12 grudnia 2012 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 12
Zadanie 1 Macierz odwzorowania liniowego f : 2
3
R −→ R w bazach B 1 = ( u 1 , u 2),
3
2
B
2 = ( v 1 , v 2 , v 3) ma postać A =
− 1
1 . Wyznaczyć obrazy wektorów:
2 − 4
a) u = − 2 u 1 + 3 u 2; b) u = 5 u 1 − 3 u 2.
Zadanie 2 Macierz odwzorowania liniowego f : 3
3
R −→ R w bazach B 1 = ( u 1 , u 2 , u 3),
1
1 1
B
2 = ( v 1 , v 2 , v 3) ma postać A =
− 3
0 1 . Znaleźć obraz f ( u) wektora u = 2 u
1 −
2 − 1 0
u 2 + 3 u 3.
Zadanie 3 Niech będą dane odwzorowania liniowe: a) f :
3
4
R −→ R
f ( x, y, z) = ( x + 2 y, x − z, 2 x + y + z, y + 2 z); b) g :
4
2
R −→ R
g( x, y, z, t) = ( x + 2 y + 3 z + 4 t, 3 y − 2 t); c) h :
2
4
R −→ R
h( x, y) = ( x + y, 2 x − y, 2 x − 4 y, 3 x − 2 y).
Znaleźć macierze odwzorowań g ◦ f , h ◦ g, h ◦ g ◦ f w bazach standardowych.
Zadanie 4 Sprawdzić, czy podane odwzorowania są odwracalne: a) f :
3
3
R −→ R
f ( x, y, z) = ( x − 2 y + 3 z, x + 3 y − z, 4 x + y + 5 z); b) f :
4
4
R −→ R
f ( x, y, z, t) = ( x + y, x − z − t, x + y + z, y + 2 z + t);
2 1 2
Zadanie 5 Dana jest macierz A =
3
3
− 1 1 1 odwzorowania f :
−→
w bazie
R
R
0 3 4
B = ( u 1 , u 2 , u 3). Znaleźć Ker f , Im f , ich bazy i wymiary.
1 3 1
0 − 1
1 1 0
1
1
Zadanie 6 Dana jest macierz A =
5 −→ 4
odwzorowania f : R
R
2 6 2
3
0
1 1 0 − 2 − 1
w bazach kanonicznych. Wyznaczyć Ker f , Im f , ich bazy i wymiary.