Zad. 1. Dane są akcje spółki A o E(RA) = 10% i σA = 21% oraz akcje spółki B o E(RB) = 15%
i σB = 29%. Wyznacz ryzyko portfela o E(RP) = 13% jeżeli ρAB = 0.
Zad. 2. Dane są akcje spółki A o E(RA) = 10% i σA = 21% oraz akcje spółki B o E(RB) = 15%
i σB = 29%. Wyznacz ryzyko portfela o E(RP) = 17% jeżeli ρAB = 0.
Zad. 3. Dane są akcje spółki A o E(RA) = 9% i σA = 14% oraz akcje spółki B o E(RB) = 4%
i σB = 7%. Wyznacz strukturę portfela składającego się z akcji spółek A i B, który charakteryzuje się zerowym ryzykiem mierzonym odchyleniem standardowym, jeżeli ρAB = 1.
Zad. 4. Dane są akcje spółki A o E(RA) = 14% i σA = 20% oraz akcje spółki B o E(RB) = 10%
i σB = 12%. Wyznacz strukturę portfela składającego się z akcji spółek A i B, który charakteryzuje się zerowym ryzykiem mierzonym odchyleniem standardowym, jeżeli ρAB = -1.
Zad. 5. Dane są akcje spółki A o E(RA) = 13% i σA = 18% oraz akcje spółki B o E(RB) = 15%
i σB = 20%. Wyznacz strukturę portfela składającego się z akcji spółek A i B, który charakteryzuje się oczekiwaną stopą zwrotu na poziomie 14%, jeżeli ρAB = 1.
Zad. 6. Dane są akcje spółki A o E(RA) = 10% i σA = 15% oraz akcje spółki B o E(RB) = 11%
i σB = 18%. Wyznacz strukturę portfela składającego się z akcji spółek A i B, który charakteryzuje się oczekiwaną stopą zwrotu na poziomie 18%, jeżeli ρAB = -1.
Zad. 7. Dany jest portfel składający się w 77% z akcji spółki A i w 23% z akcji spółki B.
Wyznacz wartość E(RP) i σP, jeżeli E(RA) = 12%, σA = 17%, E(RB) = 15%, σB = 20%, a ρAB = 0,45.
Zad. 8. Dany jest portfel składający się z krótkiej pozycji w akcjach spółki A na kwotę 36%
posiadanego kapitału i z długiej pozycji w akcjach spółki B na kwotę 136% posiadanego kapitału. Wyznacz wartość E(RP) i σP, jeżeli E(RA) = 13%, σA = 18%, E(RB) = 16%, σB = 22%, a ρAB = -0,74.
1
Rozwiązania i odpowiedzi:
Zad. 1.
E( R
w E R
w E R
P ) =
A
( A)+ B ( B ) 1 = w + w
A
B
13% = 1
,
0 w + 15
,
0
w
A
B
13% = 1
,
0 w +
w
A
(
15
,
0
1 − A )
− ,
0 02 = − ,
0 05 wA
w = ,
0 40
A
w = 1 − ,
0 40 = ,
0 60
B
σ = w σ
w σ
w w σ σ ρ
P
( A A)2 + ( B B )2 + 2 A B A B AB
ρ = 0
AB
σ =
P
( ,04⋅ ,0 )
21 2 + ( ,
0 60 ⋅ ,
0 29)2 =
32
,
19
%
Odp.: Ryzyko portfela mierzonego odchyleniem standardowym wynosi 19,32%.
Zad. 2.
Odp.: Ryzyko portfela mierzonego odchyleniem standardowym wynosi 41,46%.
Zad. 3.
2
σ = w σ
w σ
w w σ σ ρ
P
( A A)2 + ( B B )2 + 2 A B A B AB
w + w = 1
A
B
w = 1 − w
B
A
ρ = 1
AB
0 = ( 14
,
0
w
w
w
w
A )2 + (
07
,
0
(1− A) 2 + 2 A(1− A)⋅ 14
,
0
⋅ 07
,
0
Korzystamy ze wzoru
skróconego mnożenia
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
0 = ([ 14
,
0
w
w
A ) + (
07
,
0
(1− A) ]2
0 = ( 14
,
0
w
w
A ) + (
07
,
0
(1− A)
0 = 14
,
0
w +
07
,
0
− 07
,
0
w
A
A
− 07
,
0
= 07
,
0
wA
w = 1
−
A
w = 2
B
2
Odp.: Portfel o zerowym ryzyku, mierzonym odchyleniem standardowym powinien się składać z długiej pozycji w akcji spółki B o wartości 200% posiadanego kapitału oraz z krótkiej pozycji akcjach spółki A o wartości 100% posiadanego kapitału.
Zad. 4.
Odp.: Portfel o zerowym ryzyku, mierzonym odchyleniem standardowym powinien się składać z długiej pozycji w akcji spółki B o wartości 62,5% posiadanego kapitału oraz z długiej pozycji w akcjach spółki A o wartości 37,5% posiadanego kapitału.
Wskazówka: Należy skorzystać z następującego wzoru skróconego mnożenia: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
Zad. 5.
E( R
w E R
w E R
P ) =
A
( A)+ B ( B) w + w = 1
A
B
w = 1− w
B
A
14
,
0
= 13
,
0
w +
w
A
(
15
,
0
1− A )
14
,
0
= 13
,
0
w + 15
,
0
− 15
,
0
w
A
A
− 01
,
0
= − 02
,
0
wA
w =
50
,
0
A
w =
50
,
0
B
Odp.: Portfel o oczekiwanej stopie zwrotu na poziomie 14% powinien składać się w 50% z akcji spółki A oraz w 50% z akcji spółki B.
Zad. 6.
Odp.: Portfel o oczekiwanej stopie zwrotu na poziomie 18% powinien składać się z długiej pozycji w akcjach spółki B o wartości 800% posiadanego kapitału oraz z krótkiej pozycji w akcjach spółki A o wartości 700% posiadanego kapitału.
3
Zad. 7.
E( R
w E R
w E R
P ) =
A
( A)+ B ( B ) E( RP ) = ,
0 77 ⋅ 12
,
0
+ ,
0 23⋅ 15
,
0
= ,
12 69%
σ = w σ
w σ
w w σ σ ρ
P
( A A)2 + ( B B )2 + 2 A B A B AB
σ =
P
( ,077⋅ 17
,
0
)2 + ( ,023⋅ ,020)2 + 2⋅ ,077⋅ ,023⋅ 17
,
0
⋅ ,
0 20 ⋅ ,
0 45 =
,
15 71%
Odp.: Rozważany portfel charakteryzuje się oczekiwaną stopą zwrotu na poziomie 12,69%
oraz ryzykiem mierzonym odchyleniem standardowym na poziomie 15,71 %.
Zad. 8.
Odp.: Rozważany portfel charakteryzuje się oczekiwaną stopą zwrotu na poziomie 17,08%
oraz ryzykiem mierzonym odchyleniem standardowym na poziomie 34,99 %.
4