Przykład 10.4. Obliczenie obci ˛

ażenia granicznego w przypadku skręcania Obliczyć obciążenie graniczne dla poniższego pręta poddanego skręcaniu. Pręt wykonany został

z jednego materiału.

I

II

III

2M

m=M/(2l)

M

I

II

III

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

I-I

II-II

III-III

a

2a

4

3

4a

4a

4a

Rozwi ˛

azanie

Przedstawione zadanie zostanie rozwiązane za pomocą podejścia kinematycznego, tak więc rozpatrzone zostaną wszystkie kinematycznie dopuszczalne schematy zniszczenia, przyjęte kierunki przemieszcze ń (skręcenia pręta) będą takie, by praca obciąże ń zewnętrznych była dodat-nia, zaś kierunki sił przekrojowych w uplastycznionych przekrojach (momentów skręcających) będą przeciwne założonym kierunkom przemieszcze ń. Obciążenia niszczące odpowiadające tym schematom wyliczone zostaną z równa ń pracy wirtualnej. Najmniejsze z tak obliczonych obciążeń niszczących będzie obciążeniem granicznym.

Rozpatrywany układ jest 1-krotnie statycznie niewyznaczalny, co oznacza, że układ przekształci się w mechanizm, gdy pojawią się w nim dwa przeguby plastyczne. Oznacza to, że należy roz-patrzyć trzynaście przedstawionych poniżej schematów zniszczenia (szarą linią obwiedziono te odcinki pręta, które doznają obrotu o kąt φ).

I

I

I

I

2M

I

I

II

II

M

2M

pl

Mpl

Mpl Mpl

Mpl Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

m=M/(2l)

M

M

l

l⁄

l

l

l

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

l

l⁄2

⁄2

⁄2

⁄2

1

I

I

II

II

2M

I

I

III

III

M

2M

pl

Mpl

Mpl Mpl

Mpl Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

m=M/(2l)

M

M

l

l⁄

l

l

l

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

l

l⁄2

⁄2

⁄2

⁄2

I

I

2M

III

I

I

II

II

M

2M

pl

Mpl

Mpl

Mpl Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

III

m=M/(2l)

M

Mpl

M

l

l⁄

l

l

l

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

l

l⁄2

⁄2

⁄2

⁄2

I

I

III

III

2M

I

I

III

M

2M

pl

Mpl

Mpl Mpl

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

m=M/(2l)

III

M

M

Mpl

l

l⁄2

l⁄2

l⁄2

l⁄2

l

l⁄2

l⁄2

l⁄2

l⁄2

II

II

II

II

2M

II

II

III

III

M

2M

pl

Mpl Mpl Mpl

Mpl Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

m=M/(2l)

M

M

l

l⁄2

l⁄2

l⁄2

l⁄2

l

l⁄2

l⁄2

l⁄2

l⁄2

II

II

2M

III

II

II

III

M

2M

pl

Mpl

Mpl

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

m=M/(2l)

III

M

Mpl

M

Mpl

l

l⁄

l

l

l

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

l

l⁄2

⁄2

⁄2

⁄2

III

III

2M

III

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

M

Mpl

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

Występujące na powyższych rysunkach momenty M i , gdzie i = I, II, III oznaczają momenty pl

skręcające powodujące pełne uplastycznienie przekrojów odpowiednio I, II i III.

M i = W i τ

pl

pl pl

gdzie i oznacza numer przekroju, zaś W i wskaźnik plastyczności przy skręcaniu i-tego prze-pl

kroju.

Wskaźniki plastyczności przy skręcaniu mają zaś następujące wartości: 2

14

W I =

π (2a)3

πa3

pl

3

− a3 = 3



√

!3 

2

3 4

W II =

π (2a)3

a

= 5πa3

pl

−

3 

2



2

16

W III =

π

πa3

pl

3 · (2a)3 = 3

2

Tak więc

14

M I =

πa3τ

pl

3

pl

M II = 5πa3τ

pl

pl

16

M III =

πa3τ

pl

3

pl

Obecnie zostaną kolejno rozpatrzone schematy zniszczenia.

