2. I ŚĆ Ą Ń.

Zajmiemy si ę teraz problemem istnienia rozwiązania tzw. zagadnienia początkowego Cauchy’ego, które zdefiniujemy poniżej. Rozważmy równanie

x′ = f (t, x) ,

(2.1)

gdzie x (t) ∈ Rm, f : D → Rm gdzie D ⊂ R × Rm jest zbiorem otwartym i spójnym zaś f ∈ C (D) tzn. f jest ciągła na D. Jeżeli do równania (2.1) dołożymy warunek x (t0) = x0

(czyli warunek początkowy), gdzie (t0, x0) ∈ D jest dowolnie ustalonym punktem, to otrzymamy zagadnienie początkowe Cauchy’ego

x′ = f (t, x) , .

(2.2)

x (t0) = x0

Rozwiązaniem (2.2) nazywamy każdą funkcję ϕ b ędącą rozwiązaniem równania (2.1) i taką, że ϕ (t0) = x0.

Uwaga 2.1 Dla równania rz ędu n postaci normalnej (1.4), ze wzgl ędu na (1.5), warunek początkowy przybiera postać

x (t0) = x(1)

0 , x′ (t0) = x(2)

0 , x′′ (t0) = x(3)

0 , . . . , x(n−1) (t0) = x(n)

0 .

2.1. Twierdzenie Peano.

Dla x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ Rm wprowadźmy normę x :

x =

x21 + x22 + . . . + x2 .

m

Można udowodnić, że dla dowolnych x, y ∈ Rm prawdziwa jest tzw. nierówność trójkąta:

|x − y| ≤ x + y ≤ x + y .

oraz, że funkcja ̺ (x, y) = x − y jest metryką w Rm.

Poniższe twierdzenie mówi o istnieniu rozwiązania zagadnienia (2.2).

11

Twierdzenie 2.1 (Peano) Niech f : D → Rm, gdzie D ⊂ R × Rm jest zbiorem otwartym i spójnym, b ędzie funkcją ciągłą na D. Określmy zbiór K = {(t, x) ∈ R × Rm : t ∈ [t0, t0 + a] ∧ x − x0 ≤ b} ⊂ D,

gdzie (t0, x0) ∈ D jest dowolnie ustalonym punktem zbioru, zaś a, b > 0 są takimi liczbami, że K ⊂ D. Wówczas zagadnienie (2.2) ma rozwiązanie określone przedziale [t0, t0 + α]

gdzie α = min a, b

i M = sup f (t, x) .

M

(t,x)∈K

W dowodzie Twierdzenia Peano wykorzytamy Twierszenie Arzeli-Ascoli’ego. Przypomnijmy poniżej jego treść.

Twierdzenie 2.2 (Arzeli-Ascoli’ego) Niech dany b ędzie ciąg funkcyjny {gn}

gdzie

n∈N

gn : [a, b] → RN . Załóżmy, że {gn}

jest ciagiem funkcji wspólnie ograniczonych tzn.

n∈N

istnieje liczba A > 0, że dla dowolnych n ∈ N i t ∈ [a, b] prawdziwea jest nierówność

gn (t) ≤ A.

Załóżmy również, że funkcje gn są jednakowo ciągłe na [a, b] tzn. dla dowolnie ustalonego t0 ∈ [a, b] , dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0, że jeśli t ∈ (t0 − δ, t0 + δ) ⊂ [a, b] , to dla dowolnego n ∈ N prawdziwa jest nierówność gn (t) − gn (t0) < ε. Wówczas, przy powyższych założeniach, istnieje podciąg {gn }

ciągu {g

zbieżny jednostajnie do

k

k∈N

n}n∈N

pewnej funkcji ciągłej g na [a, b] .

Przejdźmy obecnie do dowodu Twierdzenia Peano.

Dowód. Wykorzystamy tutaj pewne łamane (łamane Eulera) przybliżające rowiązanie.

Dla dowolnej liczby k ∈ N niech dana b ędzie liczba nk. Dzielimy przedział [t0, t0 + α] na nk mniejszych przedziałów punktami:

t0 = t(k)

0

< t(k)

1

< t(k)

2

< . . . < t(k) = t

n

0 + α.

k

Konstruujemy łamaną ϕ , b ędącą k−tym przybli

k

żeniem rozwiązania, w nast ępujący sposób:

ϕ (t

k

0) = x0,

ϕ (t) = ϕ

t(k) + f t(k), ϕ

t(k)

t − t(k) , dla t ∈ t(k), t(k) , i = 1, 2, . . . , n

k

k

i

i

k

i

i

i

i+1

k − 1.

