ…ce natomiast z punktu C charakterystyki drugiej rodziny tworzÄ… falÄ™
rozrzedzeniową, gdyż ze wzrostem prędkości wartości wszystkich pozostałych
parametry gazu malejÄ… (7.81) ¸ (7.82) i powoduje to wzrost kÄ…ta nachylenia
charakte-

rystyk Gdy zostanie osiągnięta prędkość to odpowiadająca jej charakterystyka
będzie pionowa, a dla zaburzenia będą zmywane i charakterystyki zaczną pochylać
siÄ™ w prawo. Tym razem w fali CBGH wszystkie charakterystyki pierwszej rodziny
są liniami ruchu zaburzeń akustycznych i są one określone w płaszczyźnie stanu
tylko jednÄ… charakterystykÄ… BE (rys. 7.12b).
Gdy nastąpi spotkanie wytworzonych fal: zgęszczeniowej i rozrzedzeniowej,
wówczas charakterystyki obu rodzin są liniami ruchu zaburzeń ciśnieniowych
(rys. 7.13a) i każdej charakterystyce w płaszczyźnie fizycznej odpowiada
charakterystyka w płaszczyźnie stanu; jest to obszar BEFG (rys. 7.13b).




Rys. 7.13



7.6. Przepływ gazu przez przewody z uwzględnieniem oporów tarcia

W przypadku przepływu gazu długimi przewodami o stałym przekroju zasadniczą
rolę odgrywają opory tarcia, które można uwzględnić w sposób analogiczny jak
dla przepływów cieczy rzeczywistej (rozdz. 5.4) - przyjmując schemat
jednowymiarowego ruchu stacjonarnego oraz Dla przewodów krótkich można ponadto
pominąć wymianę ciepła z otoczeniem i założyć, że przepływ jest adiabatyczny
(ciepło wytworzone wskutek pokonania przez gaz oporów tarcia pozostaje w
gazie).
Zaniedbując straty spowodowane przez opory miejscowe, jako małe w porównaniu
ze stratami tarcia, napiszemy dla elementu płynu o objętości uogólnione
równanie zachowania pędu w postaci różniczkowej (4.15)

(7.85)

w którym uwzględniono siłę tarcia - wyrażoną następnie przez rów-

noważną siłę ciśnieniową przy wykorzystaniu wzoru Darcyęego-Weisbacha (5.22)



W równaniu tym jest współczynnikiem strat na tarcie, odczytywanym podobnie jak
współczynnik l dla cieczy z rys. 5.11, a - długością odcinka rury mierzoną
wzdłuż jej osi.
Wykorzystując równanie energii (7.29)

(7.86)

oraz równanie stanu gazu doskonałego (1.13)

(7.87)

wyznaczamy

(7.88)

Na mocy ostatniego wyniku i równania ciągłości (7.60) równanie (7.85)
sprowadzamy do postaci

(7.89)

z której wynika znak gradientu prędkości przepływu i następnie znaki gradientów
parametrów gazu na podstawie (7.18), (7.60) i (7.86):
- przepływ poddźwiękowy:



- przepływ naddźwiękowy:



Widzimy, że tarcie zwiększa prędkość przepływu podkrytycznego, a zmniejsza
prędkość przepływu nadkrytycznego. W szczególnym przypadku w przekroju
wylotowym mogą więc ustalić się parametry krytyczne, może też również w
przepływie nadkrytycznym wystąpić prostopadła fala uderzeniowa.