Zadanie 1. Wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji:
a) f (x)= 2x - 3 , e) f (x)= 1+ log2 x ,
b) f (x)= 3 - 2 cos 2x ,
f) f (x)= x3 - 4x2 + x ,
x - 5
2x +1
c) f (x)= ,
g) f (x)= .
x2 - 4x - 5
3x - 2
d) f (x)= x2 - 4 ,
Zadanie 2. Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
1 1
-
2 2
a) f (x)= (x2 - 3x + 2) +(3 - 2x - x2) , f) f (x) = arcsin(x - 3)+ 16 - x2 ,
1
ëÅ‚ - 3x + 2
öÅ‚
x2
b) f (x)= 2(2 x-3)(x+1) - ,
2
ìÅ‚ ÷Å‚
g) f (x)= arccosìÅ‚ ,
÷Å‚
x2 + 3x + 2
íÅ‚ Å‚Å‚
c) f (x)= log (x2 + 2x + 3),
(x2 -3)
h) f (x)= arcsin(ln(x - 3)),
d) f (x)= log[1- log(x2 - 5x + 6)] ,
i) f (x) = log(x +1)+ arctg 2x .
3x -1
e) f (x)= logëÅ‚ öÅ‚ ,
ìÅ‚ ÷Å‚
2x +1Å‚Å‚
íÅ‚
Zadanie 3. Które z podanych funkcji są parzyste, a które nieparzyste?
a) f (x) = x3 + 5, e) f (x)= 3x2 sin x ,
b) f (x)= x4 + 2x2 + 2 , f) f (x)= 2x + 2- x + x2 cos x ,
1
g) f (x)=(x + x2 +1),
c) f (x)= 2x ,
x
h) f (x)= log(x + 1+ x2).
d) f (x) = 2cos2 x + 3 ,
Zadanie 4. Które funkcje są rosnące, a które malejące?
1
c) f (x)= 2 sin(2x)+1,
a) f (x) = 2x2 + x dla x"[- 4,- ],
4
2
1
d) f (x)= 3tg x -1 dla x "[0, Ä„].
b) f (x) = 3x + 2,
2
Zadanie 5. Dane sÄ… funkcje:
a) f (x) = x2 , g(x)= 1- 2x , h(x) = sin x ,
b) f (x) = -(x2 - 2x + 6), g(x)= log x , h(x)= 2x+1.
Wyznaczyć następujące funkcje złożone (o ile istnieją): f f , g h , f f f , g h f ,
g g f .
Zadanie 6. Rozłożyć na funkcje składowe:
a) f (x) = sin x , b) f (x) = log(tgx),
c) f (x) = cos2 x +1 .
Zadanie 7. Które funkcje są różnowartościowe?
a) f (x) = x2 ,
g) f (x) = x2 - 6 ,
b) f (x) = x2 + 3x - 4 ,
1- 2x
h) f (x) = f,
c) f (x) = 3x - 5 ,
x - 3
d) f (x) = x3 + 3, i) f (x) = 2x+3 ,
e) f (x) = sin x , j) f (x) = log3(x + 5x),
f) f (x) = cos(x -1)+ 2 ,
k) f (x) = log(x2 +1).
Zadanie 8. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f :
d) f (x)= 3x - 4 ,
a) f (x)= ex ,
x + 2
b) f (x)= 3x+1 ,
e) f (x)= .
1- x
c) f (x)= log2(2x - 3),
Zadanie 9. Nie korzystając z reguły de l Hospitala obliczyć granice funkcji:
1+ x - 1- x x6 -1 x2 + x - x2 - 3x +1 sin 5x tg10x 1- cos x x2 + 3x
lim , lim , lim , lim , lim , lim , lim ,
3
x0 3x x1 x0 3x sin3x x0 x2
x0
1 - x2 x" 3 x - x - 3 x2 x2 - 4
2 öÅ‚
lnëÅ‚1+
1 ìÅ‚ ÷Å‚
x2+3
3x + 2 2x - x2 1
ëÅ‚ öÅ‚ x ëÅ‚ öÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
x-3
lim e , lim , lim , lim , lim sin(x3
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ - 2005).
x3 x" x2 - 2 x x"
x"
4 + 3x x
x2 + 2x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 10. Zbadać ciągłość funkcji
Å„Å‚cos Ä„ x d" 1
Å„Å‚x2 0 d" x d" 1 Å„Å‚
, , x
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ xarc tg x, x `" 0
2
a) f ( x ) = b) f (x) = c) f (x) =
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚ 0, x = 0
ôÅ‚ - x2 , 1 < x d" 2 x
ôÅ‚ -1, x > 1
ół
ół2
ół
Å„Å‚3x -1
Å„Å‚2 ln(1+ x) x > 0
, x > 0
,
ôÅ‚ ôÅ‚
bx
x
d) f (x) = e) f (x) = .
