mgr Grzegorz Kusztelak
Granica ciągu - przykłady
Mówiąc o ciągu liczbowym najczęściej podajemy wzór na n-ty wyraz tego ciągu, np.
1
a =
1
1
1
1
2
1
1
1
n
⇒ a =
=
a =
=
a =
=
a =
=
2
,
,
,
, itd.
n + 3
1
12 + 3
4
2
22 + 3
7
3
32 + 3 12
4
42 + 3 19
Widzimy zatem, że kolejne wyrazy tego ciągu są coraz mniejsze (powiemy: ciąg jest malejący) i coraz bliższe zeru.
Powiemy zatem, że CIĄG a JEST ZBIEŻNY DO ZERA (innymi słowy: granica ciągu a jest równa zero). Symbolicznie n
n
ten fakt zapiszemy następująco: 1
lim
= 0
2
n→∞ n + 3
Uwaga 1
1
1
1
Zauważmy, że również lim
= 0 , lim
= 0 , lim
= 0 , itd.
n→∞ n
2
n→∞ n
3
n→∞ n
Oczywiście za każdym razem chcąc dowiedzieć się ile wynosi granica ciągu NIE będziemy wypisywać jego wyrazów.
Sposób postępowania w dużej mierze będzie uzależniony od postaci wyrazu ogólnego ciągu. Ilustrują to poniższe przykłady.
Zadanie 1
Oblicz granicę ciągu:
2 3
n + 5 n − 1
lim
n→∞ − 10 3
n + 3 2
n + 2
Rozwiązanie:
2 3
n + 5 n − 1
lim
=
n→∞ − 10 3
n + 3 2
n + 2
/ Ponieważ wyraz ogólny ciągu dany jest w postaci funkcji wymiernej zmiennej n (w liczniku i w mianowniku mamy wielomiany), więc granicę tego ciągu przy n dążącym do nieskończoności policzymy dzieląc najpierw licznik i mianownik 3
przez najwyższą potęgę MIANOWNIKA (tutaj: n )/
3
2 n
5 n
1
5
1
+
−
2 +
−
3
3
3
2
3
n
n
n
n
n
=
= lim
lim
3
2
n→∞ −10 n
3 n
2
n→∞
3
2 =
+
+
−10 + +
3
3
3
3
n
n
n
n
n
/przechodzimy więc do granicy wyraz po wyrazie (oddzielnie w liczniku i w mianowniku) /
2
0
0
5
1
2 +
−
2
3
2
n
n
+ 0 − 0
2
1
= lim
=
= −
= −
n→∞
3
2
−10 + 0 + 0
10
5
−10 + + 3
n n
-10
0
0
"Niebieskie" granice są równe zeru na podstawie uwagi 1 (pamiętajmy o niej).
"Czerwone granice" to granice ciągów stałych.
Zauważmy, że
• we wzorze określającym wyraz ogólny naszego ciągu stopień licznika był RÓWNY stopniowi mianownika
mgr Grzegorz Kusztelak
• granica
okazała się być równa ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach (2 / (-10))
Uwaga 2
Jeżeli jednocześnie spełnione są warunki
• wyraz ogólny ciągu dany jest w postaci ilorazu dwóch wielomianów
• stopień licznika jest równy stopniowi mianownika to granica tego ciągu przy n dążącym do nieskończoności równa się ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach.
Wynika stąd natychmiast, że np.
n
10 2 + 7
10
lim
=
= 2
n→∞
n
5 2 − n + 4
5
Zadanie 2
Oblicz granicę ciągu:
n3 − n
3 + 2
lim
n→∞
n
4 2 − 5
Rozwiązanie:
n3 − n
3 + 2
lim
=
n→∞
n
4 2 − 5
/ Ponieważ wyraz ogólny ciągu dany jest w postaci funkcji wymiernej zmiennej n (w liczniku i w mianowniku mamy wielomiany), więc granicę tego ciągu przy n dążącym do nieskończoności policzymy dzieląc najpierw licznik i mianownik 2
przez najwyższą potęgę MIANOWNIKA (tutaj: n )/
3
n − n
3 + 2
− 3
n
+ 2
2
2
2
2
=
n
n
n
lim
=
n n
lim
=
n→∞
2
n→∞
n
4
5
5
−
4 −
2
2
2
n
n
n
/przechodzimy więc do granicy wyraz po wyrazie (oddzielnie w liczniku i w mianowniku) /
∞ − 0 + 0 ∞
=
=
= ∞
4 − 0 4
Uwaga 3
Jeżeli jednocześnie spełnione są warunki:
• wyraz ogólny ciągu dany jest w postaci ilorazu dwóch wielomianów
• stopień licznika jest wyższy niż stopień mianownika to granica tego ciągu przy n dążącym do nieskończoności równa się plus albo minus nieskończoność.
