dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

APT

• ceny generowane są przez tzw. „czynniki” ( factors), przy czym nie definiuje z

góry, jakie i ile czynników jest istotnych.

• Teoretyczna przewaga modelu APT nad CAPM

o APT dopuszcza wiele czynników ryzyka

o nie wymaga wskazania portfela rynkowego

o => testowalność modelu.

1

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Podstawą modelu APT jest założenie, iż stopy zwrotu opisuje następująca zależność:

R = E( R) + Bf + ε ,

R jest n elementowym wektorem stóp zwrotu z poszczególnych walorów,

f jest k elementowym wektorem czynników wpływających na stopy zwrotu,

E (R) jest wartością oczekiwaną wektora stóp zwrotu przy założeniu zerowego

wpływu wektora czynników f,

B jest n x k elementową macierzą współczynników, przy czym pojedynczy element macierzy B, b mierzy czułość i-tego waloru na zmiany wartości k- tego czynnika, ij

ε wektor składników resztowych.

2

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

• pewna liczba k czynników ( factors) wpływa na stopy zwrotu

• w sytuacji, jeśli byłby to jeden czynnik i byłoby nim ryzyko systematyczne,

mierzone jak w modelu CAPM, to model APT zredukowałby się do modelu

CAPM

• trudnością jest identyfikacja czynników oraz ich interpretacja

• przyjmuje się, iż czynnikami tymi są zmienne makroekonomiczne jak inflacja,

kursy walutowe, dynamika produktu krajowego brutto i inne.

• testy modelu APT są niejednoznaczne w swej wymowie. Otrzymywane są

różne grupy czynników objaśniających stopy zwrotu w różnych okresach czasu

(przeważnie kilka)

3

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

• większą moc predykcyjną APT w stosunku do modelu CAPM:

o Chena (1983) - APT nieco lepiej wyjaśnia przekrojowe różnice w stopach

zwrotu w stosunku do CAPM,

o Lehmann i Modest (1988) - większą zdolność modelu APT do wyjaśniania

anomalii związanej ze stopą dywidendy

o Connor i Korajczyk (1988) - model APT daje mniejsze błędy prognoz cen

niż model CAPM

4

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Efektywność informacyjna

Eugene Fama (1970 - trzy formy EIR:

- efektywność słabą, jeśli ceny aktywów odzwierciedlają informację o ich cenach

historycznych,

- efektywność półsilną, jeśli ceny aktywów odzwierciedlają wszelkie informacje

publicznie dostępne,

- efektywność silną, jeśli ceny aktywów odzwierciedlają także informacje

poufne, niedostępne dla większości uczestników rynku.

5

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Aby testować hipotezy EIR konieczne jest:

- przyjęcie modelu równowagi rynku implikującego proces generowania cen

aktywów, opartego na wartości oczekiwanej; takim modelem może być i

historycznie był model CAPM,

- przyjęcie założenia o odzwierciedleniu odpowiedniego, zależnego od formy

EIR, zbioru informacji w procesie określania wartości oczekiwanych.

6

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Konsekwencją przyjęcia tych dodatkowych założeń są następujące możliwości

testowania hipotezy EIR:

- analiza zdarzeń: testowana jest reakcja rynku na pojawienie się określonej

nowej informacji poprzez mierzenie dodatkowej stopy zwrotu ( abnormal rate of

return) w stosunku do stopy określonej modelem równowagi w obrębie

przyjętego okresu przed i po dniu pojawienia się nowej informacji,

- eksperymenty symulacyjne: testowane są oczekiwane stopy zwrotu,

wynikające ze strategii inwestycyjnych, bazujących jedynie na odpowiednim,

zależnie od badanej formy EIR, zbiorze informacji i porównywane z

wartościami oczekiwanymi stóp zwrotu wynikającymi z przyjętego modelu

równowagi rynku.

