Analiza I R

egzamin przykładowy

Zadanie 1. Niech ( Fn) n∈ będzie ciągiem niepustych zbiorów zwartych, takich, że dla każdego N

n ∈ N zachodzi zawieranie Fn+1 ⊂ Fn. Udowodnić, że T n∈ F

N

n 6= ∅.

Zadanie 2. Udowodnić, że dla x > 0 zachodzi nierówność x

sin x <

.

q

1 + x 2

3

√

Wskazówka: arc sin 0 x = 1 / 1 − x 2.

Zadanie 3. Zbadać zbieżność ciągów:

√

√

n

1

n 2

a

X

n = sin

n + 1 − sin n,

bn =

− 1

.

3 n

k=1

Zadanie 4. Obliczyć granicę s

Z

M

x + 1 d x lim

.

M →∞

2

x − 1 x 2

Zadanie 5. Zbadać zbieżność punktową, jednostajną i niemal jednostajną szeregu

∞

1

f ( x) = X

log(1 + n 2 x 2) .

n 2

n=1

Udowodnić, że f ∈ C(R), f ∈ C 1(R \ { 0 }), lim x→ 0+ f 0( x) = π.

1