REGUALTORY PID, WSKAy
NIKI JAKOŚCI
Projektując układy sterowania, w szczególności liniowe, staramy się, aby zaprojektowany
układ sterowania był stabilny i posiadał pewne dodatkowe własności, np. miał odpowiedni
zapas stabilności, miał podane wartości parametrów jakości statycznej i dynamicznej itd.
W wielu wypadkach powy\
sze warunki mo\
na spełnić włączając w strukturę
sterowania dodatkowe układy pomocnicze, między innymi regulatory.
1. Podstawowe rodzaje korekcji
Chcąc uzyskać odpowiednie zmiany transmitancji układu regulacji mo\
na stosować
następujące rodzaje korekcji:
- korekcja szeregowa  polega na wałczeniu w dogodnym miejscu do pętli układu
regulacji, szeregowo, wybranego członu korekcyjnego,
- korekcja polegająca na utworzeniu dodatkowych pętli wokół jednego lub kilku
członów układu:
" korekcja równoległa,
" korekcja w sprzę\
eniu zwrotnym
Regulatory  szeregowe człony korekcyjne, w których mo\
liwe jest wielokrotne nastawienie
jednego lub kilku parametrów. Głównym zadaniem regulatora, jak zresztą ka\
dego
urządzenia sterującego, jest wytwarzanie w oparciu o sygnał uchybu sterowania e(t), sygnału
sterującego obiektem regulacji m(t), w sposób zapewniający jego zachowanie zgodnie z
przyjętymi wymaganiami.
Działanie regulatorów oparte jest o przetwarzanie sygnału uchybu z wykorzystaniem trzech
elementarnych operacji: wzmocnienia  operacja P, całkowania  operacja I oraz
ró\
niczkowania  operacja D. Ogólna struktura tak działających regulatorów została
przedstawiona na Rysunku 2.
Sygnał wyjściowy z regulatora jest postaci:
gdzie:
Mp (s)  składowa proporcjonalna do uchybu regulacji wytwarzana przez blok P,
Mi (s)  składowa całkująca proporcjonalna do całki uchybu regulacji wytwarzana przez blok
I,
Md (s)  składowa ró\
niczkująca proporcjonalna do pochodnej uchybu regulacji wytwarzana
przez blok D.
Działanie proporcjonalne:
Działanie to zmniejsza uchyb regulacji w stanie ustalonym, nieznacznie wpływa na skrócenie
czasu regulacji (zwiększa prędkość odpowiedzi) i zwiększa przeregulowanie.
Działanie całkujące:
Działanie to sprowadza uchyb regulacji w stanie ustalonym do zera, wpływa na wydłu\
enie
czasu regulacji i zwiększa przeregulowanie
Działanie ró\
niczkujące:
Działanie to nie wpływa na uchyb regulacji w stanie ustalonym, wpływa na skrócenie czasu
regulacji i zmniejsza przeregulowanie.
Ze względu na wykorzystanie poszczególnych składowych w sygnale generowanym przez
regulator, praktyczne zastosowanie znalazły następujące rodzaje regulatorów:
- proporcjonalny P,
- proporcjonalno - całkujący PI,
- proporcjonalno - ró\
niczkujący PD,
- proporcjonalno  całkująco - ró\
niczkujący PID.
Regulator całkujący I nie znalazł zastosowania, poniewa\
jego obecność w układzie regulacji
pogarsza właściwości dynamiczne tego układu.
Regulator ró\
niczkujący D nie jest stosowany, poniewa\
jego obecność w układzie regulacji
ogranicza się tylko do przebiegów przejściowych.
Rodzaje regulatorów:
Najczęściej wykorzystywane w praktyce regulatory to :
- Proporcjonalny P
Rys.3 Charakterystyka skokowa regulatora P
- Proporcjonalno - całkujący PI,
Rys.4 Charakterystyka skokowa regulatora PI
Ti - czas zdwojenia - czas potrzebny na to, aby przy skokowym wymuszeniu podanym na
wejście regulatora PI, część sygnału wyjściowego tego regulatora, wywołana całkowaniem,
stała się równa drugiej części sygnału wyjściowego wywołanej działaniem proporcjonalnym,
dzięki czemu sumaryczny sygnał wyjściowy z regulatora staje się po czasie Ti dwukrotnie
większy ni\
w chwili początkowej.
- Proporcjonalno - ró\
niczkujący PD,
Rys.5 Charakterystyka skokowa regulatora PD
Td  czas wyprzedzania - czas potrzebny na to, aby przy liniowo narastającym wymuszeniu
podanym na wejście regulatora PD, sygnał związany z działaniem proporcjonalnym zrównał
się z sygnałem pochodzącym od działania ró\
niczkującego.
- Proporcjonalno  całkująco - ró\
niczkujący PID.