B ędziemy dokonywali przejścia granicznego gdy n

k → ∞ tak, że sup t(k)

i+1 − t(k)

i

→ 0.

i

Zauważmy, że {ϕ }

jest ciągiem funkcji ciągłych na przedziale [t

k k∈N

0, t0 + α].

Funkcja

ϕ jest ró

na (t

, i = 1, 2, . . . , n

k

żniczkowalna ϕk

0, t0 + α) z wyjątkiem punktów t(k)

i

k − 1.

Ponadto {ϕ }

jest ciągiem funkcji wspólnie ograniczonych na przedziale [t

k k∈N

0, t0 + α]

bowiem dla dowolnego k ∈ N i dowolnego t ∈ t(k), t(k) , i = 1, 2, . . . , n i

i+1

k − 1 zachodzi

oszacowanie

ϕ (t) =

t(k) + f t(k), ϕ

t(k)

t − t(k)

k

ϕk

i

i

k

i

i

≤

(2.3)

≤

ϕ

t(k)

t(k), ϕ

t(k)

t − t(k) .

k

i

+ f

i

k

i

i

Ponieważ t, ϕ

t(k)

∈ K zatem

t(k) − x

k

i

ϕk

i

0 ≤ b, a stąd z nierówności trójkąta

dla normy otrzymujemy

ϕ

t(k)

k

i

≤ b + x0. Ostatecznie (2.3) przybiera postać

ϕ (t) ≤ b + x

k

0 + M α,

co oznacza wspólną ograniczoność ciągu funkcji {ϕ }

przedziale [t

}

k k∈N

0, t0 + α] . Ciąg {ϕk k∈N

jest ciągiem funkcji jednakowo ciągłych na [t0, t0 + α] . Bowiem dla t1 < t2 takich, że

t1 ∈ t(k), t(k) i t

t(k), t(k)

gdzie i ≤ j, definicji ϕ mamy

i

i+1

2 ∈

j

j+1

k

ϕ (t

t(k) + f t(k), ϕ

t(k)

t

,

k

1) = ϕk

i

i

k

i

1 − t(k)

i

oraz

ϕ (t

t(k) + f t(k), ϕ

t(k)

t

=

k

2) = ϕk

j

j

k

j

2 − t(k)

j

= ϕ

t(k)

+ f t(k) , ϕ

t(k)

t(k) − t(k)

+ f t(k), ϕ

t(k)

t

=

k

j−1

j−1

k

j−1

j

j−1

j

k

j

2 − t(k)

j

j−1

= . . . = ϕ

t(k) +

f t(k), ϕ

t(k)

t(k)

+ f t(k), ϕ

t(k)

t

.

k

i

s

k

s

s+1 − t(k)

s

j

k

j

2 − t(k)

j

s=i

Stąd otrzymujemy

ϕ (t

(t

t(k), ϕ

t(k)

t

+

k

1) − ϕk

2) ≤ f

i

k

i

·

1 − t(k)

i

j−1

+

f t(k), ϕ t(k) · t(k)

+

t(k), ϕ

t(k)

t

≤

s

k

s

s+1 − t(k)

s

f

j

k

j

2 − t(k)

j

s=i

j−1

≤ M

t1 − t(k) +

t(k)

+ t

= M · (t

i

s+1 − t(k)

s

2 − t(k)

j

2 − t1) .

s=i

Zatem dla dowolnych t1, t2 ∈ [t0, t0 + α] zachodzi

ϕ (t

(t

k

1) − ϕk

2) ≤ M · |t2 − t1| ,

co implikuje jednakową ciągłość ciągu funkcji {ϕ }

na [t

k k∈N

0, t0 + α] . Z twierdzenia Arzeli-

Ascoli’ego wynika, że istnieje podciąg

ϕ

ciągu {ϕ }

zbie

k

żny jednostajnie do

j

k k∈N

j∈N

pewnej funkcji ciągłej ϕ na przedziale [t0, t0 + α] . Pokażemy, że ϕ jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (2.2). Ponieważ ϕ (t

k

0) = x0 dla ka żdego k, wi ęc ϕ (t0) = x0.

Pozostaje wykazać, że ϕ jest rowiązaniem równania (2.1) czyli, że dla dowolnego t ∈

[t0, t0 + α] zachodzi równość

ϕ′ (t) = f (t, ϕ (t)) .

(2.4)

Pochodne na końcach przedziału [t0, t0 + α] rozumiemy jako pochodne jednostronne. Równość (2.4) jestrównoważna następującej równości

ϕ (t + h) − ϕ (t)

lim

= f (t, ϕ (t)) .

h→0

h

Pokażemy więc, że dla dowolnego ε > 0 istnieje h0 takie, że jeśli |h| < h0 to dla każdego t ∈ [t0, t0 + α] zachodzi nierówność

ϕ (t + h) − ϕ (t)

− f (t, ϕ (t))

h

< ε.

