Wykład 2
Model ekonometryczny
2.1. Pojęcie i struktura modelu ekonometrycznego
Podstawowym narzędziem badawczym ekonometrii, pozwalającym na identyfikację i analizę
zale\
ności pomiędzy zjawiskami ekonomicznymi jest model ekonometryczny.
Model ekonometryczny z formalnego punktu widzenia jest układem funkcji matematycznych
przedstawiających stochastyczne związki pomiędzy zjawiskami ekonomicznymi, a dokładniej
pomiędzy pewnymi ich ilościowymi charakterystykami. W klasycznych definicjach podkreśla się,
\
e model oddaje tylko istotne, zasadnicze zale\
ności pomiędzy rozwa\
anymi zjawiskami,
co oczywiście wynika z samego pojęcia modelu jako pewnego przybli\
onego odwzorowania
rzeczywistego obiektu. I tak według Z. Pawłowskiego  Model ekonometryczny jest to konstrukcja
formalna, która za pomocą jednego równania lub układu równań przedstawia zasadnicze powiązania
występujące pomiędzy rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi 1. Z. Hellwig pisze  Modelem
ekonometrycznym zwykło się nazywać opis interesującego nas fragmentu rzeczywistości,
uwzględniający tylko istotne jej elementy. Opis ten jest swego rodzaju abstrakcją, a charakterystyczną
jego cechą jest wyodrębnienie obiektywnie istniejącego systemu głównych, zasadniczych relacji
występujących w badanym fragmencie rzeczywistości. Zewnętrzną formą modelu ekonometrycznego
jest układ równań 2 Natomiast S. Bartosiewicz pisząc:  Ustaloną stochastyczną zale\
ność
wyró\
nionego lub wyró\
nionych zjawisk ekonomicznych od zjawisk-czynników nazywamy modelem
ekonometrycznym, z czego wynika formalna definicja modelu jako układu funkcji (w szczególnym
przypadku jednej funkcji) na ogół wielu zmiennych aproksymujących z pewną dokładnością opisywany
fragment rzeczywistości ekonomicznej 3, wskazuje, \
e model składa się z funkcji,
co z matematycznego punktu widzenia jest bardziej prawidłowe.
Przedstawione definicje nie ró\
nią się zasadniczo i wynika z nich szereg własności modeli
ekonometrycznych.
W modelu ekonometrycznym wyró\
niamy modelowane zjawisko z jednej strony i czynniki, warunki,
kształtowania się tego zjawiska, z drugiej strony. Zarówno modelowane zjawisko jak i zjawiska-
czynniki opisane są zmiennymi ilościowymi. Zmienne opisujące modelowane zjawisko nazywamy
zmiennymi endogenicznymi lub zmiennymi objaśnianymi, natomiast uwarunkowania opisane są
zmiennymi objaśniającymi (egzogenicznymi i endogenicznymi opóz
nionymi w czasie). Przedstawia to
schemat na rysunku 1.
1
Z. Pawłowski, Ekonometria, PWN, Warszawa 1969, s.37
2
Z. Hellwig (red.), Zarys ekonometrii, PWE, Warszawa 1970, s.13
3
S. Bartosiewicz, Ekonometria, PWE, Warszawa 1978, s. 11,12
dr Dua
an Bogdanov 1
Ekonometria 1
Rysunek 1.
Uwarunkowania kształtowania
Modelowane zjawisko
siÄ™ modelowanego zjawiska
Zmienne objaśniające 
Zmienne objaśniane  egzogeniczne i endogeniczne
endogeniczne Y1,,Y2,& ,Yk opóz
nione w czasie X1,
X2,& ,Xk
Funkcja posiada tylko jednÄ… zmiennÄ… zale\
ną, więc jedno równanie modelu objaśnia tylko jedną
zmienną objaśnianą, model w rozwa\
anym przypadku ma postać:
Y1 = F1(X1 , X ,..., X )
2 k
Y2 = F2(X1 , X ,..., X )
2 k
(2.1)
& & & & & & & & & & & & ..
