Dynamika symboliczna
4.1. (Z) Wykaż, że funkcja d : Σ2 × Σ2 → R zdefiniowana wzorem:
∞ |t
X
i − si|
d( t, s) =
2 i
i=0
jest metryką.
4.2. (Z) Wykaż, że przestrzeń metryczna (Σ2 , d) jest ograniczona.
4.3. Zbadaj, czy przestrzeń metryczna (Σ2 , d) jest zupełna.
4.4. (Z) (a) Niech S = {s ∈ Σ2 : s 0 = 0 ∧ s 1 = 1 ∧ s 2 = 1 }. Wykaż, że S jest domkniętym podzbiorem przestrzeni Σ2. Czy jest to zbiór gęsty w Σ2?
(b) Niech A = {s ∈ Σ2 : ∃n∈ ∗∀
N
in si = 0 }. Wykaż, że S jest gęstym podzbiorem przestrzeni Σ2.
Czy jest to zbiór domknięty w Σ2?
4.5. Wykaż, że każdy niepusty i otwarty podzbiór przestrzeni Σ2 jest nieprzeliczalny.
4.6. (Z) Wyznacz zbiory: Fix( σ), Per2( σ), Per3( σ) i Per4( σ).
4.7. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele par ( s, t) punktów przestrzeni Σ2 o następujących własnościach:
a) orbity O( s) i O( t) są gęste w Σ2, b) dla każdego n ∈ N zachodzi równość d( σn( s) , σn( t)) = 2.
4.8. Dla ciągu s = 10100100010000 . . . , w którym po każdej k-tej jedynce występuje k zer, znajdź
zbiór punktów skupienia orbity O( s).