Ustalmy wi ęc dowolne ε > 0 i liczb ę naturalną kj. Wówczas ϕ (t + h) − ϕ (t)

ϕ (t + h) − ϕ (t + h)

ϕ (t) − ϕ (t)

kj

kj

− f (t, ϕ (t))

h

≤

h

+

h

+

ϕ (t + h) − ϕ (t)

k

k

+

j

j

f t, ϕ (t) − f (t, ϕ (t))

− f t, ϕ (t)

k

+

j

h

kj

.

Ze zbieżności jednostajnej ϕ

→ ϕ na [t

k

0, t0 + α] , przy ustalonej dowolnie liczbie h,

j

dla dostatecznie dużej liczby k

j zachodzi oszacowanie ϕ (s) − ϕ

(s)

k

< ε |h| /4 dla

j

dowolnego s ∈ [t0, t0 + α] . Zatem dla ustalonej dowolnie liczby h, dla dostatecznie dużej liczby kj prawdziwe są oszacowania

ϕ (t + h) − ϕ (t + h)

ε

kj

,

h

< 4

ϕ (t) − ϕ (t)

ε

kj

.

h

< 4

Z jednostajnej ciągłości f na K (jako odwzorowania ciągłego na zbiorze zwartym K) wiemy, że dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0, że jeśli p1, p2 ∈ K oraz p1 − p2 < δ, to f (p1) − f (p2) < ε/4. Ze zbieżności jednostajnej ϕ

→ ϕ na [t

k

0, t0 + α] wnosimy,

j

że jeśli kj jest dostatecznie dużą liczbą, to punkty p1 =

t, ϕ (t)

i p

k

2 = (t, ϕ (t))

j

spełniają p

1 − p2 = ϕ

(t) − ϕ (t)

k

< δ, przy dowolnie ustalonym t ∈ [t0, t0 + α] . A

j

stąd prawdziwe jest oszacowanie

f t, ϕ (t) − f (t, ϕ (t))

k

< ε/4,

j

przy dowolnie ustalonym t ∈ [t0, t0 + α] i dostatecznie dużej liczbie kj. Oszacowanie (2.1) przybiera wi ęc postać

ϕ (t + h) − ϕ (t)

3

ϕ (t + h) − ϕ (t)

kj

kj

− f (t, ϕ (t))

ε +

− f t, ϕ (t)

h

< 4

h

kj

.

Oszacujemy teraz składnik

ϕ (t + h) − ϕ (t)

kj

kj

− f t, ϕ (t)

h

kj

.

Rozważmy przypadek t = t(kj), i = 1, 2, . . . , n − 1. Dla dostatecznie małego h, punkty i

kj

t,t + h należą do tego samego przedziału t(kj), t(kj) dla pewnej liczby i. Wówczas z i

i+1

definicji łamanej ϕ mamy równość

k

ϕ (t + h) − ϕ (t)

kj

kj

= f t(kj), ϕ

t(kj)

,

h

i

kj

i

i wówczas

ϕ (t + h) − ϕ (t)

kj

kj

− f t, ϕ (t)

t(kj), ϕ

t(kj)

− f t, ϕ (t)

h

k

f

.

j

=

i

kj

i

kj

Ponieważ przechodzimy do granicy gdy n

k

→ ∞ gdy k

− t(kj)

j

j → ∞ tak, że sup t(kj)

i+1

i

→

i

0, uwzgl ędniając jednostajną zbieżność ϕ → ϕ na [t

k

0, t0 + α] , wnosimy, że punkty p1 =

j

t(kj), ϕ

t(kj)

i p

t, ϕ (t) , dla dowolnie ustalonego t ∈ [t

i

k

2 =

0, t0 + α] spełniają

j

i

kj

p1 − p2 < δ. Podobnie jak wcześniej, z jednostajnej ciąglości f otrzymujemy wi ęc oszacowanie

ϕ (t + h) − ϕ (t)

ε

kj

kj

− f t, ϕ (t)

t(kj), ϕ

t(kj)

− f t, ϕ (t)

.

h

k

f

<

j

=

i

kj

i

kj

4

Rozważmy teraz przypadek t = t(kj), i = 0, 1, 2, . . . , n . Gdy t = t(kj) i

kj

0

= t0 lub t =

t(kj)

n

= t

k

0 + α rozważać b ędziemy odpowiednie pochodne jednostronne tzn. w pierwszym j

przypadku b ędziemy zakładać, że h > 0 zaś w drugim, że h < 0. W obu tych przypadkach,

dla dostatecznie małego h, mamy t + h w tym samym przedziale co t, wi ęc prowadząc analogiczne rozważania jak wyżej otrzymyjemy oszacowanie

