1. Z odcinka <0,1> wybieramy losowo i niezale»nie dwie liczby x i y. Zdarzenie A polega na tym, »e 2x+2y ≤ 3, 2

zdarzenie B na tym, »e x − y ≤ 0, Czy zdarzenia A i B s¡ niezale»ne?

2. Ze zbioru {−1, 1, 0, 2} losujemy bez zwracania dwie liczby x i y. Jakie jest prawdopodobie«stwo zdarzenia: w±ród wylosowanych liczb jest 1, je±li wiadomo, »e |x − y| = 1.

3. Zmienna losowa X ma rozkªad okre±lony funkcj¡ g¦sto±ci

(1 − |x| dla x ∈< −1, 1 > .

f (x) =

0

w p.p.

Wyznaczy¢ dystrybuant¦ tej zmiennej losowej.

4. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad prawdopodobie«stwa okre±lony tabel¡.

x\y

-1

0

1

2

-2

0,1 0,3

0

0,2

-1

0,1

0

0,2 0,1

a) Wyznaczy¢ rozkªady brzegowe zmiennych losowych X i Y .

b)Sprawdzi¢, czy zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne.

c)Wyznaczy¢ P (XY < 0).

5. Rzucamy 100 razy niesymetryczn¡ monet¡ (prawdopodobie«stwo wyrzucenia reszki 3). Okre±li¢ w przybli»e-4

niu prawdopodobie«stwo zdarzenia : orzeª wypadª co najmniej 25 razy

6. (Nt : t ≥ 0) jest procesem Poissona z parametrem λ = 2. Obliczy¢ P (Nt = 1, N4t = 3, N5t = 3).

CZ†‘‚ ZADANIOWA

1. Studenci dziel¡ si¦ na pilnych (jest ich 95% i taki student zawala rok z prawdopodobie«stwem 0,01) i mniej pilnych (jest ich 5% i taki student zawala rok z prawdopodobie«stwem 0,3). Wybrany losowo student nie zawaliª roku 2009 i 2010. Jaka jest szansa, »e zawali rok w roku 2011?

Uwaga: zdarzenia student zawaliª rok w roku kalendarzowym i , i=1,2,.... traktujemy jako niezale»ne.

2. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad prawdopodobie«stwa okre±lony funkcj¡ g¦sto±ci: (cx2y dla y ≥ 0 ∧ x2 + y2 ≤ 1

f (x, y) =

0

w p.p

(a) Wyznaczy¢ staª¡ c.

(b) Wyznaczy¢ g¦sto±ci rozkªadów brzegowych zmiennych losowych X i Y .

(c) Zbada¢, czy zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne.

3. Ze zbioru {1, 2, 3, 4} losujemy po jednej liczbie ze zwracaniem. Niech Xn = k wtedy i tylko wtedy, gdy k jest najwi¦ksz¡ z liczb, która si¦ pojawiªa w n pocz¡tkowych losowaniach.

(a) Poda¢ macierz prawdopodobie«stw przej±cia ªa«cucha Markowa (Xn : n ≥ 1).

(b) Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia {X2 = 2, X3 = 3}.

1