Schemat I

I

I

I

I

2M

Mpl Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

M

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M

m · l − MI

= 0

=

l = 2M I

=

pl − M I

pl

⇒

2

⇒

l

pl

14

=⇒

M = 4M I

=

πa3τ

pl

⇒

M = 4 · 3

pl

=⇒

56

=⇒

M =

πa3τ

3

pl ≈ 18,667πa3τpl ≈ 58,643a3τpl

Schemat II

I

I

II

II

2M

Mpl Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

M

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M

m · l − MI

= 0

=

l = M I + M II

=

pl − M II

pl

⇒

2

⇒

l

pl

pl

=

⇒

M = 2 M I + M II

=

pl

pl

⇒

14

=⇒

M = 2

πa3τ

=⇒

3

pl + 5πa3τpl

58

=⇒

M =

πa3τ

3

pl ≈ 19,333πa3τpl ≈ 60,737a3τpl

3

W tym miejscu warto podkreślić, że jest łatwo zauważyć, że odpowiadające schematowi II obciążenie M jest większe od obciążenia M odpowiadającego schematowi I. Wynika to z faktu, że jedyna różnica pomiędzy schematami I i II dotyczy miejsca powstania drugiego przegubu plastycznego – w przypadku schematu II przegub ten powstaje w przekroju pręta, któremu odpowiada większy moment plastyczny niż w przypadku schematu I (M II = 5πa3τ

=

pl

pl > M I

pl

14 πa3τ

3

pl).

Schemat III

I

I

II

II

2M

Mpl Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

M

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M

m · l + M − MI

= 0

=

l + M = M I + M II

=

pl − M II

pl

⇒

2

⇒

l

pl

pl

2

=

⇒

M =

M I + M II

=

3

pl

pl

⇒

2 14

=⇒

M =

πa3τ

=

3

3

pl + 5πa3τpl

⇒

58

=⇒

M =

πa3τ

9

pl ≈ 6,444πa3τpl ≈ 20,246a3τpl

Schemat IV

I

I

III

III

2M

Mpl Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

M

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

Analogicznie jak w przypadku schematu II warto podkreślić, że jest łatwo zauważyć, że odpowiadające schematowi IV obciążenie M jest większe od obciążenia M odpowiadającego schematowi III. Wynika to z faktu, że jedyna różnica pomiędzy schematami III i IV dotyczy miejsca powstania drugiego przegubu plastycznego – w przypadku schematu IV przegub ten powstaje w przekroju pręta, któremu odpowiada większy moment plastyczny niż w przypadku schematu III (M III = 16 πa3τ

= 5πa3τ

pl

3

pl > M II

pl

pl). Dowodzą tego przedstawione na następnej stronie obliczenia.

