Analiza I1 , drugie kolokwium, 11 stycznia 2008
16:10  18:30
Rozwia zania różnych zadań maja znalez
ć sie na różnych kartkach.
Każda kartka musi być podpisana w LEWYM GÓRNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-
sza cego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza cej ćwiczenia i nr. grupy ćwiczeniowej.
Nie wolno korzystać z kalkulatorów, telefonów komórkowych ani innych urza dzeń
elektronicznych; jeśli ktoś ma, musza być schowane i wy
la czone! Nie dotyczy rozrusz-
ników serca.
Nie wolno korzystać z ksia żek, tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia należy uzasadniać. Wolno i NALEŻY powo sie na twierdzenia,
lywać
które zosta udowodnione na wyk lub na ćwiczeniach.
ly ladzie
0. (a) Sformu twierdzenie o osia ganiu kresów przez funkcje cia g
lować la .
(b) Podać definicje szeregu warunkowo zbieżnego i podać przyk takiego szeregu.
lad
" "

(2n+1)Ä„
n n
1. Zbadać zbieżność szeregów (-1)n · oraz cos · .
n2+1000 4 n2+1000
n=0 n=0
2. Znalez
ć wszystkie takie trójki liczb rzeczywistych a, b, c , dla których funkcja
Å„Å‚
(1 - 2x)a/x dla x < 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
b dla x = 0,
f(x) =
ôÅ‚ "
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ sin x2 + c2 · x
ół
dla x > 0;
x
jest cia g we wszystkich punktach R .
la
sin x2
3. Niech f: [0, ") - R bedzie taka funkcja cia g że f(x) = dla każdego x > 0 .
la ,
x
Znalez
ć f(0) .
Wyjaśnić, czy jest jednostajnie cia g na [0, 7) .
la
Wyjaśnić, czy funkcja f jest jednostajnie cia g na pó
la lprostej [0, ") .
4. Niech f: [1, 4] - R bedzie taka funkcja cia g że f(1) = f(4) .
la ,
Udowodnić, że istnieje taka liczba x " [1, 4] , dla której zachodzi równość f(x) = f(2x) .