Ym = Fm(X1 , X ,..., X )
2 k
Zale\
ność, którą opisuje model ekonometryczny ma charakter stochastyczny, zmienne objaśniane
nie są w pełni wyjaśnione przez zmienne objaśniające. Wynika to z faktu, \
e do modelu wprowadza
się zmienne objaśniające reprezentujące tylko istotne czynniki wpływające na zmienne objaśniane.
Zmienne ilościowe opisują ponadto badane kategorie z pewnym przybli\
eniem, mogą wystąpić błędy
w pomiarze zmiennych. Postać analityczna danego równania modelu te\
jedynie z określonym
przybli\
eniem oddaje charakter powiązań pomiędzy zmiennymi. W efekcie model objaśnia tylko część
zmienności zmiennych objaśnianych, natomiast zakłada się, \
e nie wyjaśniona część zmienności
zmiennych objaśnianych jest wynikiem działania czynnika przypadkowego, losowego. W związku
z tym, do ka\
dego równania modelu wprowadza się zmienną losową zwaną składnikiem losowym.
Jest to zmienna nie obserwowalna, zakłada się charakter jej rozkładu i parametry tego rozkładu.
Model ekonometryczny składa się z funkcji, które tworzą jego makrostrukturę, natomiast ka\
da
funkcja modelu zbudowana jest ze zmiennych i parametrów, określających mikrostrukturę modelu.
W sposób sformalizowany, uwzględniając wszystkie jego elementy, model 2.1. mo\
na zapisać
następująco:
Y1 = F1(X1 , X2,..., Xk ,Ä…1, ²1...µ1)
Y2 = F2(X1 , X2,..., X ,Ä…2, ²2...µ2)
k
(2.2)
& & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Ym = Fm(X1 , X ,..., Xk ,Ä…m, ²m...µm)
2
dr Dua
an Bogdanov 2
Ekonometria 1
gdzie:
Ä…i , ²i & - parametry strukturalne modelu,
µi -skÅ‚adniki losowe modelu.
W modelu ekonometrycznym obok zmiennych występują parametry. Wyró\
nia siÄ™ parametry
strukturalne modelu, są to stałe stojące przy zmiennych modelu (oprócz składnika losowego).
Parametry strukturalne charakteryzują wewnętrzną strukturę powiązań pomiędzy zmienną objaśnianą
a zmiennymi objaśniającymi w danym równaniu. Wartości liczbowe parametrów modelu szacuje się
w procesie estymacji modelu na podstawie realizacji empirycznej zmiennych modelu. DrugÄ… grupÄ™
parametrów modelu tworzą tak zwane parametry struktury stochastycznej modelu, są to parametry
rozkładu składnika losowego modelu. Szacuje się je bądz
weryfikuje na podstawie ró\
nic pomiędzy
realizacjami zmiennej objaśnianej a jej wartością z modelu (wektora reszt).
2.2. Klasyfikacja modeli ekonometrycznych
Modele ekonometryczne klasyfikuje się według ró\
nych kryteriów. Omówimy najpopularniejsze
podziały.
Ze względu na wartości poznawcze modele dzielimy na:
" modele przyczynowo-skutkowe,
" modele symptomatyczne,
" modele tendencji rozwojowej (trendy).
Największą wartość poznawczą mają modele przyczynowo-skutkowe, zwane te\
modelami
przyczynowo-opisowymi. Modele te przedstawiajÄ… zwiÄ…zki przyczynowo-skutkowe wynikajÄ…ce z teorii
ekonomii. Wartości zmiennych objaśnianych (skutki) są wynikiem kształtowania się zmiennych
objaśniających (przyczyn).
Modele symptomatyczne opisują sytuację, gdy pomiędzy zmienną objaśnianą a zmiennymi
objaśniającymi zachodzą związki korelacyjne, pozwalające na zbudowanie funkcji dobrze
dopasowanej do obserwacji, ale nie występuje zale\
ność przyczynowo-skutkowa dająca się wyjaśnić
na gruncie teorii ekonomii. Mo\
e taka sytuacja wystąpić na przykład w przypadku zjawisk
współrozwijających się.
