Adam Bednarz Instytut Matematyki PK
POCHODNE FUNKCJI I REGUA DE L'HOSPITALA zadania domowe
Zadanie 1. Obliczy¢ z denicji pochodne nast¦puj¡cych funkcji:
√
1) f(x) = x2,
2) f(x) = 2x + 5,
√
3) f(x) = 3 x,
4) f(x) = tg 2x,
5)
1
f (x) = ln(5x + 1),
6) f(x) =
,
x + 3
√
7) f(x) = pln(2x + 5),
8) f(x) = tg 3x − 1,
9)
f (x) = sin pln(5x + 1)
10) f(x) = esin(2x−3),
√
11) f(x) = ln(tg x),
12) f(x) = sin2 3x.
Zadanie 2. Korzystaj¡c z twierdze« o ró»niczkowaniu wyznaczy¢ mo»liwie najprostsz¡
posta¢ pochodnych funkcji: 1)
ex
f (x) = sin x + 2tgx − 2x − 3arctgx, 2) f(x) =
,
log x
3)
√
√
1
f (x) = x3 sin x,
4) f(y) = y + y + 7 y + √ , 3 y
√
5)
2x + 1
f (x) =
2x + 5,
6) f(x) =
,
x2
7) f(x) = tg 2x,
8) f(x) = ln(5x + 1),
9) f(x) = ln(x2 + 3x),
10) f(x) = pln(2x + 5)
√
√
11) f(x) = tg 3x − 1,
12) f(t) = t 1 − t2,
√
13) f(x) = esin(2x−3),
14) f(x) = ln(tg x),
15) f(x) = sin2 3x,
16) f(y) = arctg(2y − 3)
17)
y
f (x) = sin (sin(cos x)),
18) f(y) =
,
p3 − y2
19) f(x) = log (x + 1),
20) f(t) = ett2 cos t,
x
√
√
21)
1
h(x) =
,
22) f(y) =
y + 1 − ln(1 +
y + 1),
tg2x
23)
x
x
x
f (x) = tg
− ctg ,
24) f(x) = ln tg ,
2
3
2 √
25)
1 +
1 − t2
f (x) = sin pln(5x + 1) ,
26) f(t) = 3 ln
,
t
27) f(t) = et2 cost,
28) f(x) = arcsinx−1
√
,
x
√
√
29) f(x) = ctg x,
30) h(x) = arccos 4 x,
√
31) f(x) = xsinx,
32) f(x) = x + 1 − x2,
r
33)
1
1 − sin x
f (y) = arcsin ,
34) f(x) = ln
,
y
1 + sin x
1
!
√
35)
5 sin z2
f (z) = tg
3
e4z,
36) f(x) = x x,
ln z
√
√
37)
arcsinx
1
1 −
1 − x2
f (x) = √
+
ln
√
,
38) f(x) = sin [cos2 (tg3 ctgx)], 1 − x2
2
1 +
1 − x2
39) f(y) = (sin y)lny,
40) f(t) = sin3 ttg2t,
q
√
41)
p
f (x) =
x +
1 + 4 2x + 1,
42) f(x) = x(sinx)tgx.
Zadanie 3. Wyznaczy¢ pochodne drugiego i trzeciego rz¡du funkcji: 1) f(x) = arctgx,
2) f(x) = x3ex,
√
3)
sin 2x
f (x) =
xe−2x2,
4) f(x) =
.
x3
x4
, x < 0
Zadanie 4. Wyznaczy¢ pochodn¡ drugiego rz¦du funkcji f(x) =
0
, x = 0 .
sin4 x
, x > 0
Zadanie 5. Znale¹¢ wzory ogólne na pochodn¡ n-tego rz¦du podanych funkcji: 1)
1
f (x) =
,
2) f(x) = sin x,
x
3) f(x) = xex,
4) f(x) = e−2x.
Zadanie 6. Korzystaj¡ z reguªy de l'Hospitala obliczy¢ nast¦puj¡ce granice funkcji:
√
5
1)
x
x
lim
,
2) lim
,
x→∞ 2x
x→∞ ln x
√
3)
x
ln x
lim
,
4) lim
,
x→0+ arcsin 2x
x→1 x2 + x − 2
5)
π − arctgx
x − arctgx
lim
,
6) lim
,
x→−∞ π − arctg3x
x→0
x3
ex2 −
7)
1
3x − 2x
lim
,
8) lim √
,
x→0 cos x − 1
x→0 x 1 − x2
9)
1 − x
lim (π − 2arctgx) ln x ,
10) lim
,
x→∞
x→1
ln x
11)
ln x
1
1
lim
,
12) lim
−
,
x→0 ln sin x
x→0
x2
sin2 x
13)
x − tgx
lim
,
14) lim xsinx,
x→0
x2tgx
x→0
15)
1
lim
ctgx −
,
16) lim x2e 1x2 ,
x→0
x
x→0
x2 sin 1
17) lim (tgx)2x−π,
18) lim
x ,
x→ π
x→0
sin x
2
19)
ln x
x − sin x
lim √
,
20) lim
,
x→1+
x2 − 1
x→0
x3
21)
1
lim (1 − x) ln(1 − x),
22) lim xx ,
x→1−
x→∞
sin x
23)
1
ln cos x
lim
,
24) lim
,
x→0+
x
x→0 ln cos 3x
25)
1
1
1
lim (1 + ex)x ,
26) lim
−
,
x→∞
x→0
x
sin x
1
x2
27)
1
1
arcsin x
lim
−
,
28) lim
,
x→1
ln x
x − 1
x→0
x
2
x2
29)
2
lim
arctgx
,
30) lim [ln(x + 1)]x,
x→∞
π
x→0
31)
ex − e−x − 2x
1
lim
,
32) lim x − x2 ln 1 +
,
x→0
x − sin x
x→∞
x
33)
xx − 1
x − sin x
lim
,
34) lim
.
x→1
ln x
x→0 x − tgx
Zadanie 6. Obliczy¢ nast¦puj¡ce granice. Czy mo»na tu zastosowa¢ reguª¦ de l'Hospitala?
x2 sin 1
1)
x − sin2 x
lim
,
2) lim
x ,
x→∞ x + sin2 x
x→0
sin x
x3 sin 1
3)
x + sin x
lim
,
4) lim
x ,
x→∞ x − sin x
x→0
sin2 x
5)
x + cos 2x
lim
.
x→−∞ x − cos 4x
3