Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 3 – dr Adam Ćmiel – [e-mail] CIĄGI RZECZYWISTE – c.d.

Tw. Jeżeli ciąg ma granicę, to każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy.

lim a

g ⇒

=

lim a

= g .

n

nk

n→∞

k →∞

Dow. W przedziale [ g-ε, g+ε] leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu ( an) a więc także prawie wszystkie wyrazy podciągu ( a ) .

nk

Tw. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

Dow. Rozważmy przypadek ciągu rosnącego ( a ) , ograniczonego od góry (dla malejącego i n

ograniczonego od dołu – analogicznie).

Niech { a 1, a 2,...} oznacza zbiór wyrazów ciągu ( a ) : jest to podzbiór R.

n

Z założenia { a

⇔ ∀ ∈

≤

1, a 2,...} jest ograniczony od góry a

M

n N

n

Z zasady ciągłości zbioru R istnieje (dokładnie jedna liczba rzeczywista) g = sup{ a , a ,...}

1

2

Z definicji kresu ∀ a ≤ g i ∀ε >

, a z założenia monotoniczności

0 ∃

a

n

n

≥ g − ε

n

n

0

0

∀

n≥

a

n

n ≥ g − ε

0

Podsumowując te fakty:

∀ε>0∃ n 0∈ N∀ n>

g

n

− ε ≤ an ≤ g

0

⇓

g − ε ≤ a

n ≤ g + ε

⇓

an − g ≤ ε

co oznacza , że lim a = g .

n

n→∞

Przykład 1. a

1

= 1 +

n

( ) n

n

∀ a

n

n

n ≤

3

- ograniczo y

n o

d g

óry



1 

 ⇒ istnieje granica (powiedzmy e) e = lim1 +  .

∀ a

a

n→∞

n 

n

n+1 >

-

n

↑





n

1 

Z „innych” obliczeń wiadomo, że e = lim1 +

 ≈ 2,7182818 .. . .

n→∞

n 

 a 1 = 2

Przykład 2 

 a

2

a

n+1 =

+ n

∀ ∈ a

n N

n ≤

2

- ograniczo y

n o

d g

óry⇒ jest zbieżny do g = lim a

∀

n

a

a

n→∞

n

n+1 >

n

↑

-



Ze wzoru ogólnego a

+

i

1 →

+ =

2

. Dokonując w tej równości przejścia granicznego ( a g

1

+ a

n

n

n

a → g ) otrzymujemy: g = 2 + g . Stąd g=2.

n

1

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 3 – dr Adam Ćmiel – [e-mail] Nierówności w przejściach granicznych Tw. O zachowaniu słabej nierówności

∀

a

≥

≤ M ∧ lim a

g ⇒

=

g ≤ M

n n

n

n

0

n→∞

∀

a

≥

≥ m ∧ lim a

g

⇒

=

g ≥ m

n n

n

n

0

n→∞

Dow. (a.a.)

g − M

Niech g> M. Weźmy ε =

(połowa odległości między g i M. Z def. granicy prawie wszystkie 2

wyrazy ciągu leżą w przedziale [ g-ε, g+ε] → sprzeczność!

UWAGA: Nierówności ostre nie zachowują się w przejściach granicznych!

Np.

1

∀ ∈

a lim 1 = 0 .

n N

> 0

n

→∞ n

n

Konsekwencją twierdzenia o zachowaniu słabej nierówności w przejściach granicznych jest następujące

Tw. (o trzech ciągach)

(∀ a

≥

≤ b ≤ c ∧ lim a = g ∧ lim c g ⇒

=

lim

=

n n

n

n

n

n

n

0

)

b

g

n

n→∞

n→∞

n→∞

Jako wniosek z powyższego uzyskujemy

Tw.

∀

a

M

b

a

b

n≥ n

n ≤

∧ lim

0 ⇒

n =

lim n ⋅ n = 0

0

n→∞

n→∞

Arytmetyka granic

Tw. Jeżeli lim a = a i lim b = b , to n

n

n→∞

n→∞

1.

lim( a ± b ) = a ± b n

n

n→∞

2.

lim( a b ) = ab

n

n

n→∞

3.

an

a

lim( ) = (∀

≠0 i b≠0 )

b

b

n bn

n

n

→∞

−

−

+

Dow. (punktu 3). 0 ≤

−

| an

a

− |=| a b ab

n

n | | a b a b a b ab

n

n n

n n

n

=

|

| a |

n

≤

| b − b |

1

+ | a − a |

b

b

b b

b b

| b || |

b

n

| |

b

n

n

n

n

n

Ciąg ( a

b

wynika, że

n =

n) (jako zbieżny) jest ograniczony powiedzmy przez M . Z faktu lim b ≠ 0

n→∞

lim | b | |

a stąd

| |

| b |

b

≥ dla prawie wszystkich n . Wobec tego 1

2

≤ dla prawie

n = b | > 0

n

2

| b |

| |

b

n→∞

n

wszystkich n.

