Opracowanie zadań z kolokwium AZ termin 1

Zestaw E :

1a : Nie - granica nie istnieje – podciągi parzyste i nie parzyste zbieżne do –1 i 1

1b : Tak – i w dowolnej potędze to i , -1 , -i lub 1 wiec warunek ten jest spełniony 1c : Tak – ten zbiór sprowadza się do nierówności x2/3=<y2 co wyglada jak spłaszczony do 2

wymiarów stożek

co jest zbiorem domkniętym bo zawiera brzeg i nieograniczony w sposób widoczny.

2a Nie : aby spełniona była równość część urojona sin z musi się zerować (Im z : C -> R), a łatwo rozpisując sin z stwierdzić że się nie zeruje przecież wszędzie 1

1

2

z −

⋅ z −1

2

z

z

z − 1

2b Tak :

z −>0

=

=

⎯ ⎯

⎯ →1

2

1

1

2

2

2

z + 1

1+ z ⋅ 1+

⋅ 1+ z ⋅ z +1

2

z

z

ξ

η

x =

, y =

,ξ + ς +η = 1 => 1− ς = ξ +η

1− ς

1− ς

ξ

η

2c Tak : x =

, y =

stronami

dodajemy

i

ξ +η

ξ +η

x + y = 1

3

3a Tak : zamiast górnego wzoru można pomnożyć licznik i mianownik przez z i mieć z , 3

2

z

potęga górną pół oś urojoną przeprowadza na dolną , a dolną na górną. Moduł w mianowniku zmienia tylko odległość od punktu (0,0)

3b Nie – na ta chwilę .... trzeba sprawdzić warunki CR i ciągłość w otoczeniu 0 . Nam wyszło że CR nie jest spełnione zatem obstawiam że nie. Mogę się mylić 3c Nie – wykonać wykres (wygląda jak sinus) skoro nie ma przecięć wykresu ze sobą to funkcja jest różnowartościowa więc jest łukiem zwykłym. Ale przyjmuje wartość równą 0

dla t =0 więc nie jest gładki

4a Nie – liczymy promień zbieżności wychodzi 1/3 więc w promieniu 2 nie jest BZW

4b: Tak – ale bez sensownego komentarza

4c Nie : weźmy dwa szeregi o ciągach współczynnikow

ck = 1 dla parzystych i ck=0 dla nieparzystych dk = 0 dla parzystych i dk=1 dla nieparzystych.

Założenia spełnione a szereg wynikowy to szereg zer o R=+oo 5a tak : intuicyjnie rysujemy kółka dla coraz większych R aż w końcu okrąg się rozprostuje.

Symetria wobec prostej oznacza teraz symetrie wobec osi rzeczywistych.

5b Nie – hmm sporne czy z=oo należy do dziedziny funkcji zespolonej ? wg mnie i wykładu -

nie więc Nie .

5c Tak - odsyłam do pliku image09036 z zeszłorocznego koła 6a : punkt z0 z wzoru Cauchy’ego równy tu 0 nie należy do wnętrza koła C(2,1) zatem całka równa 0

⎧ x( t) = 2 t

Γ : ⎨

t ∈[

]

1

,

0

⎩ y( t) = t

z( t) = x( t) + iy( t) = (2 + i) t 6b Nie : parametryzujemy krzywą

dz = (2 + i) dt

1

1

3

⎡ t ⎤

(

2 2 + i)

xydz = 2 t ⋅ t(2 + i) dt = (

2 2 + i)

=

∫

∫

⎢ ⎥

3

3

Γ

0

⎣ ⎦0

6c Tak : obrazem h (D) jest pas od –1/4 i do –1/2 i . Jest on węższy niż 2Pi stąd funkcja exp (normalnie 2kPi * i okresowa) jest różnowartościowa.

Zestaw F:

1a : Nie – dla liczb o dużym module odległość jest ujemna <- bzdura 1b Tak : zauważyć (najlepiej na boku), że − iz

iz

i z

− iz

e

= e ∧ e = e rozpisać tg na sin / cos .

sin i cos na ich postać zespoloną. Potem to samo z drugiej strony i wychodzi to samo 1c Tak granica z prawej strony !! NIE ISTNIEJE !! dla x -> oo przez ujemne exp(x)->0

dla x->oo przez dodatnie exp(x)->+oo. Granica z lewej strony istnieje n

n

⎛ 3 + − ⎞

⎛

3 − ⎞

2a Nie :

n

i

i

lim⎜

⎟ = lim⎜1+

⎟ = exp(3 − i) wtedy lewa strona to liczba postaci

⎝

n

⎠

⎝

n ⎠

3

3− i

6

e ⋅ e

= e ⋅ (cos(− )

1 + i sin(− )

1 )

1

0

= e ⋅ (cos0 + i sin )

0

więc są to liczby o różnych modułach ... zatem są różne 2b Tak : !!SUMA WSZYSTKICH PIERWIASTKÓW LICZBY ZESPOLONEJ

DOWOLNEGO STOPNIA n>1 JEST RÓWNA 0!! Prosta własność sumy wektorowej 2c Nie : rozwiązaniem zbioru jest część płaszczyzny o warunku 1 < (x-1)^2+y^2 , zewnętrze koła zeC (a oo nie należy) więc brzeg jest niespójny zatem jest niejednospójna (inaczej łuk zamknięty oplatający to koło jest nieściągalny w tej płaszczyźnie) 3a Nie : f nie jest ciągła po osi OX, więc nie istnieje pochodna cząstkowa po x wiec nie ma pochodnej zespolonej

3b Nie : na osi OX\{0} jest stała =1 na całej urojonej = 0 ... jasne że róznowartościowa :P

3c Nie : obraz osi urojonej = {0} obraz osi rzeczywistej {0,1} ... który w którym się zawiera ?

4a Tak : E = to koło bez środka ... coś takiego jest spójne więc zachodzi twierdzenie o jednoznaczności gałęzi logarytmu (treść jak w zadaniu) 4b : lewa strona to exp(ia(z)), logarytmujemy(po zespolonemu) stronami i otrzymujemy że a(x)=Arg Z + 2kPi

4c Nie : weźmy dwa szeregi o ciągach współczynników

ck = 1 dla parzystych i ck=0 dla nieparzystych

dk = 0 dla parzystych i dk=1 dla nieparzystych.

Założenia spełnione a szereg wynikowy to szereg zer o R=+oo 5a nie : część rzeczywista szeregu jest rozbieżna. Ma minorantę cos(Pi/3) / n rozbieżną.

Zatem szereg zespolony jest rozbieżny

5b Nie : Koła zbieżności to D(1,1) i D(0,1) i nie są rozłączne 5c Nie : brak punktów istotnie osobliwych . Dla x=kPI /=0 bieguny, dla x=0 pozornie 6a: Nie : f regularna tzn ciagła w sensie R^2. Z analizy 2, dla funkcji ciągłych postać pochodnych cząstkowych mieszanych nie zależy od kolejności różniczkowania stąd to róznica jest równa 0

6b Nie: Standardowe zadanie na residua. Dwa bieguny krotności 1 i jeden punkt pozorny.

Residua w biegunach równe ‘–i’ i ‘i’ stąd suma residuów = 0

6c Nie : Jeżeli część o RE >0 jest wnętrzem koła a część o RE < 0 zewnętrzem to oś OY jest osią symetrii dla punktu 0 i oo . Jak widać jednak tej symetrii być nie może. Stąd nie ma takiej homografii.