Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu  Analiza matematyczna II
WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 2 sem., r. ak. 2011/2012 - termin dodatkowy
1. [7p.] a) Obliczyć objętość bryły V opisanej nierównościami
x2 + y2 + z2 4z, x2 + y2 z2, y 0
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Sprawdzić, czy całka

2(xe-y - 1)dx + (ey - x2e-y)dy
L
nie zależy od drogi całkowania.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [7p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

1
(x2 + y2)dx + (x + y)2dy,
2
K
gdzie K jest brzegiem trójkąta o wiechchołkach (2, 2), (1, 3) i (1, 1) zorientowanym dodatnio.
Wykonać odpowiedni rysunek.

[2p.] b) Wyznaczyć dywergencję i rotację pola wektorowego W = [xy ln z2, cos(x + yz), exyz].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania
y + tgx y = y2 sin x
spełniającą warunek początkowy y(0) = 1.
[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie (y2 cos x - 3x2y - 2x)dx + (2y sin x - x3 + ln y)dy = 0 jest
równaniem różniczkowym zupełnym.
4. [7p.] Wyznaczyć całkę ogólną równania y - 9y = x2 - 3x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
"
" "

n2 + 1 (2n)!
a) b)
2n2 + n - 1 n2n
n=1 n=1
[2p.] c) Podać po jednym przykładzie szeregu rozbieżnego spełniającego warunek konieczny
zbieżności oraz szeregu naprzemiennego zbieżnego warunkowo.
x2
6. [7p.] Rozwinąć funkcję f(x) = w szereg Maclaurina. Podać przedział zbieżności otrzyma-
x2 + 1
nego szeregu.
7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć sumę szeregu liczbowego

"

1
ln 1 -
n2
n=1