M3 errata do podrecznika z 2010


Malaga K., Mikroekonomia. Oswajanie z matematyką, C.H. Beck,
Warszawa, 2010
Korekta błędów i sugerowane zmiany
s. 5 w. 9 i 10 od góry
Jest:
1.4. Funkcja popytu Hicksa& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 42
1.5. Funkcja popytu Marshalla& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ... 61
Powinno być:
1.4. Funkcja popytu Marshalla & & ..& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 42
1.5. Funkcja popytu Hicksa & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ... 61
s.13 w. 1-5 od dołu
Jest
& Przedmiotem prowadzonych w nim rozważań są w szczególności: relacja preferencji
konsumenta, funkcja użyteczności jako liczbowa charakterystyka relacji preferencji
konsumenta, funkcja popytu Hicksa jako rozwiązanie optymalne zadania maksymalizacji
użyteczności konsumpcji, funkcja popytu Marshalla jako rozwiązanie optymalne zadania
minimalizacji wydatków konsumenta, &
Powinno być:
& Przedmiotem prowadzonych w nim rozważań są w szczególności: relacja preferencji
konsumenta, funkcja użyteczności jako liczbowa charakterystyka relacji preferencji
konsumenta, funkcja popytu Marshalla jako rozwiązanie optymalne zadania maksymalizacji
użyteczności konsumpcji, funkcja popytu Hicksa jako rozwiązanie optymalne zadania
minimalizacji wydatków konsumenta, &
s. 22
Na Rys. 1.3 proszę zacieniować zbiór B (prostokąt) tak jak na sąsiednich rysunkach.
s.41
Tabela 1.4
Jest:
a -1 a
Addytywna
ć ć
a1 x1 a1 x1
a e12 (x) =

s12 (x) =
u(x1, x2 ) = a1x1 + a2xa
2
a2 x2 a2 x2
Ł ł Ł ł
ai ,a > 0,
a -1 a
ć ć
i = 1,2 a2 x2 a2 x2

s12 (x) = e (x) =
21
a1 x1 a1 x1
Ł ł Ł ł
1
CES
x1 x1
a1 g -1 a1 g
s12 (x) = s12 (x) =
g g
q
a2 x2 -1 a2 x2
g g
g
u(x) =(a1x1 + a2 x2 )
1
x2 x2
a2 g -1 a2 g
ai > 0, xi R+ ,q > 0,
s12 (x) = s12 (x) =
g g
a1 x1 -1 a1 x1
i = 1,2,g (-1,0) (0,+Ą)
Powinno być:
a -1 a
Addytywna
ć ć
a1 x1 a1 x1
a e12 (x) =

s12 (x) =
u(x1, x2 ) = a1x1 + a2xa
2
a2 x2 a2 x2
Ł ł Ł ł
ai ,a > 0,
a -1 a
ć
i = 1,2 a2 x2
a2 ć x2

