A. Zaborski, Zginanie ze ściskaniem
Zginanie ze ściskaniem
Zaprojektować przekrój prostokÄ…tny belki b×h = d×2d, obciążonej w Å›rodku przÄ™sÅ‚a l = 4 m
siłą P = 20 kN i ściskanej siłą N = 100 kN. Dane: R = 160 MPa, E = 200 GPa.
RozwiÄ…zanie 1:
Naprężenia normalne (wzory z wykładu lub podręcznika):
Mmax N Pl tgu 6 N
maxà = + = + d" R ,
x
3 2
Wy F 4 u 4d 2d
Ä„ l 3N 0.00173
N
gdzie u = = = = .
PE
4 2
2 2
2Ed d
Rozwiązując numerycznie nierówność, otrzymujemy: d = 6.05 cm.
Sprawdzamy obliczenia:
pole przekroju: F = 73.27 cm2,
momenty bezwładności: Jy = 894.8 cm4, Jz = 223.7 cm4,
wskaz
nik wytrzymałości Wy = 147.8 cm3,
siła eulerowska (względem osi y i z): Pey = 1.1 MN, Pez = 276 kN (obie siły> N),
maksymalne naprężenia normalne: maxÃx = 160 MPa,
tgu - u
strzałka ugięcia: f = fo = 1.64 cm
u3
maksymalny moment zginajÄ…cy: Mmax = 21.64 kNm.
RozwiÄ…zanie 2:
Inny sposób rozwiązania, metodą kollokacji, polega na przyjęciu funkcji ugięcia w postaci:
Ä„x
w(x) = a sin ,
l
spełniającej kinematyczne warunki brzegowe oraz zażądaniu zgodności rozwiązania
aproksymowanego z rozwiązaniem ścisłym w kilku dodatkowych punktach. Zażądamy
zgodności w jednym dodatkowym przekroju: w środku rozpiętości belki. Jest więc:
2 2
Ä„ Ä„x Ä„ Ä„x Ä„x
w''(x) = - asin Ò! EJ asin = M0(x) + Nasin ,
y
l2 l l2 l l
a po przekształceniach, dla x = l/2:
Pl
12 Pl3 1 12 1
4
a = = = aspr ,
2 2 2
N N
Ä„ EJ Ä„ 48EJ Ä„
y y
1 - 1 -
- N
PE PE
l2
oraz:
w(l / 2) = f = asinĄ / 2 = a .
Podstawiając otrzymane wyrażenia ponownie do wzoru na naprężenia, otrzymujemy z
rozwiązania numerycznego: d = 6.08 cm. Pozostałe wielkości podobnie nieznacznie się różnią
od wartości uzyskanych w poprzednim obliczeniu:
pole przekroju: F = 73.94 cm2,
momenty bezwładności: Jy = 911.3 cm4, Jz = 227.8 cm4,
wskaz
nik wytrzymałości Wy = 149.9 cm3,
siła eulerowska (względem osi y i z): Pey = 1.12 MN, Pez = 281 kN (obie siły> N),
maksymalne naprężenia normalne: maxÃx = 160 MPa,
strzałka ugięcia: f = 1.95 cm
maksymalny moment zginajÄ…cy: Mmax = 21.95 kNm.