Probabilistyka i statystyka – ćwiczenia (28.10.2010) Wybrane rozkłady dyskretne

1) Rozkład Poissona

= 2000, = 0,001, = 0,1,2,3,4

= ∗ !

= ∗

= 2000 ∗ 0,001 = 2

2

1

= ∗ 0! = = 0,135

1 2

2

= ∗ 1! = = 0,27

1 2

2

= ∗ 2! = = 0,27

1 2

4

= ∗ 3! = 3 == 0,18

1 2

2

= ∗ 4! = 3 = 0,09

2) Rozkład geometryczny

W schemacie Bernouliego prawdopodobieństwo sukces zdarzenia = 0,1

Oblicz prawdpodobieństwo zdarzenia : na początku seria 5 porażek, sukces przy 6 próbie

= 0,1

1

= 1 − = 1 − 0,1 = 0,9

!" = 0,9# ∗ 0,1 = 0,81 ∗ 0,81 ∗ 0,9 ∗ 0,1 = 0,729 ∗ 0,81 ∗ 0,1 = 0,059049

!" = !1 − " ∗ = ∗

3) Rozkład hipergeometryczny

W urnie znajduje się 6 kul białych, 5 czarnych. Losujemy bez zwracania 7 kul. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy 4 kule białe i 3 czarne 11

11!

8 ∗ 9 ∗ 10 ∗ 11

Ω% = & 7 ' = 7! ∗ 4! =

24

= 330

6

5

6!

5!

A% = &4' ∗ &3' = 4!2! ∗ 3!2! = 15 ∗ 10 = 150

150 15

5

!" = 330 = 33 = 11 = 0,45

Dany jest rozkład

)*

1

3

5

*

1

1

1

2

3

6

Oblicz wartość oczekiwaną +,, -./!,", 0

Rozproszenie zmiennej losowej

1 = +|, − +,|

Współczynnik zmiennej

0

3 = +,,+, ≠ 0

Współczynnik nierównomierności

1

ℎ =

+, , +, ≠ 0

1

1

1 1

5 3 + 6 + 5 14 7

+, = Σ*7)* ∗ * = 1 ∗ 2 + 3 ∗ 3 + 5 ∗ 6 = 2 + 1 + 6 = 6 = 6 = 3

-./!)" = +!," − !+,"

1

1

1 1

25 3 + 18 + 25 46 23

+!," = Σ

*7)* ∗ * = 1 ∗ 2 + 9 ∗ 3 + 25 ∗ 6 = 2 + 3 + 6 =

6

= 6 = 3

23 49 69 − 49 20

-./!)" = 3 − 9 = 9 = 9

2

0 = 9-./!)" = √20

3

14 1

14 1

14 1 8 1 4 1 16 1

1 = +|, − +,| = ;1 − 6 ;∗ 2 + ;3 − 6 ; ∗ 3 + ;5− 6 ; ∗ 6 = 6 ∗ 2 + 6 ∗ 3 + 6 ∗ 6 =

8

4

16 12 + 4 + 8 24 4

= 12 + 18 +36 = 18 = 18 = 3

√20

0

3 =

3

+, = 7 = √20

7

3

4 3 4

ℎ = 3 ∗ 7 = 7

Autor: shenlon (http://shenlon.eu)

3