Rys.6 Charakterystyka skokowa regulatora PID
- Regulator PD z realnym członem ró\
niczkującym
Rys.7 Charakterystyka skokowa regulatora PID
- Regulator PID z realnym członem ró\
niczkującym
Rys.8 Charakterystyka skokowa regulatora PID
2. Wskaz
niki jakości określane na podstawie odpowiedzi skokowej
Charakter przebiegów przejściowych w liniowych układach sterowania bardzo często
jest badany po podaniu funkcji skokowej (jednostkowej) 1(t) na wejście układu. Wówczas
odpowiedz
układu sterowania nazywana jest odpowiedzią skokową. Na rysunku 9
przedstawiona została typowa odpowiedz
skokowa liniowego układu II rzędu.
Rys.9 Odpowiedz
skokowa liniowego układu II rzędu
Na podstawie tej odpowiedzi definiowane są następujące wskaz
niki jakości charakteryzujące liniowe
układy sterowania w dziedzinie czasu:
1. Maksymalne przeregulowanie Mp
gdzie:
y(t) - odpowiedz
skokowa układu,
ymax - maksymalna wartość y(t),
yu - wartość y(t) w stanie ustalonym (yu � ymax).
Maksymalne przeregulowanie często określane jest jako procentowy udział końcowej wartości
odpowiedzi skokowej
Maksymalne przeregulowanie bardzo często wykorzystywane jest do pomiaru stabilności względnej
układu sterowania. Układ z bardzo du\
ym przeregulowanie jest zazwyczaj niepo\
ądany. Na etapie
projektowania układu zazwyczaj określa się wartość tego przeregulowania. Odpowiedz
skokowa
układu z rysunku 2 pokazuje, \
e maksymalne przeregulowanie pojawia się przy pierwszym
przeregulowaniu. W pewnych układach maksymalne przeregulowanie mo\
e pojawiać się w jednym z
następnych pików i jest tak wówczas gdy transmitancja układu posiada nieparzystą liczbę zer w
prawej półpłaszczyz
nie i mogą się wówczas pojawiać pierwsze przeregulowanie przy wartościach
ujemnych.
2. Czas opóz
nienia to definiowany jako czas po którym odpowiedz
skokowa osiąga 50% swojej
wartości końcowej. Pokazane jest to na rysunku 2.
3. Czas narastania tn definiowany jest jako czas potrzebny do wzrostu odpowiedzi skokowej układu
od 10% do 90% wartości ustalonej.
4. Czas ustalania (regulacji) tR definiowany jako czas potrzebny do tego aby przejściowa odpowiedz

skokowa znalazła się i pozostała w pewnej określonej strefie dokładności ( ą1%, ą 2%, itd.,
patrz tabela 1) od wartości ustalonej. Najczęściej jest to 5% wartości ustalonej.
Te cztery powy\
sze wskaz
niki umo\
liwiają bezpośredni pomiar charakterystyk przejściowych
układu sterowania na podstawie odpowiedzi skokowej. Wskaz
niki te są łatwe do określenia
na pomierzonej charakterystyce odpowiedzi skokowej, natomiast trudno jest je wyprowadzić
analitycznie za wyjątkiem układów, których rząd jest mniejszy od trzeciego.
3. Wzory aproksymujące czasowe wskaz
niki jakości
Jednostkowa odpowiedz
skokowa wyznaczona z odwrotnej transformaty Laplace'a
transmitancji
opisana jest wzorem
Na podstawie odpowiednich przekształceń wzoru analitycznego (5) opisującego
odpowiedz
skokową układu II rzędu mo\
liwe jest określenie wzorów pozwalających na
zaprojektowanie układu II rzędu spełniającego odpowiednie wymagania. Poni\
ej znajdują się
wzory aproksymujące czasowe wskaz
niki jakości układu II rzędu:
- amplituda maksymalnego przeregulowania wyra\
ona procentowo
- chwila czasu tp w której pojawia się maksymalne przeregulowanie
- czas opóz
nienia to
- czas narastania tn
Gdzie
�  współczynnik tłumienia
�n  częstotliwość drgań własnych
� - �n * �
- czas ustalania tR (regulacji) według tabeli
4. Dobór nastaw regulatora
W praktycznych zastosowaniach, regulator PID strojony jest w układzie regulacji w którym
akurat jest zastosowany. Reguły strojenia w skrócie mo\
na streścić następująco:
1. Ustalenie wartości Kp celem uzyskania wymaganej prędkości odpowiedzi.
Zwiększanie wzmocnienia proporcjonalnego zwiększa prędkość odpowiedzi i
redukuje uchyb w stanie ustalonym.
2. Dobór sterowania całkującego 1 TI celem osiągnięcia po\
ądanej jakości w stanie
ustalonym (mo\
e zaistnieć konieczność skorygowania wartości wzmocnienia Kp).