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚2x + a, x d" 0
ółbx + a, x d" 0
ół
Zadanie 11. Naszkicować wykres funkcji spełniającej warunki:
a) lim f (x) = 0 , lim f (x) = 3 , f  parzysta,
x-"
x0+
b) lim g(x) nie istnieje, lim g(x) = -" , g  nieparzysta,
x" x1
c) lim h(x) = " , lim f (x) = 0 , h  parzysta,
x1 x0
d) lim f (x) = 3 , lim f (x) = -" , lim f (x) = +" , lim f (x) = 0 , lim f (x) = -" , lim f (x) = -"
x-" x-2- x-2+ x3- x3+ x-"
Zadanie 12. Napisać równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f (x)= ln x w punkcie o odciętej x0 = 1 .
Zadanie 13. Na paraboli y = x2 wzięto dwa punkty o odciętych x1 = 1, x2 = 3 . Poprowadzono przez te punkty prostą
(siecznÄ…).
Podać punkt, w którym styczna do paraboli będzie równoległa do siecznej.
Zadanie 14. Znalez
ć kąt pod jakim przecinają się parabole y = (x - 2)2 , y = -x2 + 4x + 4 .
Zadanie 15. Za pomocą reguły de l Hospitala obliczyć granice funkcji:
x2 x x
x-arc tg x
e -1 a -b 1- x ln x 1 1
a) lim , b) lim , c) lim , d) lim(Ä„ - 2arc tg x)ln x , e) lim , f) lim , g) lim( - ),
2 2
cos x-1 ln x ln sin x
x3 x sin x
x0 x0 x0 x 1- x2 x1 x0 x0
x"
1
x-tg x
1 1
x2
h) lim , i) lim[x - x2 ln(1+ )] , j) lim xsin x , k) lim(ctg x - ), l) lim x2e , Å‚) lim(tg x)2x-Ä„ .
x x
x2 tg x
x0 x0 x0 x0 xĄ
2
x"
1
Zadanie 16. Napisać wzór Taylora f (x) = dla x0 = 0 i n = 4 .
1- x
Zadanie 17. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia: e2,97, ln(0,96), arc tg(0,99).
Zadanie 18. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji oraz naszkicować wykres:
1
1
-
sin x 1 2 x2
x-2 x2
f (x)= 6x + , f (x)= xe , f (x) = , f (x)= x + - 3, f (x) = , f (x) = e , f (x)= x - 2arc tg x,
x x
(x-3)2
x2 -2
x2 +3x-2
f (x) = xarc tg x, f (x) = .
x2 -4
Zadanie 19. Zbadać monotoniczność i znalez
ć ekstrema funkcji:
x2
x3
x-3
f (x) = e , f (x) = x - ln(1+ x), f (x)= x - ex, f (x) = , f (x)= x2e-2x, f (x)= x3 + 2x2 - 8,
x -1
f (x)= 1+ arc tg(x -1),
(x +2)2
x
f (x) = , f (x)= x3 -10x2 + 24x, f (x) = , f (x)= 3 - 23 x2 .
ln x
(x+1)3
Zadanie 20. Znalez
ć punkty przegięcia i przedziały wypukłości następujących funkcji:
1 sin 2x
f (x)= x3 - 6x2 - 36x + 30, f (x) = x2 + , f (x)= xarc tg x, f (x) = 2sin x + , f (x) = x2 ln x, f (x) = x2e-x,
x 2
1 1
f (x)= arc tg , f (x)= x3 ln x +1, f (x)= ln x - .
x ln x
Zadanie 21 . Zbadać przebieg zmienności funkcji i narysować wykres:
2 1
x2 (x-1)
cos x ln x
3 x
f (x)= , f (x)= (x - 2) x , f (x)= , f (x)= x e-x , f (x) = , f (x)= xarc tg x, f (x)= (2 + x)e ,
cos 2x
(x+1)2 x
4
x 1- x ln x 2x x
f (x) = , f (x)= lnëÅ‚ x + x2 +1öÅ‚, f (x)= arc cos , f (x) = , f (x)= arc tg , f (x) = ,
ìÅ‚ ÷Å‚
1-2x x
x2 +1 1+ x2 2- x3
íÅ‚ Å‚Å‚
1 5
f (x)= xe-x, f (x) = , f (x)= x + .
ln x x-5
Zadanie 22. Znalez
ć największą i najmniejszą wartość funkcji:
1- x
a) f (x)= arc tg dla x " 0,1 ,
1+ x
b) f (x)= x + 2 x dla x " 0,4 .
Zadanie 23. Na danej kuli opisać stożek o najmniejszej objętości.
Zadanie 24. Jaki wycinek należy usunąć z koła o promieniu R , aby z pozostałej części można było utworzyć lejek o
największej pojemności?
Zadanie 25. Na cokole o wysokości h ustawiono statuę o wysokości a . W jakiej odległości od podstawy cokołu, kąt
widzenia statuy będzie największy?