7

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Modele wielowskaźnikowe

Modele bazujące na klasycznych założeniach o racjonalnym zachowaniu

inwestorów w sensie teorii Markowitza:

• Z jednej strony: zwolennicy hipotezy, iż zmienne w modelu

wielowskaźnikowym reprezentują pewne czynniki ryzyka systematycznego

( risk factors) - Fama i French (1992)

• źródłem premii w modelu są tzw. charakterystyczne cechy firm

( characteristics) - Daniel i Titman (1997)

Modele bazujące na teoriach behawioralnych:

• teoria perspektywy ( prospects theory) Kahnemana i Tversky’ego (1979)

• koncepcja nadreaktywności rynku ( overreaction) DeBondta i Thalera (1985)

8

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Wielowskaźnikowy CAPM ( multifactor CAPM)

E( R ) − R = b ( E( R ) − R ) + s E( SMB) + h E( HML) i

f

i

M

f

i

i

E( R )

i

- oczekiwana stopa zwrotu z portfela i-tego,

R f - stopa wolna od ryzyka w okresie obowiązywania modelu,

E( R ) − R

M

f jest dodatkową stopą zwrotu z „szerokiego” indeksu rynku ponad stopę

wolną od ryzyka ( excess return) i ma charakter premii za ryzyko z modelu CAPM

E( SMB) jest oczekiwaną premią za dodatkowe ryzyko związane z kapitalizacją firmy,

E( HML) jest premią związaną z ryzykiem związanym ze wskaźnikiem PBV.

9

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

• Premie za kapitalizacje i wskaźnik PBV mają charakter premii arbitrażowych, tj.

są różnicą stóp zwrotu z portfeli o skrajnych wartości wskaźnika. W przypadku

kapitalizacji chodzi o różnicę stóp zwrotu między portfelem spółek o

kapitalizacji najmniejszej ( small) i największej ( big), w przypadku wskaźnika PBV o różnicę stóp zwrotu z portfeli o najniższej wartości wskaźnika PBV i

wartości najwyższej wskaźnika (najniższej wartości odwrotności wskaźnika,

BVP).

• Współczynnik bi w równaniu modelu Famy i Frencha mierzy czułość portfela

na zmiany dodatkowej stopy zwrotu ponad stopę wolną od ryzyka,

• współczynnik si wyraża czułość portfela na zmianę premii z tytułu kapitalizacji

( SMB),

• współczynnik hi wyraża czułość portfela na zmianę premii z tytułu wskaźnika

PBV ( HML).

10

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

• Dopiero uwzględnienie wszystkich tych czynników, tłumaczy dodatkową stopę

zwrotu, jaką przynosi portfel i-ty w stosunku do stopy wolnej od ryzyka

( E( R ) − R ).

i

f

11

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Model charakterystyczny Daniela i Titmana

• czynniki wyspecyfikowane w modelu przez Famę i Frencha nie są powiązane z

ryzykiem, a w związku z tym nie są wyceniane specjalną premią za ryzyko

• portfele zbudowane przez Famę i Frencha, posiadające niski poziom wskaźnika

BVP czy też niską kapitalizację, przynoszą wyższe stopy zwrotu

• przypisują je charakterystykom samych portfeli, tj. pewnym wspólnym cechom

portfeli, skutkującym wzajemną korelacją ich stóp zwrotu

• wspólnymi cechami (charakterystykami) portfeli mogą być koncentracje

określonych branżach w portfelach, czy też skupienie się w nich spółek z

określonych rejonów geograficznych

• Koncentracja branżowa czy geograficzna skutkują w wysokiej kowariancji stóp

zwrotu spółek ma miejsce niezależnie od koniunktury giełdowej i gospodarczej,

12

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

podczas gdy Fama i French przypisują kowariancję stóp zwrotu wspólną reakcją

spółek na czynniki ryzyka

• => zmienne, określające macierz kowariancji, nie są powiązane z ryzykiem, nie

mogą zatem objaśniać oczekiwanych stóp zwrotu z akcji.

13

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Stopy zwrotu generowane są strukturą J czynników, niezmiennych w czasie, które

całkowicie opisują macierz wariancji-kowariancji stóp zwrotu, zgodnie z równaniem:

J

r~ = E r~

(

) +

β f

ε

i, t

i, t

∑

+

i, j

j, t

i, t

j =1

r~ - jest zmienną losową będącą stopą zwrotu z waloru i w okresie t,

i, t

~

E( r ) - jest wartością oczekiwaną stopy zwrotu z waloru i w okresie t, i, t

β - jest współczynnikiem mierzącym czułość waloru i na wpływ czynnika j ( factor i, j

loading),

f - jest stopą zwrotu z czynnika j w okresie t o rozkładzie normalnym N (

)

1

,

0

,

i, t

ε - jest składnikiem resztowym mającym rozkład normalny o wartości oczekiwanej

i, t

równej zero oraz wariancji 2

σ .

ei

14

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Współczynniki, mierzące czułość walorów na wpływ czynników ( factor loadings),

nie determinują oczekiwanych stóp zwrotu z aktywów, gdyż te określane są przez

charakterystyki firm:

~

E( r ) = a + b ⋅θ

i, t

1

i, t 1

−

θ - jest obserwowaln

i, t

ą, wolno zmieniającą się charakterystyką firmy,

a oraz b 1 są stałymi, związanymi z wpływem charakterystyki na stopy zwrotu.

