Sprawozdanie nr 1 z ćwiczenia laboratoryjnego z przedmiotu

Podstawy Automatyki

Wyznaczenie charakterystyk skokowych oraz impulsowych

dla zadanych elementów liniowych.

Wykonała:

Kierunek

Nr indeksu:

Rok:

Semestr:

Sprawdził

1

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było wyznaczenie za pomocą programu Matlab 2007 charakterystyk

w dziedzinie czasu, tj. charakterystyk skokowej oraz impulsowej, dla zadanych elementów liniowych: proporcjonalnego, inercyjnego I rzędu, całkującego oraz różniczkującego.

2. Wstęp teoretyczny:

Analizując i projektujące układy sterowania, musimy mieć możliwość porównywania

ich właściwości. W tym celu stosuje się określone testowe sygnały wejściowe, umożli-wiające porównywanie odpowiedzi badanych układów na te sygnały. Wiele metod pro-jektowania oparto na takich sygnałach lub na odpowiedziach układów na zmiany warun-

ków początkowych bez żadnych sygnałów testowych). Wykorzystanie sygnałów testowych wynika z tego, że istnieje korelacja pomiędzy odpowiedziami układu na typowy sygnał wejściowy, a zdolnością układu do radzenia sobie z rzeczywistymi sygnałami wejściowymi. Powszechnie wykorzystywanymi testowymi sygnałami wejściowymi są

funkcje: skokowa, liniowa, impulsowa, sinusoidalna, itp. Dla tych sygnałów można łatwo przeprowadzić analizę matematyczna i eksperymentalna układów sterowania, ponieważ sygnały te są bardzo prostymi funkcjami do wygenerowania.

Ponadto przekształcenie Laplace’a umożliwia wyznaczenie transmitancji operatorowej

liniowego układu, która również określa własności dynamiczne układu (model) niezależ-

nie od rodzaju sygnału wejściowego. Transmitancja operatorowa jest bardzo wygodna dla analizy pracy liniowych układów i dlatego jest powszechnie stosowana. Umożliwia ona również przedstawienie zasadniczych cech układów w postaci graficznej, pozwalającej na pierwszy rzut oka ocenić właściwości dynamiczne. Biorąc pod uwagę dziedzinę, w ja-kiej przedstawia się te właściwości, można wyróżnić:

charakterystyki czasowe;

charakterystyki częstotliwościowe.

Charakterystyki czasowe dają możliwość (w odniesieniu do układów jednowymia-

rowych) bezpośredniej oceny układu, ponieważ charakterystyka czasowa jest przebie-giem w czasie odpowiedzi układu dynamicznego y(t) na określone wymuszenie x(t).

Najczęściej stosowanymi wymuszeniami są:

Skok jednostkowy 1(t) (tzw. funkcja Heaviside’a) – mówimy wówczas o odpowiedzi (charakterystyce) skokowej h(t).

= 1

= 0

< 0

1

≥ 0

Charakterystyka skokowa układu dynamicznego nazywamy odpowiedz układu na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego przy zerowych warunkach początkowych modelu.

Stosując odwrotne przekształcenie Lapalce’a można wyznaczyć odpowiedz skoko-

wa według następującej zależności:

1

ℎ

=

Odpowiedz skokowa można wyznaczyć również doświadczalnie. Znajomość od-

powiedzi na skok jednostkowy h(t) pozwala wyznaczyć jego odpowiedz na dowolny sy-

gnał wejściowy x(t), z zależności zwanej całką Duhamela:

2

= ℎ

0 + ℎ − −

lub:

= ℎ

0 + ℎ

−

Impuls Diraca δ(t) (tzw. funkcja wagi układu) – mówimy wówczas o odpowiedzi (charakterystyce) impulsowej g(t).

=

= 0

≠ 0

∞

= 0

Charakterystyką impulsową układu dynamicznego nazywamy odpowiedź układu na wymuszenie w postaci impulsu Diraca przy zerowych warunkach początkowych modelu.

Stosując odwrotne przekształcenie Lapalce’a można wyznaczyć odpowiedz impulsowa według następującej zależności:

=

#

$

Pomiędzy omawianymi charakterystykami zachodzą następujące związki:

= ℎ

ℎ 0 = 0

oraz:

ℎ

=

Odpowiedz impulsowa jest wiec pochodna odpowiedzi skokowej. Znając odpowiedz im-

pulsowa g(t), można wyznaczyć, korzystając z twierdzenia o splocie, odpowiedz y(t) układu na dowolne wymuszenie x(t):

=

∙

=

−

= −

Podstawowe elementy automatyki:

Inercyjny i bezinercyjny:

Elementem inercyjnym pierwszego rzędu nazywać będziemy element opisany

równaniem różniczkowym o postaci:

& + = '(

gdzie: k – współczynnik wzmocnienia określony jako stosunek odpowiedzi y do wymuszenia u w stanie ustalonym, T – stała czasowa.

3

i transmitancja operatorowa postaci:

'

= 1 + &

Szczególnym przypadkiem elementu inercyjnego pierwszego rzędu dla T= 0

jest element bezinercyjny (proporcjonalny, wzmacniający). Elementem bezinercyjnym nazywać będziemy element opisany równaniem algebraicznym

o postaci:

= '(

i transmitancja operatorowa postaci:

= '

Rys. 1 Charakterystyka skokowa elementu proporcjonalnego.