ϕ (t + h) − ϕ (t)

ε

kj

kj

− f t, ϕ (t)

.

h

kj

< 4

Załóżmy teraz, że t = t(kj), gdzie i = 1, 2, . . . , n − 1. Ustalmy dostatecznie małe h > 0.

i

kj

Wówczas t + h ∈ t(kj), t(kj) i stąd otrzymujemy równość

i

i+1

ϕ (t + h) − ϕ (t)

kj

kj

= f t(kj), ϕ

t(kj)

,

h

i

kj

i

a nast ępnie oszacowanie

ϕ (t + h) − ϕ (t)

kj

kj

− f t, ϕ (t)

h

kj

=

ε

=

f t(kj), ϕ

t(kj)

− f t(kj), ϕ

t(kj)

.

i

k

= 0 <

j

i

i

kj

i

4

Dla dostatecznie małego h < 0, mamy t + h ∈ t(kj)

i stąd otrzymujemy równość

i−1 , t(kj )

i

ϕ (t + h) − ϕ (t)

kj

kj

= f t(kj), ϕ

t(kj)

,

h

i−1

kj

i−1

i stąd prawdziwa jest równość

ϕ (t + h) − ϕ (t)

kj

kj

− f t, ϕ (t)

f t(kj), ϕ

t(kj)

− f t(kj), ϕ

t(kj)

.

h

kj

=

i−1

kj

i−1

i

kj

i

Podobnie jak wcześniej, ponieważ przechodzimy do granicy gdy nk → ∞ gdy k j

j → ∞ tak,

że sup

t(kj)

→ ϕ na [t

i+1 − t(kj )

i

→ 0, i mamy zbieżność jednostajną ϕk

0, t0 + α] , wnosimy,

j

i

że punkty p1 =

t(kj), ϕ

t(kj)

i p

t(kj), ϕ

t(kj)

, spełniają p

i−1

k

2 =

1 − p2 < δ.

j

i−1

i

kj

i

Podobnie jak wcześniej, z jednostajnej ciąglości f otrzymujemy wi ęc w rozważanym przypadku oszacowanie

ϕ (t + h) − ϕ (t)

kj

kj

− f t, ϕ (t)

h

kj

=

ε

=

f t(kj)

t(kj)

− f t(kj), ϕ

t(kj)

.

i−1 , ϕk

<

j

i−1

i

kj

i

4

Zatem ostatecznie

ϕ (t + h) − ϕ (t)

ε

kj

kj

− f t, ϕ (t)

,

h

kj

< 4

czyli

ϕ (t + h) − ϕ (t)

− f (t, ϕ (t))

h

< ε,

dla dowolnie ustalonego ε > 0, gdzie h jest dostatecznie małą liczbą, co kończy dowód.

2.2. Twierdzenie Picarda-Lindelöfa.

Twierdzenie Peano mówi o istnieniu rozwiązania zagadnienia początkowego, ale nie wyk-lucza możliwości istnienia wielu takich rozwiązań. Zajmiemy si ę teraz problemem jed-noznaczności rowiązania zagadnienia Cauchy’eg (2.2), czyli stawiamy pytanie przy ja-kich założeniach ma ono dokładnie jedno rowiązanie w dostatecznie małym otoczeniu punktu (t0, x0). Mówi o tym poniższe twierdzenie b ędące warunkiem dostatecznym jed-noznaczności rowiązania zagadnienia Cauchy’eg (2.2).

Twierdzenie 2.3 (Picarda-Lindelöfa) Niech f : D → Rm, gdzie D ⊂ R × Rm jest zbiorem otwartym i spójnym, b ędzie funkcją ciągłą na D. Określmy zbiór K = {(t, x) ∈ R × Rm : |t − t0| ≤ a ∧ x − x0 ≤ b} ,

gdzie (t0, x0) ∈ D jest dowolnie ustalonym punktem zbioru D, zaś a, b > 0 są takimi liczbami, że K ⊂ D. Załóżmy dodatkowo, że f spełnia warunek Lipschitza w K ze wzgl ędu na drugą zmienną tzn.

f (t, x1) − f (t, x2) ≤ L · x1 − x2 .

L>0 (t,x1)∈K

(t,x2)∈K

Wówczas zagadnienie (2.2) ma jednoznaczne rozwiązanie określone przedziale |t − t0| ≤ α

gdzie α = min a, b , 1

i M = sup f (t, x) .