Charakterystyka firmy nie musi być związana z czynnikami ryzyka i możliwy jest

scenariusz, iż firma przynosić może niskie stopy zwrotu z uwagi na posiadaną

charakterystykę, a nie na czułość na czynniki ryzyka.

15

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Przykład podejścia behawioralnego

• Grahama i Dodda (1934) - techniki „przeciwstawne” lub kontrariańskie

( contrarian investing):

o podejmowanie decyzji inwestycyjnych przeciwstawnych do działań innych

uczestników rynku w nadziei na uzyskanie w ten sposób ponadprzeciętnych

stóp zwrotu

o naśladownictwo innych powodowałoby co najwyżej uzyskanie przeciętnych

stóp zwrotu

• Wytłumaczenie behawioralne strategii kontrariańskiej wyjaśniające anomalię

PE - Dreman (1982):

o wskaźnik PE odzwierciedla oczekiwania inwestorów co do przyszłego

wzrostu zysków firm

16

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

o inwestorów charakteryzuje tendencja do ekstrapolacji przeszłych zysków na

kolejne okresy

o Ta inercja w predykcji przyszłych zysków powoduje, iż po ogłoszeniu

kolejnych raportów często dochodzi do znaczących odchyleń pomiędzy

prognozami a raportowanymi poziomami zysków

o Eksperci mają tendencję do przeszacowywania (dla spółek, którym się

wiedzie dobrze, czyli o wyższych poziomach współczynnika PE) lub

niedoszacowywania (dla spółek, którym się wiedzie źle, czyli o niższych

poziomach współczynnika PE) prognoz

o Gdy rzeczywistość w sposób trwały zacznie się rozmijać z prognozami

dochodzi do korekty wyceny

• Wnioski Dremana potwierdzili De Bondt i Thaler (1985, 1987) i rozszerzyli je w

tzw. teorię nadreaktywności ( overreaction) rynków.

o inwestorzy mają tendencję do kierowania się nieracjonalnymi w

tradycyjnym sensie „falami” optymizmu i pesymizmu

17

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

o fale te wywołują odchylenia w wycenie walorów w stosunku do ich

wartości fundamentalnych

o Odchylenia te inni inwestorzy wychwytują i stosują opozycyjne techniki

kontariańskie

o w efekcie doprowadza do wyrównywania wyceny z wartością wewnętrzną.

18

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Metoda regresji przekrojowej

Podstawą weryfikacji hipotez dotyczących wpływu pojedynczych wskaźników na

stopy zwrotu akcji, jest przyjęcie jednowskaźnikowego modelu rynku w postaci (1):

~

R = γ~ + γ~ W + ε~

it

0 t

t

1

i

it ,1

(1)

~

R - jest zmienną losową, będącą jednookresową stopą zwrotu z waloru i w okresie od

it

t-1 do t,

~

γ - jest zmienną losową, wyrażającą część stopy zwrotu niezależną od wpływu

0 t

wskaźnika W, i przyjmującą taką wartość, by wartość oczekiwana składnika

resztowego ε~ była równa zeru,

it

1 Znak ~ nad zmienną oznacza, iż jest to zmienna losowa.

19

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

~

γ - jest zmienną losową, mierzącą siłę wpływu wskaźnika W waloru i na stopę zwrotu t

1

i

~

R ,

it

ε~ - jest zmienną losową, będącą składnikiem resztowym, mierzącym wpływ ryzyka

it

idosynkratycznego (specyficznego) waloru i,

W - jest wskaźnikiem fundamentalnym, którego wpływ na stopę zwrotu wyraża model.

i

Pozostałe założenia modelu to:

• normalny rozkład składnika resztowego ε~ ,

it

• zerowa wartość oczekiwana składnika resztowego ~

E(ε ) = 0 ,

it

• nieskorelowanie czynnika resztowego ε~ z parametrem modelu W , tj.

~

cov(ε , W ) = 0 ,

it

i

it

i

• niezależność składników resztowych (wnikająca z ich nieskorelowania, tj.

