Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Sterowanie Procesami Ciągłymi
Laboratorium termin T3
Materiały pomocnicze  regulator LQR
Opracowanie:
Mieczysław A. Brdyś, prof. dr hab. inż.
Wojciech Kurek, mgr inż.
Gdańsk, paz
dziernik 2009
Sterowanie Procesami Ciągłymi 2
Polecenie do Laboratorium T2
W przypadku sterowania opartego na sprzężeniu od stanu obiektu, kluczowe dla jakości
działania układu jest odpowiednie wybranie położenia biegunów układu zamkniętego.
Umożliwia to uzyskanie zadowalającej dynamiki układu zamkniętego.
Niestety podejście oparte o ręczny wybór położenia biegunów układu zamkniętego nie
zapewnia optymalności otrzymanego układu. W tym celu został opracowany regulator
optymalny z kwadratowym wskaz
nikiem jakości (LQR). Podejście to umożliwia określenie
optymalnej macierzy sprzężenia od stanu K umożliwiającej minimalizacje następującej
funkcji kosztów.
Ä„ð
V =ð xT t Qx t +ð uT t Ru t +ð 2xT t Nu t dt
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð
(ð )ð
òð
0
Gdzie macierze Q, R są diagonalnymi macierzami wag umożliwiającymi zmianę wpływu
poszczególnych zmiennych stanu i sterowao na przedstawione kryterium jakości. Natomiast
N jest dodatkową macierzą umożliwiająca uwzględnienie wpływu sterowania na stan
układu przy projektowaniu macierzy sprzężenia od stanu. Zostanie ona pominięta w tym
przypadku.
Dla przykładu układ z trzema zmiennymi stanu i dwoma wejściami wymagałby podania
poniższych macierzy wag.
rð1 0 0
éðÅ‚ð
r1 0
éð Å‚ð
Ä™ðÅ›ð
Q =ð 0 rð2 0 , R =ð
Ä™ð0 r2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
0 0 rð3 ûð ëð ûð
ëð
Odpowiedni dobór macierzy wag ma kluczowe znaczenie dla działania układu
wykorzystującego regulator LQR, ponieważ dobierając wagi można określid który
stan/sterowanie jest dla osoby projektującej regulator  droższy i dobrze byłoby
zminimalizowad jego wartości nawet kosztem pogorszenia pozostałych.
W tym przypadku prawo sterowania otrzymuje postad
u =ð-ðKx
Gdzie K opisane jest następującym wyrażeniem
K =ð R-ð1 BT P +ð NT
(ð )ð
W celu wyznaczenia macierzy P należy rozwiązao ciagłe równanie Riccatiego w postaci
AT P +ð PA-ð PB +ð N R-ð1 BT P +ð NT +ðQ =ð 0
(ð )ð
(ð )ð
Można w tym celu wykorzystad proste polecenie Matlaba lqr. Jego składnia jest następująca:
Sterowanie Procesami Ciągłymi 3
Polecenie do Laboratorium T2
[K, P, eig]=lqr(A, B, Q, R, N)
Gdzie
·ð K jest macierzÄ… sprzężenia od stanu
·ð P jest rozwiÄ…zaniem przedstawionego powyżej równania Riccatiego
·ð Eig jest poÅ‚ożeniem biegunów ukÅ‚adu zamkniÄ™tego
·ð A jest macierzÄ… stanu ukÅ‚adu
·ð B jest macierzÄ… wejÅ›d ukÅ‚adu
·ð Q, R i N sÄ… macierzami wag.
Przykład
Jako przykład wykorzystania sterowania LQR wykorzystany zostanie dobrze Paostwu znany
układ wahadła z tłumieniem. Układ opisany jest następującym równaniem różniczkowym.
2
d Qð tð g að dQð
=ð -ð sin Qð -ð
dt2 ml2 l ml2 dt
Zlinearyzowany układ opisany jest następującymi równaniami stanu
x =ð Ax +ð Bu
y =ð Cx
Gdzie macierze opisujące otrzymany układ są następujące
0 1 0 1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
A =ð ,C =ð
Ä™ð9,81 -ð1Å›ð , B =ð Ä™ð5Å›ð Ä™ð0 1Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
Następnie przeprowadzono symulacje dla dwóch różnych macierzy wag stanu Q.
1 0
éð Å‚ð
Q =ð
Ä™ð0 0,1Å›ð , R =ð1
ëð ûð
Oraz
1 0
éð Å‚ð
Q =ð
Ä™ð0 1Å›ð , R =ð1
ëð ûð
Jak widad zmiana wagi odpowiedzialnej za drugą zmienna stanu w kryterium jakości działania
regulatora miała znaczący wpływ na przebiegi przejściowe prędkości kątowej wahadła (druga
zmienna stanu).
Dla pierwszego przypadku macierz sprzężenia od stanu miała postad
K =ð 4,164 1,144
[ð ]ð
Sterowanie Procesami Ciągłymi 4
Polecenie do Laboratorium T2
Dla tak dobranej wartości macierzy sprzężenia od stanu bieguny układu zamkniętego są następujące
lð1 =ð -ð3,88;lð2 =ð -ð2,835
Dodatkowo została jeszcze wyznaczona macierz feedforward w celu umożliwienia realizacji wartości
zadanej przez prezentowany układ.
Fr =ð 2,2021
Ro1 = 1, Ro2 = 0.1
0.25
Polozenie zadane
0.2
Polozenie wahadla
Predkosc wahadła
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]
Sterowanie Procesami Ciągłymi 5
Polecenie do Laboratorium T2
Ro1 = 1, Ro2 = 1
0.25
Polozenie zadane
0.2
Polozenie wahadla
Predkosc wahadła
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas [s]