1 2 3 4 5
ZAD.1 Udowodnij, że permutacja
nie daje sie przedstawić w postaci
2 3 4 1 5
,
n
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
o
σ1 ◦ σ2 ◦ . . . ◦ σk, gdzie σi ∈
,
2 3 1 4 5
1 2 4 5 3
ZAD.2 Rozstrzygnij, czy istnieja takie liczby zespolone z
,
1, z2, z3, z4, z5, z6, źe zbiór
{z1, z2, z3, z4, z5, z6} z mnożeniem liczb zespolonych jako dzia laniem jest izomorficzny z grupa, S3.
ZAD.3 W grupie G dla dowolnych a i b zachodzi równość ab = b3a3. Udowodnij, że grupa G jest abelowa.
ZAD.4 W grupie G dla dowolnych a i b zachodzi równość (ab)−1 = a−1b−1. Udowodnij, że grupa G jest abelowa.
ZAD.5 Rozważmy przekszta lcenia α, β : R \ {0} → R \ {0} zadane wzorami α(x) = −x i β(x) = 1 . Rozważmy podgrupe V grupy bijekcji zbioru a przez α i β. Grupe
x
,
R \ {0} generowan ,
,
te nazywamy czwórkowa grupa Kleina.
,
,
,
• Udowodnij, że |V | = 4 i że każdy element g ∈ V spe lnia równanie g2 = e.
• Udowodnij, że wszystkie grupy rzedu 4, w których każdy element spe lnia równanie g2 = e
,
sa izomorficzne z V
,
• Pokaż, że V jest izomorficzna z
∗
∗
Z2 × Z2, z Z , z
i z grupa izometrii prostokata
8
Z12
,
,
niebedacego kwadratem.
,
,
ZAD.6 Udowodnij, że żadne dwie z grup
∗
∗
∗
∗
Z , Q , R , C nie sa izomorficzne.
,
ZAD.7 Niech α bedzie automorfizmem grupy G takim, że α2 = id i α(x) 6= x dla dowolnego
,
x 6= e. Udowodnij, że α(x) = x−1 dla każdego x ∈ G i że G jest abelowa.
ZAD.8 Niech G bedzie grupa skończona i niech α bedzie automorfizmem grupy G, którego
,
,
,
,
jedymym elementem sta lym jest e. Udowodnij, że każdy element grupy G można zapisać w postaci g−1α(g)
ZAD.9 Udowodnij, że żaden skończony pozdzbiór nie generuje grupy (Q, +). Znajdź jakiś zbiór generujacy
,
Q.
ZAD.10 Niech A, B ≤ G. Niech AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B}. Udowodnij, że AB ≤ G wtedy i tylko wtedy gdy AB = BA.
ZAD.11 Niech A, B, H ≤ G beda takie, że H ⊂ AB.
Udowodnij, że wówczas H ⊂
,
,
AB ∩ BA. Znajdź warunki konieczny i dostateczny na to, aby AB ∩ BA by lo podgrupa G.
,
1
ZAD.12 Wykaż, że dla n ≥ 3 grupa
∗
Z
e
2n nie jest cykliczna (wskazówka: rozważ podgrup , generowana przez elementy 2n − 1 i 2n−1 + 1).
,
ZAD.13 Udowodnij, że grupa cykliczna nie jest suma mnogościowa swoich podgrup w laściwych.
,
,
Podaj przyk lad grupy abelowej,ktora jest suma trzech swoich w laściwych podgrup.
,
,
ZAD.14 Udowodnij, że grupa automorfizmów grupy cyklicznej jest abelowa.
ZAD.15 Niech |G| = 2p, gdzie p jest nieparzysta liczba pierwsza, to G zawiera dok ladnie
,
,
,
jedna podgrupe rzedu p.
,
,
,
ZAD.16 Nie G bedzie nieabelowa grupa rzedu 2p, gdzie p jest nieparzysta liczba pierwsza,
,
,
,
,
,
,
,
to G zawiera dok ladnie p elementów rzedu 2.
,
ZAD.17 Niech k dzieli |G|. Udowodnij, że jeśli G zawiera dok ladnie jedna podgrupe rzedu
,
,
,
k, to jest to podgrupa normalna.
ZAD.18 Niech A, B / G. Udowodnij, że jeśli A ∩ B = {e}, to ab = ba dla dowolnych a ∈ A i b ∈ B.
ZAD.19 Udowodnij, że jeśli H ≤ C∗ jest podgrupa skończonego indeksu, to H = C∗.
,
ZAD.20 Jeżeli A ≤ G i H / G, to AH ≤ G, A ∩ H / A i A/(A ∩ H) ' (AH)/H.
ZAD.21 Udowodnij, że jeśli G ma podgrupe normalna indeksu 4, to ma także podgrupe
,
,
,
normalna indeksu 2.
,
ZAD.22 Udowodnij, że Aut((Zp)n) ' GL(n, Zp). (wskazówka: rozważ naturalna strukture
,
,
przestrzeni liniowej na (Zp)n)
ZAD.23 Udowodnij, że Z nie rozk lada sie na produkt swoich skończonych podgrup.
,
ZAD.24 Niech D = {(g, g) ∈ G × G : g ∈ G} bedzie przekatna produktu G × G. Znajdź
,
,
,
warunek konieczny i dostateczny na to, aby D / G × G.
ZAD.25 Udowodnij, że jeśli H ≤ Z(G) i G/H jest cykliczna, to G jest abelowa.
ZAD.26 Pokaż, że każda grupa rzedu p2 jest abelowa.
,
ZAD.27* Niech |G| = pn, gdzie p jest liczba pierwsza. Udowodnij, że dla dowolnego k ≤ n
,
,
istnieje w G podgrupa rzedu pk.
,
,
2