Zwiększanie działania całkującego 1 TI pogarsza stabilność, ale słu\
y do
likwidacji uchybu w stanie ustalonym.
3. Dodanie sterowania ró\
niczkującego celem zredukowania przeregulowań i
poprawy czasu regulacji. Zwiększanie stałej ró\
niczkowania poprawia stabilność i
słu\
y do tłumienia oscylacji
Sterowanie proporcjonalne z nastawą KP ma wpływ na zmniejszanie czasu narastania i będzie
zmniejszało uchyb w stanie ustalonym, lecz nigdy nie będzie go eliminowało. Sterowanie
całkujące z nastawą KI ma wpływ na eliminowanie uchybu w stanie ustalonym, lecz pogarsza
odpowiedz
w stanie przejściowym. Sterowanie ró\
niczkujące z nastawą KD ma wpływ na
zwiększenie stabilności układu, zmniejszając przeregulowanie i poprawiając odpowiedz

przejściową. Wpływ nastawy ka\
dego sterowania KP, KD oraz KI na układ zamknięty
zebrany został w tabeli pokazanej poni\
ej
Związki te nie zawsze są dokładnie takie jak podane w tabeli, faktycznie zmiana jednej z tych
zmiennych mo\
e powodować zmianę pozostałych. Z tego powodu tabela ta powinna być
u\
ywana jako odniesienie przy określaniu wartości KP, KI oraz KD.
Przy strojeniu regulatora PID dla danego układu nale\
y wykonać następujące kroki w celu
uzyskania po\
ądanej odpowiedzi :
1. Wyznaczenie odpowiedzi układu regulacji z obiektem, ale bez regulatora i określenie co
powinno zostać poprawione;
2. Dodanie sterowania proporcjonalnego w celu poprawienia czasu narastania i zmniejszenia
uchybu w stanie ustalonym;
3. Dodanie sterowania ró\
niczkującego w celu poprawienia przeregulowania;
4. Dodanie sterowania całkującego w celu wyeliminowania uchybu w stanie ustalonym;
5. Dostrojenie ka\
dej z nastaw KP, TI oraz TD a\
uzyska się po\
ądaną odpowiedz
całego
układu.
Zawsze mo\
na posiłkować się tabelą pokazaną w tym opracowaniu, aby odszukać na jakie
wielkości charakterystyczne wpływają poszczególne sterowania. Nie jest konieczne
zastosowanie wszystkich trzech elementów regulatora (proporcjonalnego, ró\
niczkującego,
oraz całkującego) w pojedynczym układzie. Dla przykładu, jeśli regulator PI daje
wystarczającą odpowiedz
, wówczas nie ma potrzeby stosowania regulatora ró\
niczkującego
w układzie. Nale\
y stosować mo\
liwie najprostszy regulator.
Dla ka\
dego procesu istnieje mo\
liwość ścisłej analizy teoretycznej układów sterowania,
która pozwala na dowolne wyznaczenie właściwości projektowanego układu, metodyka taka
nie jest jednak przydatna w praktyce, gdy\
w tym przypadku przy dobieraniu nastaw
regulatorów bardzo rzadko dysponuje się dokładnymi danymi dotyczącymi obiektu. Zadanie
doboru nastaw regulatorów polega na takim ustaleniu wartości parametrów, aby otrzymać
zadowalające działanie układu sterowania.
Pomiary własności dynamicznych obiektów regulacji metodą skoku jednostkowego
Optymalne nastawy regulatorów opracowywane są zazwyczaj w postaci tabel, wykresów,
wzorów empirycznych zwykle dla obiektów podzielonych na dwie klasy: obiekty statyczne i
obiekty astatyczne, których charakterystyki aproksymuje się następującymi transmitancjami :
- obiekty statyczne - czyli takie, w których wielkość sterowana (regulowana)  y
osiąga stan ustalony w otwartym układzie sterowania (bez pomocy
regulatora).W obiektach tych po pewnym czasie od zaistnienia zmiany
wielkości wejściowej na wyjście samoczynnie ustala się nowa wartość:
(1)
- obiekty astatyczne - czyli takie, w których wielkość sterowana  y nie mo\
e
osiągnąć stanu ustalonego bez pomocy regulatora:
(2)
Sposób wyznaczania parametrów modelu K, T, To odwzorowującego obiekt na podstawie
odpowiedzi na skok jednostkowy pokazano na rysunku
Rys. 10. Sposób określania parametrów K, T, T0 na podstawie odpowiedzi skokowej
(jednostkowej) dla (a) obiektu statycznego, (b) obiektu astatycznego
Gdzie
K  zastępczy współczynnik proporcjonalności obiektu
T0  zastępcze opóz
nienie obiektu
T  zastępcza stała czasowa obiektu
Metody doboru nastaw regulatorów według zasad Zieglera-Nicholsa
Na bazie obserwacji eksperymentalnych strategii strojenia regulatorów PID w procesach
przemysłowych, Ziegler i Nichols zaproponowali dwie metody doboru nastaw. Metody te
wymagają pomiaru odpowiedzi układu i są powszechnie stosowane dla układów typu 0
najczęściej spotykanych w układach sterowania (np. sterowanie poziomem, temperaturą,
ciśnieniem, przepływem, itd.). Metody doboru nastaw opracowane przez Zieglera i Nicholsa
opierająca się odpowiedzi skokowej i mo\
liwe są do zastosowania w tych układach w których
odpowiedz
skokowa układu otwartego jest bez przeregulowań tak jak ta pokazana na rysunku
a. Ziegler i Nichols opracowali dwie metody strojenia regulatorów dla takich modeli.
