Przykłady analizy płyt – c.d.
1) PŁYTA PROSTOKĄTNA, SWOBODNIE PODPARTA, DOWOLNIE OBCIĄŻONA Rzut z góry:
a
x
1
q ( x , x
1
2 )
ν
b
E, , h
x
2
Przyjmujemy rozwiązanie powyższego zagadnienia za pomocą szeregu Fouriera.
Założymy szereg sinusowy, gdyż możemy zawsze uważać q( x , x za funkcję nieparzystą dwóch zmiennych, 1
2 )
zgodnie z wyobrażalnym schematem:
a
a
a
b
+
−
+
b
−
+
−
b
+
−
+
(
∞
∞
mπ x
nπ x
q x , x )
1
2
= ∑∑ a sin
sin
,
1
2
mn
=
=
a
b
m 1 n 1
4 a b
mπ x
nπ x
gdzie: a
=
q x x
dx dx
∫∫
,
mn
( , )
1
2
sin
sin
1
2
1
2
ab
a
b
0 0
przy czym: ,
m n – liczby całkowite: 1, 2,3...
Powyższy wzór wynika z ortogonalności funkcji sin () i dowodzi się go analogicznie jak w przypadku szeregów pojedynczych!
Przykładowo:
Niech: q ( x , x = q = const 1
2 )
0
Wówczas:
4 a b
mπ x
nπ x
a
=
q x x
dx dx
∫∫
mn
( , )
1
2
sin
sin
1
2
1
2
ab
a
b
0 0
4
a b
⋅ q
mπ x
nπ x
0
1
2
a
=
sin
sin
dx dx
∫∫
mn
1
2
ab
a
b
0 0
a
b
4 ⋅ q
a
mπ x
b
nπ x
0
1
2
a
=
⋅ −
⋅cos
⋅ −
cos
mn
ab
mπ
a
nπ
b
0
0
4 ⋅ q
2 a
2 b
16 ⋅ q
Zatem:
0
a
=
⋅
⋅
=
0 , jeżeli m i n są nieparzyste, mn
ab
mπ nπ
2
mnπ
lub: a
= 0, gdy m lub n jest parzyste!
mn
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
1
W ogólnym przypadku obciążenia zakładamy rozwiązanie: (
∞
∞
mπ x
nπ x
w x , x )
1
2
= ∑∑ w sin
sin
1
2
mn
=
=
a
b
m 1 n 1
Funkcja ta spełnia warunki brzegowe swobodnego podparcia!
Podstawienie do równania:
q
x , x
4
∇ w( x , x =
1
2 )
0 ( 1
2 )
D
2
2
2
π π
daje związek:
m
n
D ⋅
+
⋅ w = a
mn
mn
a
b
1
∞
∞
a
mπ x
nπ x
czyli: w( x , x ) mn
1
2
=
⋅∑∑
sin
sin
, przy czym: ,
m n – liczby całkowite: 1, 2,3...
1
2
4
2
2
2
Dπ
=
=
a
b
m 1 n 1
m
n
+
a
b
Przypadek szczególny: q ( x , x = q = const
1
2 )
0
(
⋅ q
∞
∞
a
mπ x
nπ x
w x , x ) 16 0
mn
1
2
=
⋅∑∑
sin
sin
, gdzie: ,
m n – liczby nieparzyste: 1, 3, 5...
1
2
6
2
2
2
Dπ
=
=
a
b
m 1 n 1
m
n
mn ⋅
+
a
b
m+ n
a
x =
−
∞
∞
2
16 ⋅ q
1
−
0
( ) 1
2
1
Maks. ugięcie: max w
=
⋅∑∑
6
2
2
2
b
D
x =
π
m 1
= n 1
=
2
2
m
n
mn ⋅
+
a
b
Szereg ten jest szybkozbieżny, często wystarczy tylko pierwszy jego wyraz (tj. dla m =1, n =1), przykładowo: 4
4
4 ⋅ q ⋅ a
q ⋅ a
1) Jeżeli a = b oraz m = n = 1: 0
0
max w =
= 0,00416⋅
6
Dπ
D
4
⋅
po uwzględnieniu większej liczby
q a
wyrazów →
0
max w = 0, 00406 ⋅
(wynik ścisły)
D
4
q ⋅ a
2) Jeżeli b = 3 a , to: 0
max w = 0, 0122 ⋅
(wynik ścisły)
D
4
q ⋅ a
3) Jeżeli b → ∞ (pasmo), to: 0
max w = 0, 0130 ⋅
(wynik ścisły)
D
Wniosek: dla b
> 3 obliczenia praktyczne płyty można zastąpić obliczeniem pasma płytowego (dla obciążeń a
zbliżonych do równomiernie rozłożonych)!