Wynika stąd natychmiast, że np.
n4 + 7
lim
= −∞
n→∞ 4 − n
Zadanie 3
Oblicz granicę ciągu:
n
7 2 + n
4 − 5
lim
n→∞ n5 + n
3 2 + 1
mgr Grzegorz Kusztelak
Rozwiązanie:
n
7 2 + n
4 − 5
lim
=
n→∞ n5 + n
3 2 + 1
/ Ponieważ wyraz ogólny ciągu dany jest w postaci funkcji wymiernej zmiennej n (w liczniku i w mianowniku mamy wielomiany), więc granicę tego ciągu przy n dążącym do nieskończoności policzymy dzieląc najpierw licznik i mianownik 5
przez najwyższą potęgę MIANOWNIKA (tutaj: n )/
2
n
7
+ n
4 − 5
7 + 4 − 5
5
5
5
3
4
5
=
n
n
n
lim
=
n
n
n
lim
=
n→∞
5
2
n→∞
n
n
3
1
3
1
+
+
1 +
+
5
5
5
3
5
n
n
n
n
n
/przechodzimy więc do granicy wyraz po wyrazie (oddzielnie w liczniku i w mianowniku) /
0 + 0 − 0 = 0
1+ 0 + 0
Uwaga 4
Jeżeli jednocześnie spełnione są warunki:
• wyraz ogólny ciągu dany jest w postaci ilorazu dwóch wielomianów
• stopień mianownika jest wyższy niż stopień licznika to granica tego ciągu przy n dążącym do nieskończoności równa się ZERO.
Wynika stąd natychmiast, że np.
n2 + 7
lim
= 0
n→∞
n
4 6 − n + 5
Zadanie 4
Oblicz granicę ciągu:
2 n
1
1
lim −
n→∞
n
Rozwiązanie:
Zauważmy, że przechodząc do granicy oddzielnie w nawiasie i w wykładniku uzyskujemy symbol nieoznaczony 1∞ (NIE znamy jego wartości liczbowej) Korzystamy zatem z własności: an
1
lim 1 +
= e o ile tylko granica ciągu a występującego w mianowniku i w wykładniku jest równa
→∞
n
a
n
n
nieskończoności (e oznacza tutaj tzw. stałą Eulera e ≈
72
.
2
Jest to liczba niewymierna).
U nas jest:
mgr Grzegorz Kusztelak
2 n
1
1
lim − =| przekształcamy tę granicę tak, aby w nawiasie było JEDEN PLUS JEDEN PRZEZ JAKIŚ CIĄG | =
n→∞
n
2 n
1
1
lim +
= | ten sam ciąg (ten z mianownika) ma wystąpić w wykładniku poza nawiasem no i oczywiście n→∞
− n
2
−
1 − n
1 +
−2
e
trzeba to tak zapisać, aby była to tylko inna postać tej samej granicy | = lim
=
n
−
→∞
n e
Pamiętajmy, że przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy: ( a )3
4
12
= a
np.
n
2
−
−
2 n
1
1
1+
= 1+
podobnie:
− n
− n
Zadanie 5
Oblicz granice ciągu:
n
n 2 + 2
lim
→∞
2
n
n
Rozwiązanie:
(Rozumujemy analogicznie jak w zadaniu 4) 2 n
0
2
2
n
n
2
n
n
2
n + 2
2
1
lim
= lim 1 +
= lim 1
0
+
= e = 1
n → ∞
2
2
2
n
n → ∞
n
n → ∞
n
2
e