Metoda bazująca na odpowiedzi skokowej
Ziegler i Nichols zauwa\
yli, \
e odpowiedz
skokowa większości układów sterowania ma
kształt podobny do tego z rysunku 10a. Krzywa ta mo\
e być otrzymana z danych
eksperymentalnych lub symulacji dynamicznej obiektu. Krzywa o kształcie S jest
charakterystyczna dla układów wy\
szych rzędów.
Transmitancja (1) aproksymuje układy wy\
szych rzędów prostym układem I rzędu z
dodatkowym opóz
nieniem To wyra\
onym w sekundach. Stałe w równaniu (1) mogą być
określone z odpowiedzi skokowej procesu. Jeśli styczna narysowana jest w punkcie
przegięcia krzywej odpowiedzi, wówczas nachylenie linii jest wyznaczane ze wzoru R=K/T, a
przecięcie stycznej z osią czasu określa czas opóz
nienia To.
W pierwszej metodzie wybór parametrów regulatora opiera się na współczynniku zanikania
równym w przybli\
eniu 0.25. Oznacza to, \
e dominująca składowa przejściowa zanika do
jednej czwartej swojej wartości maksymalnej po jednym okresie oscylacji (rys. 11a). Takie
zanikanie odpowiada współczynnikowi ś = 0.21 w układzie II rzędu i wartość ta ustalona
została na zasadzie kompromisu pomiędzy szybką odpowiedzią i wystarczającym zapasem
stabilności.
Autorzy symulowali równania dla ró\
nych układów na komputerze analogowym i stroili
parametry regulatorów, a\
uzyskali odpowiedzi przejściowe zanikające do 25% poprzedniej
wartości w jednym okresie. Metoda Zieglera-Nicholsa bazująca na odpowiedzi skokowej daje
dobre rezultaty gdy spełniony jest następujący warunek:
Rys. 13. Przebiegi czasowe (a) kwadratowy współczynnik zanikania, (b) układ na granicy
stabilności
Metoda z wyznaczaniem wzmocnienia krytycznego
W praktyce in\
ynierskiej zdarza się, \
e transmitancja obiektu regulacji nie jest znana i nie ma
mo\
liwości jej wyznaczenia, a mimo to regulator nale\
y zastosować i dobrać jego nastawy.
Wówczas mo\
na wykorzystać drugą zasadę Zieglera-Nicholsa pozwalającą dobrać nastawy
regulatora bez znajomości transmitancji obiektu. Z zasady tej wynika następujący tok
postępowania:
- regulator zainstalowany przy obiekcie nale\
y nastawić na działanie proporcjonalne P
i zwiększać stopniowo współczynnik wzmocnienia kp regulatora dochodząc do
granicy stabilności
- w stanie wzbudzonych oscylacji nale\
y zmierzyć ich okres Tosc oraz współczynnik
wzmocnienia kp=kkr , przy którym powstały oscylacje
- zale\
nie od typu regulatora nale\
y przyjąć parametry z tabeli 1.
Oczywiście, podana zasada tu nie zapewnia optymalnych nastaw regulatora, a pozwala
jedynie dobrać nastawy, przy których układ regulacji mo\
e poprawnie działać.
Przykład 1
Obiektem regulacji jest komora grzejna o transmitancji :
k exp(- sT0 )
o
G(s) = k = 0,5 C / A To = 15s T = 300s
1+ sT
Obliczyć optymalne nastawy regulatora PID współpracującego z tym obiektem, tak aby przy
20% przeregulowaniu przebiegu przejściowego czas regulacji tr był minimalny.
Korzystamy z tabeli 3  kryterium 20% przeregulowania i minimum czasu regulacji tr. Z
tabeli otrzymujemy :
1,2 1,2
k = = = 48 A /o C
p
To 15
k 0,5�"
T 300
Ti = 2To = 2 �"15s = 30s
Td = 0,4To = 0,4 �"15s = 6s