2) PŁYTA KWADRATOWA – WYZNACZANIE MOMENTÓW W PŁYCIE
Rzut z góry:
a
x
1
a
E,ν , h
q ( x , x = q = const 1
2 )
1
x
Przyjęto dla płyty żelbetowej: ν
≈
2
5
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
2
∞
∞
4
16 ⋅ q
a
mπ x
nπ x
Dla a = b : w( x , x ) 0
1
2
=
⋅∑∑
sin
sin
1
2
6
Dπ
=
=
a
a
m
n
mn ⋅ ( 2
2
1
1
m + n )2
Dodatkowo, z symetrii: M
x , x
= M
x , x
; w
= w
11 ( 1
2 )
22 ( 1
2 )
,11
,22
Moment zginający:
M
= − D ⋅ w +ν ⋅ w
= − D ⋅ w ⋅ 1+ν
11
( ,11
,22 )
,11
(
)
2
∞
∞
⋅
16 q a
m
mπ x
nπ x
0
1
2
w
= −
⋅∑∑
sin
sin
,11
4
Dπ
=
=
a
a
m
n
n ⋅ ( 2
2
1
1
m + n )2
2
⋅ ⋅
→ dla
4 q a
m = 1, n = 1 i dla x = a 2 , x = a 2 mamy: 0
M
=
⋅ 1+ν ≈ 0,048⋅ q ⋅ a
11
4
(
)
2
1
2
0
π
Moment skręcający:
M
= − D ⋅ 1−ν ⋅ w
12
(
) ,12
2
16 ⋅ q a
∞
∞
1
mπ x
nπ x
0
1
2
w
=
⋅∑∑
cos
cos
,12
4
Dπ
=
=
a
a
m
n
( 2 2
1
1
m + n )2
2
⋅ ⋅
→ dla
4 q a
m = 1, n = 1 i dla x = 0 , x = 0 mamy: 0
M
= −
⋅ 1−ν ≈ 0
− ,032⋅ q ⋅ a
12
4
(
)
2
1
2
0
π
Obliczymy moment zginający w przypadku osi obróconych o kąt ϕ = 45° .
x
2
s
n
ϕ
x
1
Ze wzorów transformacyjnych dla naprężeń, wynika iż: 2
2
M
= M ⋅cos ϕ + M ⋅sin ϕ + M ⋅sin 2ϕ
nn
11
22
12
1
M
= ⋅ M − M ⋅
ϕ + M ⋅
ϕ
ns
(
sin 2
cos 2
22
11 )
12
2
Zatem, dla ϕ = 45° :
2
2
2
2
M
= M ⋅
+ M ⋅
+ M ⋅1
nn
11
22
12
2
2
1
1
M
= M ⋅ + M ⋅ + M ⋅1 → M = M + M
nn
11
11
12
2
2
nn
11
12
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
3
Wykresy momentów w płycie: Jeżeli dla ϕ = 45° mamy: M = M + M
nn
11
12
to w szczególności:
→ M (0;0)
2
= 0
− ,032⋅ q a
nn
0
→
a
a
M
=
⋅ q a
nn (
;
2
2 )
2
0, 048
0
a
0, 032
x
1
2
× q a
0
M
a
11
s
0, 048
M
0, 048
nn
0, 032
ν =
0, 20
x
2
n
Dyskusja!
1) W płycie swobodnie podpartej (obciążonej równomiernie) występują ujemne momenty zginające w narożach!
Dlatego też w żelbecie zbroi się takie płyty w narożach również górą a
na odległościach
!
5
2) Sprawdzenie warunków równowagi w narożu
0, 032 (
skręcający )
0, 032 (
skręcający )
0, 032 (
zginający )
Jak wyjaśnić ten paradoks?
Odpowiedź: Momenty oznaczone wektorami osiowymi są momentami skupionymi (kNm), a momenty 2
0, 032 ⋅ q a są momentami rozłożonymi (kNm/m).
0
Po pomnożeniu przez długości boków trójkąta „paradoks” ten znika.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 12 • KMBiM WILiŚ PG
4