W modelach trendu jedyną zmienną objaśniającą jest zmienna czasowa. Wiele zjawisk
ekonomicznych wykazuje regularne zmiany w czasie. Funkcja trendu opisuje prawidłowości właściwe
przeszłości, ukształtowane pod wpływem silnych i trwałych przyczyn, które działały w przeszłości.
Zatem zmienna czasowa jest zmiennÄ… syntetycznÄ… reprezentujÄ…cÄ… te przyczyny.4
Wa\
nym wydaje się podział modeli ze względu na wymiar, w którym obserwowane są modelowane
zjawiska. Modele ekonometryczne mogą opisywać zale\
ności, które ukształtowały się w czasie,
są to modele dynamiczne. Modelowane zjawiska mogą być obserwowane w tym samym momencie
czasu, ale w wielu obiektach, opisujÄ…ce je modele nazywamy statycznymi lub przekrojowymi
4
A. ZeliaÅ›, Teoria prognozy, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 1997 r. s.73.
dr Dua
an Bogdanov 3
Ekonometria 1
czy przestrzennymi. Je\
eli zjawiska zmieniają się i w czasie i w przestrzeni mówimy o modelach
przestrzenno-dynamicznych.
Ponadto mamy szereg kryteriów odnoszących się do formalnej strony modeli ekonometrycznych.
Ze względu na liczbę zmiennych objaśniających wyró\
niamy:
" modele z jedną zmienną objaśniającą
" modele z wieloma zmiennymi objaśniającymi
Ze względu na postać analityczną funkcji modelu wyró\
niamy:
" modele liniowe
" modele nieliniowe.
W praktyce bardzo du\
Ä… rolÄ™ odgrywajÄ… modele liniowe. CharakteryzujÄ… siÄ™ one prostszymi
metodami estymacji. Teoria dotyczÄ…ca budowy modeli nieliniowych opiera siÄ™ z znacznym stopniu
na teorii budowy modeli liniowych. Wśród modeli nieliniowych najczęściej stosuje się funkcje liniowe
ze względu na parametry oraz logarytmiczno-liniowe.
" ze względu na liczbę równań modelu wyró\
niamy:
" modele jednorównaniowe,
" modele wielorównaniowe.
Modele wielorównaniowe dzieli się ze względu na powiązania pomiędzy zmiennymi objaśnianymi
poszczególnych równań na proste, rekurencyjne i modele o równaniach współzale\
nych.
Model prosty mo\
na zapisać w postaci:
Y1 = F1(X1 , X ,..., X )
2 k
Y2 = F2(X1 , X ,..., Xk)
2
(2.3)
& & & & & & & & & & & & ..
Ym = Fm(X1 , X ,..., X )
2 k
W modelu prostym zmienne objaśniane poszczególnych równań występują tylko w roli zmiennych
objaśnianych.
Model rekurencyjny mo\
na zapisać w postaci:
Y1 = F1(X1 , X2,..., Xk)
Y2 = F2(Y1, X1 , X2,..., X )
k
(2.4)
Y3 = F3(Y1,Y2, X1 , X ,..., Xk)
2
& & & & & & & & & & & & & & & &
Ym = Fm(Y1,Y ,....Ym-1, X1 , X ,..., Xk)
2 2
dr Dua
an Bogdanov 4
Ekonometria 1
W modelu rekurencyjnym równania mo\
na uporządkować w ten sposób, \
e zmienne objaśnione
w pewnych równaniach mogą wystąpić w roli zmiennych objaśniających w równaniach następnych.