~ ~

cov(ε ,ε ) = 0 dla i ≠ j , oraz ich normalnego rozkładu),

it

jt

20

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Jeżeli model postaci (1) zachodzi, to równanie modelu spełnione jest dla każdego

waloru i.

2 sposoby testowania:

1. regresja dla szeregów stóp zwrotu z pojedynczych walorów

a. problem błędu w estymatorach ( errors-in-the-variables), dający duże

obciążenia wyników szczególnie w przypadku regresji dla pojedynczych

walorów.

i. nieznane są prawdziwe (rzeczywiste) wartości czynnika ryzyka W i

modelu, a jedynie jego estymator

ii. jeśli np. czynnikiem ryzyka jest współczynnik beta (czyli testowany

jest model rynkowy), to do modelu za parametr W podstawia się

i

oszacowaną wartość współczynnika beta, która może się różnić od

prawdziwej, nieobserwowalnej, jego wartości

21

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

iii. błąd w pomiarze współczynnika przenosi się na błąd w ocenie

parametrów modelu ~γ i ~γ

0 t

t

1

iv. Podobna sytuacja ma miejsca w przypadku testowania wskaźników

PE, PBV oraz kapitalizacji jako zmiennych objaśniających modelu (1).

Ich występowanie w modelu wiąże się bowiem z założeniem, iż są one

miernikami nieznanego ryzyka systematycznego ( proxy variables)

2. grupowanie akcji w portfele, a następnie, testy modelu postaci (1), używając

stóp zwrotu z portfeli akcji

a. błędy w ocenie estymatorów mają działanie przypadkowe (działają w

różnych kierunkach), co oznacza, że jeśli akcje pogrupowane są w portfele,

to błędy te mają tendencję do wzajemnego znoszenia się.

b. w rezultacie błąd w ocenie estymatora w przypadku portfeli jest dużo

niższy.

c. testy oparte na portfelach zmniejsza wywołuje niekorzystną tendencję utraty

informacji wskutek jej agregowania

22

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

d. kwalifikowanie spółek w portfele dokonuje się tak, by maksymalnie

zwiększyć rozpiętość średnich wartości wskaźnika w poszczególnych

portfelach

e. Cel ten realizuje się poprzez sortowanie spółek według wartości wskaźnika,

a następnie kwalifikowanie ich do portfeli według jego narastającej

wartości.

23

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

W rezultacie grupowania równanie modelu (1) przechodzi w następującą postać

regresji przekrojowej:

R

= γˆ + γˆ W

+ ε

pt

0 t

t

1

p t

, −1

pt ,

(2)

R - jest zmierzoną stopą zwrotu z portfela p w okresie od t-1 do t,

pt

W

- jest średnią arytmetyczną wartością wskaźnika W dla portfela p, równą

p 1

−

N

1

W

=

W

,

p t

, −1

∑ i t,−

N

1

i=1

ˆ

γ , ˆ

γ , εôtrzymuje się z regresji przekrojowej.

0 t

t

1

pt

24

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Parametry regresji ˆγ , ˆγ , εˆ mają rozkład normalny.

0 t

t

1

pt

Ze sposobu konstrukcji okresów rewizji, a mianowicie z faktu, iż nie nachodzą one na

siebie, wynika z kolei, iż poszczególne wartości parametrów γˆ , ˆγ są niezależne dla

it

it 1

+

i=0...2, t=1... T.

Normalność rozkładu parametrów i ich niezależność dla kolejnych okresów czasu

oznacza, iż możliwe jest wnioskowanie statystyczne, dotyczące uśrednionych po

czasie wartości tych parametrów.

Jeśli ˆγ jest statystyką, będącą uśrednioną po czasie wartością parametru regresji ˆγ ,

0 t

0 t

T

tj.

1

ˆ

γ =

ˆ

γ , to statystyka ta ma rozkład t-studenta, a wartość odpowiadającej jej

0 t

∑ 0 t

T t=1

statystyki-t ma postać:

ˆ

γ

t

0 t

( ˆ

γ ) =

0 t

σ ( ˆ

γ )

0 t

T

Analogiczną postać ma statystyka dla parametru ˆγ .

t

1

25

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

W szczególności ważna jest statystyczna istotność parametru ˆ

γ t 1 .

• Parametr ten mierzy postulowany wpływ wskaźnika na stopy zwrotu.