Rys. 2 Charakterystyka impulsowa elementu proporcjonalnego.

4

Rys. 3 Charakterystyka skokowa elementu inercyjnego

Rys. 4 Charakterystyka impulsowa elementu inercyjnego.

Całkujący:

Elementem całkującym z inercja nazywać będziemy element automatyki opi-

sany równaniem różniczkowym o postaci:

& ) + = '(

gdzie: k – współczynnik wzmocnienia prędkościowego, określony jako stosunek pochodnej odpowiedzi y do wymuszenia u w stanie ustalonym, T – stała czasowa.

i transmitancji operatorowej postaci:

'

= 1 + &

5

Szczególnym przypadkiem elementu całkującego z inercja dla T = 0 jest element całkujący zwany idealnym elementem całkującym. Elementem całkującym na-

zywać będziemy element automatyki opisany równaniem różniczkowym o postaci:

= '(

i transmitancją operatorową postaci:

'

=

Rys. 5 Charakterystyka skokowa elementu całkującego

Rys. 6 Charakterystyka impulsowa elementu całkującego.

6

Różniczkujący:

Elementem różniczkującym z inercja (lub rzeczywistym elementem różniczku-

jącym) nazywać będziemy element automatyki opisany równaniem różniczkowym o

postaci:

& + = '(

gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, określony jako stosunek odpowiedzi y do pochodnej wymuszenia u w stanie ustalonym, T – stała czasowa.

i o transmitancji operatorowej postaci:

'

= 1 + &

Szczególnym przypadkiem członu różniczkującego z inercja dla T = 0 jest

element różniczkujący idealny, który krótko nazywać będziemy elementem różnicz-

kującym. Elementem różniczkującym nazywać będziemy element automatyki opisa-

ny równaniem o postaci:

= '(

i transmitancji operatorowej:

= '

Rys. 7 Charakterystyka skokowa i impulsowa elementu różniczkującego.

7

3. Przebieg ćwiczenia:

Dla poszczególnych elementów sporządzono w programie Matlab 2007 wykresy:

Proporcjonalny G s = k = 3

Rys. 8 Charakterystyka skokowa elementu proporcjonalnego.

Wykres ukazuje odpowiedź układy na skok jednostkowy. Podane wzmocnienie o wartości trzy ustaliło amplitudę również na poziome trzy. Opóźnienie nie pojawiło się gdyż zgodnie z definicją układu proporcjonalnego, sygnał wyjściowy w każdej chwili jest proporcjonalny do wejściowego.

Rys. 9 Charakterystyka impulsowa elementu proporcjonalnego.

Wykres ukazuje odpowiedź układu na impuls Dirac’a. Ponieważ czas trwania sygnału wej-

ściowego był nieskończenie mały, a obiekt nie był obciążony inercją, amplituda wygasła w nieskończenie krótkim czasie i przyjęła wartość A=0.

8

Inercyjny .

= / = .

01

20

Rys. 10 Charakterystyka skokowa elementu inercyjnego.

Układ od początku był obciążony inercją więc wartość amplitudy odpowiedzi nie po-

nawiała się spontanicznie lecz narastała w czasie. Amplituda zbliżała się asymptotycznie do wartości skoku k=2. Na wykresie zaznaczono punkt t, który przyjął wartość 2,86s. Po upływie tego czasu amplituda osiągnęła 63,2% wzmocnienia.

Rys. 11 Charakterystyka impulsowa elementu inercyjnego.

Początkowa wartość amplitudy to ok. 0,66. Obciążenie układu inercją powodowało stopniowe jej wygaszanie do zera.

9

Całkujący 2

= / = .

0

0

Rys. 12 Charakterystyka impulsowa elementu całkującego.

Dla elementu całkującego sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do całki sygnału wej-

ściowego (na wykresie możemy to odczytać jako pole powierzchni figury ograniczonej osią czasu, amplitudy i linią wykresu. Sam wykres jest rosnącą funkcją liniową o równaniu h(t)=2t.

Rys. 13 Charakterystyka impulsowa elementu całkującego.

10

Całka impulsu Dirac’a po czasie jest równa 1. Zatem amplituda ustaliła się na poziomie A=2, gdyż jest ona iloczynem wzmocnienia k=2 oraz całki=1.

Różniczkujący 3

= ' ∗ =

Z obiektem różniczkującym idealnym mamy do czynienia gdy sygnał wyjściowy jest

proporcionalny do pochodnej sygnału wejściowego. Tak więc sygnał wyjściowy zależy od szybkości zmian sygnału wejściowego. Zatem taki obiekt możemy rozważać tylko czysto teoretycznie, gdyż jeżeli układ zawieraja część rózniczkującą, to jest to cześć różniczkująca rzeczywista. W naszym przypadku pochodna funkcji sygnału była równa 0, a pochodna

impulsu Dirac’a była nieciągła zatem, nie było możliwości obliczenia z niej pochodnej, a w konsekwencji Matlab nie wyświetlił dla niej wykresu.

4. Literatura:

1. Tadeusz Kaczorek „Teoria sterowania. Tom I Układy linowe ciągłe i dyskretne”

PWN, Warszawa 1997.

2. Janusz Kowal „Podstawy automatyki Tom I” Uczelniane Wydawnictwo Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 2004.

3. ,,Podstawy Automatyki.” pod red. Tadeusza Mikulczyńskiego; Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1998.

11