4

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M

m · l + M − MI

= 0

=

l + M = M I + M III

=

pl − M III

pl

⇒

2

⇒

l

pl

pl

2

=

⇒

M =

M I + M III

=⇒

3

pl

pl

2 14

16

=⇒

M =

πa3τ

πa3τ

=⇒

3

3

pl + 3

pl

20

=⇒

M =

πa3τ

3

pl ≈ 6,667πa3τpl ≈ 20,944a3τpl

Schemat V

I

I

2M

III

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

M

Mpl

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy

− m · l − M + 2M − M I

= 0

=

pl − M III

pl

⇒

M

1

=⇒

−

l + M = M I + M III

=

M = M I + M III

=

2

⇒

⇒

l

pl

pl

2

pl

pl

=

⇒

M = 2 M I + M III

=

pl

pl

⇒

14

16

=⇒

M = 2

πa3τ

πa3τ

=

3

pl + 3

pl

⇒

=⇒

M = 20πa3τpl ≈ 62,832a3τpl

Schemat VI

I

I

II

II

2M

Mpl Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

M

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

5

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M − MI

= 0

=

+ M II

=

pl − M II

pl

⇒

M = M Ipl

pl

⇒

14

=⇒

M =

πa3τ

3

pl + 5πa3τpl

=⇒

29

=⇒

M =

πa3τ

3

pl ≈ 9,667πa3τpl ≈ 30,369a3τpl

Schemat VII

I

I

III

III

2M

Mpl Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

M

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

Analogicznie jak w przypadku schematów II i IV warto podkreślić, że jest łatwo zauważyć, że odpowiadające schematowi VII obciążenie M jest większe od obciążenia M odpowiadającego schematowi VI. Wynika to z faktu, że jedyna różnica pomiędzy schematami VI i VII dotyczy miejsca powstania drugiego przegubu plastycznego – w przypadku schematu VII przegub ten powstaje w przekroju pręta, któremu odpowiada większy moment plastyczny niż w przypadku schematu VI (M III = 16 πa3τ

= 5πa3τ

pl

3

pl > M II

pl

pl). Dowodzą tego poniższe obliczenia.

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M − MI

= 0

=

+ M III

=

pl − M III

pl

⇒

M = M Ipl

pl

⇒

14

16

=⇒

M =

πa3τ

πa3τ

3

pl + 3

pl

=⇒

=⇒

M = 10πa3τpl ≈ 31,416a3τpl

Schemat VIII

I

I

2M

III

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

M

Mpl

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy

− M + 2M − M I

= 0

=

+ M III

=

pl − M III

pl

⇒

M = M Ipl

pl

⇒

14

16

=⇒

M =

πa3τ

πa3τ

3

pl + 3

pl

=⇒

=⇒

M = 10πa3τpl ≈ 31,416a3τpl

6

Schemat IX

II

II

II

II

2M

Mpl Mpl Mpl Mpl

m=M/(2l)

M

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M − MII

= 0

=

=

pl − M II

pl

⇒

M = 2M II

pl

⇒

=⇒

M = 2 · 5πa3τpl

=⇒

M = 10πa3τpl ≈ 31,416a3τpl

Schemat X

II

II

III

III

2M

Mpl Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

M

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

Analogicznie jak w przypadku schematów II, IV i VII warto podkreślić, że jest łatwo zauważyć, że odpowiadające schematowi X obciążenie M jest większe od obciążenia M odpowiadającego schematowi IX. Wynika to z faktu, że jedyna różnica pomiędzy schematami IX i X dotyczy miejsca powstania drugiego przegubu plastycznego – w przypadku schematu X przegub ten powstaje w przekroju pręta, któremu odpowiada większy moment plastyczny niż w przypadku schematu IX (M III = 16 πa3τ

= 5πa3τ

pl

3

pl > M II

pl

pl). Dowodzą tego poniższe obliczenia.

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M − MII

= 0

=

+ M III

=

pl − M III

pl

⇒

M = M II

pl

pl

⇒

16

=⇒

M = 5πa3τpl +

πa3τ

3

pl

=⇒

31

=⇒

M =

πa3τ

3

pl ≈ 10,333πa3τpl ≈ 32,463a3τpl

7

Schemat XI

II

II

2M

III

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

M

Mpl

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy

− M + 2M − M II

= 0

=

+ M III

=

pl − M III

pl

⇒

M = M II

pl

pl

⇒

16

=⇒

M = 5πa3τpl +

πa3τ

3

pl

=⇒

31

=⇒

M =

πa3τ

3

pl ≈ 10,333πa3τpl ≈ 32,463a3τpl

Schemat XII

II

II

2M

III

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

M

Mpl

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy 1

2M

− M II

= 0

=

M II + M III

=

pl − M III

pl

⇒

M = 2

pl

pl

⇒

1

16

=⇒

M =

5πa3τ

πa3τ

=

2

pl + 3

pl

⇒

31

=⇒

M =

πa3τ

6

pl ≈ 5,167πa3τpl ≈ 16,232a3τpl

Schemat XIII

III

III

2M

III

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

M

Mpl

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

8

Analogicznie jak w przypadku schematów II, IV, VII i X warto podkreślić, że jest łatwo zauważyć, że odpowiadające schematowi XIII obciążenie M jest większe od obciążenia M odpowiadającego schematowi XII. Wynika to z faktu, że jedyna różnica pomiędzy schematami XII i XIII dotyczy miejsca powstania pierwszego przegubu plastycznego – w przypadku schematu XIII przegub ten powstaje w przekroju pręta, któremu odpowiada większy moment plastyczny niż w przypadku schematu XII (M III = 16 πa3τ

= 5πa3τ

pl

3

pl > M II

pl

pl). Dowodzą tego poniższe

obliczenia.