Natomiast w modelu o równaniach współzale\
nych zmienne objaśniane w jednych równaniach
mogą występować w roli zmiennych objaśniających w innych równaniach i nie zachodzi tu zale\
ność
rekurencyjna. Model o równaniach współzale\
nych ma postać:
Y1 = F1(Y2,Y3...Ym, X1 , X2,..., X )
k
Y2 = F2(Y1,Y3...Ym X1 , X ,..., X )
2 k
(2.5)
Y3 = F3(Y1,Y2,Y4...Ym X1 , X ,..., Xk)
2
& & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Ym = Fm(Y1,Y ,....Ym-1, X1 , X ,..., Xk)
2 2
Wyró\
nienie w modelach ekonometrycznych tylko zmiennych objaśnianych i objaśniających nie
jest wystarczające w przypadku modeli wielorównaniowych, poniewa\
te same zmienne mogą pełnić
w pewnych równaniach rolę zmiennych objaśnianych, a w innych zmiennych objaśniających. Dlatego
w modelach wielorównaniowych stosuje inną klasyfikację zmiennych. Zmienne objaśniane
poszczególnych równań nazywamy zmiennymi łącznie współzale\
nymi, a zmienne, które występują
tylko w roli zmiennych objaśniających nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi.
2.3. Etapy badania ekonometrycznego
Proces klasycznej analizy ekonometrycznej jest wieloetapowy, a ka\
dy następny etap jest mocno
uzale\
niony od poprzedniego. Do dziÅ› w badaniach ekonometrycznych dominuje metodologia
klasyczna, której podstawy sformułowano w latach 40. i 50. dwudziestego wieku. Początkowym
punktem do budowy modelu jest istniejÄ…ca teoria lub hipoteza ekonomiczna.
Modelowanie i analiza zjawisk gospodarczych przy wykorzystaniu modeli ekonometrycznych
obejmuje następujące etapy:
1. określenie zakresu i celu badań,
2. specyfikacja zmiennych modelu,
3. konstrukcja modelu,
4. estymacja parametrów modelu,
5. weryfikacja modelu,
6. wykorzystanie modelu (wnioskowanie).
Podstawowym celem modelowania ekonometrycznego jest wyjaśnienie na gruncie empirycznym
mechanizmu kształtowania się pewnego zjawiska ekonomicznego. Przystępując do budowy modelu
nale\
y więc bardzo dokładnie określić jego zakres przedmiotowy. Pozwoli to na określenie
dr Dua
an Bogdanov 5
Ekonometria 1
modelowanych kategorii ekonomicznych, a następnie ich mierników. W drugim etapie na podstawie
sformułowanego wcześniej celu i zakresu i badań określa się modelowane zjawisko i zmienne
ilościowe, które opisują to zjawisko, czyli zmienne objaśniane. Następnie nale\
y ustalić mo\
liwie pełen
zestaw zjawisk warunkujących kształtowanie się zmiennych objaśnianych. Zjawiska warunkujące
kształtowanie zmiennych objaśnianych opisujemy zmiennymi ilościowymi  zmiennymi objaśniającymi.
W procesie specyfikacji zmiennych decyduje się makrostruktura modelu. Będzie on miał tyle równań
iloma zmiennymi objaśnianymi zostało opisane badane zjawisko. Ponadto wstępnie ustala się
powiązania pomiędzy zmiennymi. Kolejnym krokiem specyfikacji zmiennych jest zebranie danych
statystycznych o realizacji zmiennych i przeprowadzenie metodami statystycznymi ich formalnej
weryfikacji. Na tym etapie zwykle następuje znaczna redukcja potencjalnych zmiennych
objaśniających. Zdarza się równie\
, \
e materiał empiryczny nie potwierdza wcześniejszych zało\
eń
i proces specyfikacji zmiennych nale\
y zacząć od początku.
Na konstrukcję modelu składa się identyfikacja zale\
ności między zmiennymi i wybór postaci
analitycznej modelu. Na etapie specyfikacji zmiennych ju\
częściowo ustalone zostają powiązania
pomiędzy zmiennymi, nale\
y je uściślić i doprecyzować. Wybór postaci zale\
ności odgrywa
tu kluczowÄ… rolÄ™. Ekonometryk wybierajÄ…c typy zale\
ności funkcyjnych korzysta z analizy materiału
statystycznego, wiedzy o mechanizmach zale\
ności między badanymi zjawiskami wynikających
z teorii ekonomii, a tak\
e często z doświadczeń wcześniejszych badań empirycznych. Wa\
nÄ…
przesłanką wyboru jest mo\
liwość przeprowadzenia w sposób efektywny estymacji modelu.
