ZESTAW 12. Pochodne cząstkowe (cd.) i ekstrema funkcji wielu zmiennych Zadanie 12.1. Wyznaczyć wszystkie pochodne cząstkowe rzędu drugiego podanych funkcji:
2
3
3
2 x −3 y
a) f ( x, y) = 3 x y + 5 xy b) f ( x, y) = 3 y sin x c) f ( x, y) = e 3 x
3 x 2 y + 5 xy 3
2 y + xy
1
d) f ( x, y) =
e) f ( x, y) =
f) f ( x, y) =
+
2
2
x + y
xy − x
x 2
x − y
2
2
3
g) f ( x, y) = ln(2 x − 3 y) h) f ( x, y) =
3 x y + 5 y i) f ( x, y) = ln( x + x − y ) 2
3
2
3
j) f ( x, y, z) = 3 x z + 5 xy z k) f ( x, y, z) = 3 x ln( z + ) 2 + 5 xy z
Zadanie 12.2. Znaleźć gradienty podanych funkcji we wskazanych punktach: 2
3
2
2
a) f ( x, y) = x y − x sin y , P
f ( x, y) =
x − y ,
0 =(−2,0)
b)
P 0 =(−5,3)
y
2
y
c) f ( x, y) =
+ y x
f ( x, y) = x y +
x
, P 0 =(1,1) d)
x , P 0 =(−2,1)
2
3
e) f ( x, y) = 3 x y + 5 xy
=
P
f ( x, y)
arctg
0 =(2,−3)
f)
xy P 0 =(−1,2)
2
3
g) f ( x, y, z) = xyz + 3 y z P 0 =(2,−1,3) 3 x + y
h) f ( x, y, z) = y ln 1
( − z) + z e
− 2 xz P 0 =(1,1,−2)
Zadanie 12.3. Obliczyć pochodne kierunkowe funkcji we wskazanych punktach i kierunkach
a)
2
2
f ( x, y) = x + y , P = (− , 3 )
4 u
[12
=
, 5 ]
0
13
13
b) f ( x, y) = cos x sin y , P = (π 0
, ) u = [ 3 , 1
− ]
0
2
2
c) f ( x, y) = arctg xy , P =
)
1
,
1
(
u =
]
1
,
1
[
0
z − x
d) f ( x, y, z) =
P =
,
0
,
1
(
− )
3 u = [ 6
− , 3 , 2
− ]
z + y
0
7
7
7
e)
xyz
f ( x, y, z) = e P = (− ,
1
,
1 − )
1 u = [1 , 3
− , 3]
0
2
4
4
Zadanie 12.4. Wyznaczyć ekstrema funkcji: a)
2
2
3
1
f ( x, y) = 4 x y + 8 x − y 3
2
3
f ( x, y) = 3 x + 3 x y − 15 x − y 3
b)
3
3
4
4
2
2
c) f ( x, y) = x + y − 3 xy d) f ( x, y) = x + y − 2 x + 4 xy − 2 y 2
2
2
y
e) f ( x, y) = 2 − 3 x + y f) f ( x, y) = ( x + y) e 2
x
x − y
2
2
g) f ( x, y) = (2 x + y ) e h) f ( x, y) = e ( x − 2 y )
2
2
2
i) f ( x, y) = ln(2 x + y) − 2 x − y j) f ( x, y) =
+ ln( x − y )
x
Zadanie 12.5. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanych y = y( x) określonych równaniami:
a) 2
2
x + y − 2 x − 2 y + 1 = 0 b) e xy − xy + 2 y − 3 = 0
c) 2
x − 2 xy − 3 2
y − 2 x − 6 y + 1 = 0 d) 3
3
x + y + 3 xy = 0
e) x 4 + y 2 = 4 xy f) 2
2
x + y + ( x + y)2 = 6
g) 4
2
2
x − x − y − y = 0 h) 4
x − 2 2
2
2
x y − x + y + y = 0