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy 1

2M − MIII

= 0

=

=

pl

− M III

pl

⇒

M = 2 · 2MIII

pl

⇒

16

=⇒

M = M III

=

πa3τ

pl

⇒

M = 3

pl ≈ 5,333πa3τpl ≈ 16,755a3τpl

Ponieważ zostały rozpatrzone wszystkie schematy zniszczenia można obecnie określić graniczną wartość momentu skręcającego. Wartość ta jest równa najmniejszej spośród obliczonych wartości M .

56

58

58

20

29

Mgr = min

πa3τ

πa3τ

πa3τ

πa3τ

πa3τ

3

pl;

3

pl;

9

pl;

3

pl; 20πa3τpl;

3

pl;

31

31

31

10πa3τpl; 10πa3τpl; 10πa3τpl;

πa3τ

πa3τ

πa3τ

3

pl; 3

pl; 6

pl;

16

31

πa3τ

=

πa3τ

3

pl

6

pl ≈ 5,167πa3τpl ≈ 16,232a3τpl

Obliczona powyżej wartość momentu skręcającego odpowiada schematowi XII. Oznacza to, według tego schematu konstrukcja przekształca się w mechanizm.

Należy pamiętać, że do obliczenia granicznej wartości momentu plastycznego nie jest konie-czne sprawdzanie wszystkich kinematycznie dopuszczalnych schematów zniszczenia. Schematem, zgodnie z którym następuje bowiem zniszczenie konstrukcji, jest ten schemat, dla którego spełnione są warunki kinematyczne, równania równowagi i warunki plastyczności. Odpowiadające temu schematowi obciążenie jest obciążeniem granicznym. W praktyce oznacza to, że aby rozwiązać powyższe zadanie wystarczyło obliczyć odpowiadający schematowi XII moment M , a następnie dokonać zamieszczonego poniżej sprawdzenia. Oczywiście odgadnię-

cie według jakiego schematu następuje zniszczenie konstrukcji nie jest, w ogólnym przypadku, rzeczą prostą.

II

II

2M

III

M

M

gr

pl

pl

Mpl

MA

M

III

M

gr /(2l)

B

M

Mpl

gr

l

l⁄

l

l

l

2

⁄2

⁄2

⁄2

W celu obliczenia reakcji wykorzystamy warunek zerowania się sumy momentów skręcających 9

na odcinkach pomiędzy kra ńcami prętów, a przegubami plastycznymi.

M

3

M

gr

A −

= 0

=

M

=

2

· l − M

⇒

M

⇒

l

gr + M II

pl

A = 2 gr − MII

pl

3 31

=⇒

MA =

·

πa3τ

2

6

pl − 5πa3τpl

=⇒

31

11

=⇒

MA =

− 5 πa3τ

πa3τ

4

pl

=⇒

MA = 4

pl ≈ 2,75πa3τpl

M III

=

pl

− MB = 0

=⇒

MB = M III

pl

⇒

16

=⇒

MB =

πa3τ

3

pl ≈ 5,333πa3τpl

Tak więc wykres momentu skręcającego ma postać: 16⁄3

11⁄4

(+)

(+)

1⁄6

M

(-)

s

. π a3τ pl

5

Ponieważ maksymalny moment skręcający na długości pręta o przekroju I jest mniejszy od wartości dopuszczalnej

11 πa3τ

spełnione są warunki plastyczności, zaś uzyskane 4

pl < M I

pl

rozwiązanie jest zupełne – rozpatrywany schemat jest schematem, według którego następuje zniszczenia konstrukcji, a odpowiadające mu moment M jest momentem granicznym.

10