Te ograniczenia powodujÄ…, \
e buduje się najczęściej modele liniowe i logarytmiczno-liniowe. Bardziej
skomplikowanych funkcji u\
ywa się w przypadku modeli z jedną zmienną objaśniającą5, w tym modeli
trendów. Przy wyborze postaci funkcji mo\
emy w tej sytuacji korzystać dodatkowo z graficznej
ilustracji zale\
ności między zmiennymi.
Kolejny etap budowy modelu ekonometrycznego - estymacja parametrów modelu, polega
na nadaniu, na podstawie realizacji zmiennych modelu, wartości liczbowych nieznanym a priori
parametrom strukturalnym modelu i parametrom struktury stochastycznej modelu. Do szacowania
parametrów modelu stosuje się metody statystyczno-matematyczne odpowiednie dla ró\
nych typów
modeli. Oceny parametrów wyznacza się według specyficznych dla poszczególnych metod formuł
w oparciu na szeregi realizacji zmiennych modelu. Formuły wyznaczania parametrów jako funkcji
obserwowanych w próbie zmiennych (losowych i nielosowych) nazywane są estymatorami.
Estymatory parametrów modelu są zmiennymi losowymi i oczekuje się, aby miały określone
własności, na przykład, aby były nieobcią\
one, zgodne, efektywne. Wartości estymatorów nazywamy
ocenami parametrów.
Kolejnym etapem budowy modelu jest jego weryfikacja. Konieczność weryfikacji modelu wynika
przede wszystkim z pewnej niejednoznaczności procedur poprzednich etapów. W ka\
dym z nich
począwszy od ustalenia zakresu przedmiotowego badań, na estymacji kończąc, podejmowane są
decyzję w warunkach niepewności i ryzyka. Przede wszystkim proces transformacji kategorii
5
szeroki wykaz funkcji jednej zmiennej, metody ich estymacji, charakterystykę ich zastosowań w ekonomii
zawiera praca T. Stanisza  Funkcje jednej zmiennej w badaniach ekonomicznych, PWN Warszawa 1986
dr Dua
an Bogdanov 6
Ekonometria 1
ekonomicznych w zmienne ilościowe jako mało sformalizowany, jest tam miejsce na wiele
subiektywnych decyzji budujÄ…cego model, ograniczone sÄ… mo\
liwości doboru postaci analitycznej
modelu, ponadto przyjmuje się a priori zało\
enia o rozkładzie składnika losowego. W trakcie
weryfikacji sprawdza się przede wszystkim stopień zgodności modelu z danymi empirycznymi, jakość
ocen parametrów strukturalnych modelu, własności składnika losowego modelu. Je\
eli model nie
przejdzie weryfikacji nale\
y go poprawić. Zwykle poprawia się model w kolejnych iteracjach.
Model, który pomyślnie przeszedł weryfikację mo\
e stanowić opis mechanizmu kształtowania się
badanego zjawiska. Dobry model mo\
e być wykorzystany w prognozowaniu zjawisk ekonomicznych
czy symulacji efektów decyzji gospodarczych.
dr Dua
an Bogdanov 7
Ekonometria 1
Pytania kontrolne:
1. Sklasyfikuj modele i zmienne w nich występujące:
a. Dt = a1Pt + a2Yt + a3Dt-1 + µt
a1Yt
b. Dt = (a1 a2 > 0)
Yt + a2
2. Zbadaj przebieg zmienności funkcji modelu:
a1Yt
Dt = (a1 a2 > 0)
Yt + a2
gdzie:
Dt - wielkość popytu w okresie t
Yt - wielkość dochodu konsumenta w okresie t
Jakiemu twierdzeniu ekonomii odpowiada opisana modelem relacja?
3. W jakich modelach zbiór zmiennych z góry ustalonych pokrywa się ze zbiorem zmiennych
egzogenicznych?
4. Scharakteryzuj poszczególne etapy modelowania ekonometrycznego.
dr Dua
an Bogdanov 8
Ekonometria 1