Pytania z równań różniczkowych
Pytania podstawowe:
1. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań lokalnych problemu Cauchy ego dla prawych
stron lipschitzowskich .
2. Przedłużenie rozwiązań problemu Cauchy ego.
3. Równanie o zmiennych rozdzielonych (uzasadnienie postępowania).
4. Równanie liniowe (uzasadnienie metody rozwiązywania).
5. Równanie zupełne (uzasadnienie metody rozwiązywania).
6. Równanie Clairaut i równanie Lagrange a.
7. Równanie różniczkowe n-tego rzędu. Podstawowe własności. Twierdzenie
Liouville a.
8. Równanie różniczkowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach.
a) rozwiązania równania jednorodnego;
b) metoda przewidywań;
c) metoda uzmiennienia stałych.
9. Układy równań różniczkowych liniowych. Rozwiązywanie równań jednorodnych
i niejednorodnych.
10. Lemat Gronwalle a.
11. Zależność rozwiązań od warunków początkowych.
12. Stabilność rozwiązań równań różniczkowych. Układy liniowe.
13. Metoda Lapunowa dla układów autonomicznych.
14. Równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu (metoda zmiany zmiennych).
15. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe o n-zmiennych niezależnych. (Związek
między rozwiązaniem równania cząstkowego a całkami pierwszymi układu równań
charakterystycznych)
Pytania uzupełniające:
1. Twierdzenie Arzela-Ascoli.
2. Istnienie rozwiązań dla prawych stron ciągłych.
3. Układy równań różniczkowych liniowych. Twierdzenie Abela.
4. Rozwiązania dolne i górne dla problemu Cauchy ego. Twierdzenie o istnieniu.
5. Twierdzenia porównawcze.
6. Klasyfikacja punktów krytycznych.
7. Równania liniowe z perturbacjami.
8. Stabilność układów nieliniowych. Linearyzacja.
9. Problemy brzegowe. Zagadnienie Sturma-Liouville a.
10. Równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu. Metoda charakterystyk.