• Brak statystycznej istotności powoduje odrzucenie hipotezy o prawdziwości

modelu postaci (1) ze wskaźnikiem W jako zmienną objaśniającą.

26

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Algorytm - badanie wpływu pojedynczego wskaźnika na stopy zwrotu:

I. Ustala się rozdzielczość grupowania, tj. ilość portfeli N, na które będzie dzielona populacja spółek (np. N=10 oznacza decyle, N=5 oznacza kwintyle, N=4 oznacza kwartyle) oraz wyznacza dzień, w którym nastąpi utworzenie portfeli dla

pierwszego miesiąca. Zmienna t, oznaczająca numer miesiąca przyjmuje wartość

1.

II. Opierając się na wskaźnikach z ostatniego dnia miesiąca t-1, spółki sortuje się według poziomu wskaźnika W, będącego zmienną objaśniającą. Otrzymany

ranking spółek jest podstawą utworzenia portfeli pierwszego dnia miesiąca t.

Spółki kwalifikuje się do portfeli tak, by portfele były równoliczne.

III. Oblicza się wartości średnich arytmetycznych W poziomów wskaźnika w

p t

k

portfelach na podstawie rankingu z ostatniego dnia miesiąca t-1, będącego

postawą kwalifikacji spółek do portfeli. Zmienna k numeruje portfele w układzie

przekrojowym ( k=1... N), zmienna t zaś, w układzie czasowym ( t=1... T). Spółki trzymane są w portfelu do końca miesiąca według strategii „kup i trzymaj” ( buy-27

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

and-hold). Istotne jest to, że w trakcie miesiąca żadna nowa spółka nie trafia do

portfela. Jeśli spółka opuściła parkiet, to została automatycznie usunięta z

portfela, z zachowaniem korekty na zmianę nierynkową. Spółki w portfelu

ważone są kapitalizacją.

IV. Oblicza się stopy zwrotu z poszczególnych portfeli R w miesiącu t. W ten p t

k

sposób otrzymuje się N obserwacji przekrojowych dla miesiąca t. Na każdą

obserwację składa się para ( W , R ) – wskaźnik dla portfela jako zmienna

p t

k

p t

k

objaśniająca i stopa zwrotu z portfela jako zmienna objaśniana. Dla miesiąca t

wykonuje się jest równanie regresji postaci (2), co daje w rezultacie estymatory

parametrów regresji ˆγ , ˆγ .

0 t

t

1

V. Rekurencyjnie powtarza się punkty: II do IV algorytmu dla miesiąca, w którym

jest rewizja, III do IV dla miesiąca, w którym nie ma rewizji, aż do ostatniego

miesiąca, tj. dla miesiąca o numerze t= T. W rezultacie otrzymuje się szereg czasowy estymatorów parametrów regresji ( ˆγ , ˆγ ), ( ˆγ , ˆγ ), ... , ( ˆγ , ˆγ ).

01

11

02

12

0 T

T

1

28

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

VI. Dla otrzymanych szeregów czasowych parametrów regresji (2) oblicza się

uśrednione w wartości estymatorów regresji ˆγ , ˆγ . Są to średnie arytmetyczne

0 t

t

1

liczone po czasie. Dokonuje się wnioskowania statystycznego. Hipotezą zerową

jest założenie, iż wartości średnie parametrów regresji ˆγ , ˆγ istotnie nie różnią się

0 t

t

1

od zera. Wnioskowanie opiera się na statystyce t-studenta obliczonej dla

parametrów regresji zgodnie ze wzorem (3).

29

dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – część IV

Istotną kwestią w metodzie regresji przekrojowej jest wybór interwału czasowego, co

który uaktualniane są wartości wskaźników W modelu (1)

Zastosowanie regresji liniowej dla szeregu skorelowanych czasowo wartości

wywołuje autokorelację składnika resztowego modelu oraz powoduje, iż estymatory

równania regresji, obliczane metodą najmniejszych kwadratów, przestają być

nieobciążone i efektywne.

Konieczne jest zatem zastosowanie poprawki korygującej wartości estymatorów

parametrów regresji przekrojowych (2).

Newey i West (1987) - eliminacja wpływu autokorelacji na estymatory parametrów

regresji otrzymywanych metodą najmniejszych kwadratów i przywrócenie ich

nieobciążoności i efektywności + koryguje też heteroskedastyczność składnika

resztowego (tj. zjawiska zmienności w czasie wariancji rozkładu składnika).

30