M

L

(t,x)∈K

Dowód powyższego twierdzenia opierać si ę b ędzie o zastosowanie Twierdzenia Banacha o punkcie stałym. Poniżej przypomnijmy jego treść.

Twierdzenie 2.4 (Banacha o punkcie stałym) Jeżeli (X, d) jest przestrzenią metryczną zupełną oraz F : X → X jest kontrakcją (lub inaczej odwzorowaniem zw ężającym) tzn.

istnieje liczba k ∈ [0, 1) taka, że dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi d (F (x) , F (y)) ≤ k · d (x, y) ,

to istnieje dokładnie jeden punkt z ∈ X b ędący punktem stałym odwzorowania F tzn.

F (z) = z.

Zanim zaprezentujemy dowód Twierdzenia Picarda-Lindelöfa przypomnijmy jeszcze potrzebne poj ęcia. Dla funkcji ciągłej f : [a, b] → Rm o wartościach wektorowych





x1 (t)

 x



2 (t)

x (t) = 





.

 ∈ Rm,



..



xm (t)

całką rozumiemy nast ępująco:





b







x1 (t) dt 





 a



 b



b







x



2 (t) dt

x (t) dt = 





 ∈ Rm.

 a



a



.





..







 b









x



m (t) dt

a

Można pokazać, że prawdziwa jest nast ępująca nierówność trójkąta dla całki: b

b

x (t) dt ≤ x (t) dt .

a

a

Jeśli powyżej a < b to wartość bezwzgl ędną po prawej stronie w powyższej nierówności można opóścić. Przejdźmy obecnie do dowodu Twierdzenia Picarda-Lindelöfa.

Dowód. Niech P = {t : |t − t0| ≤ α} = [t0 − α, t0 + α] . Zdefiniujmy X = {x : P → Rm : x ∈ C (P ) ∧ x (t0) = x0 ∧ t ∈ P ∧ x (t) − x0 ≤ b} .

W zbiorze X wprowadzamy metrykę d (x, y) = sup x (t) − y (t) . Wówczas X jest domkni ę-

t∈P

tym podzbiorem przestrzeni metrycznej zupełnej C (P ) funkcji ciągłych na P (dowód tego faktu pomijamy). Zatem (X, d) przestrzenią metryczną zupełną. Zdefiniujmy teraz odwzorowanie F nast ępująco:

t

F (x) (t) = x0 +

f (s, x (s)) ds,

t0

gdzie t ∈ P oraz x ∈ X. Wykażemy najpierw, że F : X → X. Oczywiście F (x) ∈ C (P ) oraz F (x) (t0) = x0. Dla dowolnego t ∈ P mamy:

t

t

F (x) (t) − x

0 = x0 +

f (s, x (s)) ds − x0 = f (s, x (s)) ds ≤

t0

t0

t

≤

f (s, x (s)) ds ≤ M · |t − t0| = M · |t − t0| ≤ Mα.

t0

Jeśli wi ęc α = min a, b , 1 , to F (x) (t) − x

M

L

0 ≤ b, zatem F : X → X. Aby zastosować

Twierdzenie Banacha o punkcie stałym, trzeba jeszcze wykazać, że F jest kontrakcją. Dla x1, x2 ∈ X i dowolnego t ∈ P, z definicji odwzorowania F mamy t

F (x

1) (t) − F (x2) (t) =

[f (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s))] ds ≤

t0

t

t

≤

f (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s)) ds ≤ L x1 (s) − x2 (s) ds ≤

t0

t0

t

≤

L · sup x1 (s) − x2 (s) ds ≤ |t − t0| · L · d (x1, x2) ≤

s∈P

t0

≤ Lα · d (x1, x2) .

Stąd

d (F (x1) , F (x2)) = sup F (x1) (t) − F (x2) (t) ≤ Lα · d (x1, x2) .

t∈P

Ponieważ α = min a, b , 1 , wi ęc k = Lα ∈ [0, 1) . Zatem F jest kontrakcją. Stosując M

L

Twierdzenie Banacha do (X, d) i F : X → X otrzymujemy, że istnieje dokładnie jedna funkcja x ∈ X, taka, że F (x) = x, czyli dla dowolnego t ∈ P prawdziwa jest równość t

x (t) = x0 +

f (s, x (s)) ds.

t0

Z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego wynika, że x (t) jest różniczkowalna dla t ∈ P i zachodzi wzór

x (t) = f (t, x (t)) ds.

Oczywiście x (t0) = x0 i (t, x (t)) ∈ K ⊂ D, zatem x (t) jest jedymym rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego (2.2).