Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu  Analiza matematyczna II
WETI, kierunek EiT, 2 sem., r. ak. 2013/2014
1. [9p.] a) Obliczyć objętość bryły określonej nierównościami
x2 + y2 3z i x2 + y2 z2
Wykonać odpowiedni rysunek.
[3p.] b) Wyprowadzić współrzędne walcowe.
2. [9p.] a) Obliczyć całkę

ex (1 - cos y) dx - ex (1 - sin y) dy
K
gdzie K jest brzegiem obszaru określonego nierównościami 0 x Ą i 0 y sin x
zorientowanym dodatnio.
[3p.] b) Sprawdzić, czy pole wektorowe

1 y x x xy

W = 1 - + i + + j - k
y z z y2 z2
jest potencjalne.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [9p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną zagadnienia
y 1
y + = , y(1) = -1
x x3y3
[3p.] b) Sprawdzić, czy równanie (1+y2 sin 2x)dx-2y cos2 xdy = 0 jest równaniem różniczkowym
zupełnym. Jeśli nie - wyznaczyć, o ile to możliwe, czynnik całkujący tego równania.
4. [9p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y + 4y = sin x
przy zadanych warunkach poczÄ…tkowych y(0) = 1 i y (0) = 1.
[3p.] b) Sprawdzić, czy funkcje y1(x) = 1, y2(x) = x i y3(x) = e-x tworzą układ fundamentalny.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [9p.] Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego
"

(-1)n(x + 2)n
(2n + 1) · 3n
n=1
oraz określić rodzaj zbieżności szeregu na końcach tego przedziału.
"

2
[3p.] c) Na podstawie definicji zbadać zbieżność szeregu .
2
-
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=2 .n . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
1
6. *) [dla chętnych] [5p.] Rozwinąć funkcję f(x) = w szereg Maclaurina.
(1 - x)2