2

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 3 – dr Adam Ćmiel – [e-mail] Otrzymujemy wiec dla prawie wszystkich n nierówność 0 ≤| an a

− |

2 M

= ≤

| b − b |

1

+ | a − a | z

2

b

b

n

| |

b

n

n

b

której z twierdzenia o trzech ciągach i z punktu 1 otrzymujemy tezę.

Inne własności:

1

a) lim

1

⇒

a

= 0

n = +∞

lim

= 0

±∞

n→∞

n→∞ an

(

1

lim a

0

a

0

lim

1+ = ∞

n =

∧ ∀ n≥ n n

0

)

b)

⇒

>

= +∞

n→∞

n→∞ a

0

n

(

1

lim a

0

a

0

lim

1− = −∞

n =

∧ ∀ n≥ n n

0

)

c)

⇒

<

= −∞

n→∞

n→∞ a

0

n

(lim a a 0 lim b

lim a b

⇒

a > 0

a ∞ = ∞

n =

> ∧

n =

)

d)

⇒

+∞

n

n = +∞

n→∞

n→∞

n→∞

(

a

lim a

a

b

a = 0

n =

∧ lim n =

)

e)

n

⇒

+∞

lim

= 0

∞

n→∞

n→∞

n→∞ bn

(lim a a 0 lim b

lim a b

⇒

a < 0

a ∞ = −∞

n =

< ∧

n =

)

f)

⇒

+∞

n

n = −∞

n→∞

n→∞

n→∞

Symbole nieoznaczone: 0 ∞

∞

0

0

,

, 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞,1 , 0 , ∞ .

0

∞

Warunek Cauchy’ego. Mówimy , że ciąg ( a ) spełnia warunek Cauchy’ego , gdy n

(C)

∀ε>

.

0 ∃

a

a

n

,

0∈ N ∀ n m≥ n

m −

n ≤ ε

0

Uwaga. Nie ma tu mowy o granicy

Def. Ciąg spełniający warunek Cauchy’ego nazywamy ciągiem fundamentalnym

Tw. Dla ciągu liczb rzeczywistych prawdziwa jest równoważność: ( a ) - zbieżny ⇔ ciąg ( a ) spełnia warunek Cauchy’ego n

n

ε

Dowód.(⇒) Z założenia lim a = g mamy ∀ > ∃

:

. Stąd dla m, n ≥ n

n ∈ N

∀ n≥ a

n

n − g

n

ε

≤

0

0 mamy

n→∞

0

0

2

ε ε

| a

+

n- am| ≤ | an- g| + | am- g|≤

=ε , czyli spełniony jest warunek (C).

2

2

(⇐)(Szkic) ciąg ( a ) spełnia warunek Cauchy’ego⇒ ciąg ( a ) jest ograniczony ⇒ (tw. Bolzano-n

n

ε

Weierstrassa) ( a ) jest podciągiem zbieżnym do g. Stąd | a a | + | a - g| . Ale | a a |≤

n

n- g| ≤ | an-

n-

k

nk

nk

nk

2

ε

dla n , n

lim

=

k ≥ n 0 (z war. C) a | a

- g|≤ bo

a

g . Wobec tego | a

n

n- g|≤ ε dla n≥ n 0.

k

2

nk

k →∞

Ważne granice ciągów

n



1 

1) Wiadomo, że lim1 +

 = e . Stąd

n→∞

n 

− n



a

1 

n





1

1

lim1 − 

= e ;

⇒

lim a

lim1 +



= e ;

⇒

lim b

lim(1 + b

=

n ) bn

e

n = 0

n = ±∞

n→∞

n 

n→∞

n→∞

a

n→∞

n→∞

n 

2) lim n n = 1

n→∞

3) lim n a = 1 ( a > 0 ) n→∞

3

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 3 – dr Adam Ćmiel – [e-mail] 4)

an+

⇒

lim

1

lim a = 0

a

= g < 1

n

∞

→

n

∞

→

n

n

5)

n

⇒

lim

a

lim a = 0

n

= g < 1

n→∞

∞

→

n

n

α

n

6) lim

= 0 ( p > ,

0 α > 0)

→∞ 1

( + ) n

n

p

4