e (x) =
s21(x) =
21
a1 x1
a1 x1 Ł ł
Ł ł
g
CES
x1
a1 g -1 a1 x1
s12 (x) = e12 (x) =
g
q
a2 x2 -1
a2 g
x2
g g
g
u(x) =(a1x1 + a2 x2 )
g g
1
a2 x2 -1 a2 x2
ai > 0, xi R+ ,q > 0,
s21(x) = e12 (x) =
a1 g -1 a1 g
x1 x1
i = 1,2,g (-1,0) (0,+Ą)
s. 42, 14 w. od dołu
Jest:
1.4. Funkcja popytu Hicksa
Powinno być:
1.4. Funkcja popytu Marshalla
s.48 wzór (1.58)
Jest:
d2 (x1)
< 0 warunek dostateczny,
d x1 x1 = x1
Powinno być:
d2 (x1)
< 0 warunek dostateczny,
2
d x1 x1 = x1
s.52, Uwaga 1.23
Jest:
Wektorowa funkcja popytu konsumenta j(p, I ) = (j1( p1, p2 , I ),j2 ( p1, p2 , I )) nazywana jest
funkcją popytu Hicksa.
2
Powinno być:
Wektorowa funkcja popytu konsumenta j(p, I ) = (j1( p1, p2 , I ),j2 ( p1, p2 , I )) nazywana jest
funkcją popytu Marshalla.
s.52, w. 18-19 od góry
Jest:
Przeanalizujmy ważniejsze własności funkcji popytu Hicksa oraz pośredniej funkcji
użyteczności.
Powinno być:
Przeanalizujmy ważniejsze własności funkcji popytu Marshalla oraz pośredniej funkcji
użyteczności
s. 61, 7 w. od dołu
Jest:
1.5. Funkcja popytu Marshalla
Powinno być:
1.5. Funkcja popytu Hicksa
s. 66 wzór (1.133)
Jest:
d2 g(x1)
> 0 - warunek dostateczny.
~
d x1 x1 = x1
Powinno być:
d2 g(x1)
> 0 - warunek dostateczny.
2
x1
d x1 x1 = ~
s. 67 wzór (1.144)
Jest:
d2 g(x1)
> 0 - warunek dostateczny.
~
d x1 x1 = x1
Powinno być:
d2 g(x1)
> 0 - warunek dostateczny.
2
x1
d x1 x1 = ~
s. 69, 7 w. od dołu
Jest:
Df. 1.43 Funkcją popytu Marshalla lub funkcją kompensacyjnego popytu nazywać&
Powinno być:
Df. 1.43 Funkcją popytu Hicksa lub funkcją kompensacyjnego popytu nazywać&
s.71, 3 w. od góry
Jest:
Sprawdzmy najpierw czy funkcje popytu Marshalla są jednorodne stopnia 0 &
Powinno być:
Sprawdzmy najpierw czy funkcje popytu Hicksa są jednorodne stopnia 0 &
s.71, 4 w. od dołu
3
Jest:
Zweryfikujmy, czy dla obu funkcji Marshalla zachodzi własność 6.
Powinno być:
Zweryfikujmy, czy dla obu funkcji Hicksa zachodzi własność 6.
s. 72, 5 w. od góry
Jest:
Sprawdzmy, czy dla obu funkcji Marshalla zachodzi własność 7.
Powinno być:
Sprawdzmy, czy dla obu funkcji popytu Hicksa zachodzi własność 7.
s. 76, 18 w. od dołu
Jest:
Funkcja popytu Hicksa jako rozwiązanie optymalne zadania maksymalizacji użyteczności ..
Powinno być:
Funkcja popytu Marshalla jako rozwiązanie optymalne zadania maksymalizacji użyteczności .
s. 77, 1 w. od góry
Jest:
Funkcja kompensacyjnego popytu (funkcja Marshalla) jako rozwiązanie optymalne zadania
Powinno być:
Funkcja kompensacyjnego popytu (funkcja popytu Hicksa) jako rozwiązanie optymalne
zadania
s. 77, w. 23-26
Jest:
6. Jakie są zasadnicze własności funkcji popytu Hicksa i pośredniej funkcji użyteczności
konsumenta?
7. Jakie są zasadnicze własności funkcji popytu Marshalla i funkcji wydatków
konsumenta?
Powinno być:
6. Jakie są zasadnicze własności funkcji popytu Marshalla i pośredniej funkcji
użyteczności konsumenta?
7. Jakie są zasadnicze własności funkcji popytu Hicksa i funkcji wydatków konsumenta?
s. 79, 17 w. od dołu
Jest:
Z7. Sprawdz własności funkcji popytu Hicksa, będącymi rozwiązaniami optymalnymi zadań
&
Powinno być:
Z7. Sprawdz własności funkcji popytu Marshalla, będącymi rozwiązaniami optymalnymi
zadań &
s. 79, 8 w. od dołu
Jest:
Z9. Sprawdz własności funkcji popytu Marshalla będącymi rozwiązaniami optymalnymi
Powinno być:
Z9. Sprawdz własności funkcji popytu Hicksa będącymi rozwiązaniami optymalnymi &
4
s. 116
Jest:
f ((1 + Dl)x) - f (x) f ((l + Dl)x) - f (lx)
f (x) f (x)
El (x1, x2 ) = lim = lim lim =
Dl0 Dl l1 Dl0 Dl
(3.7)
l l
f ((l + Dl)x) - f (lx) l śf (lx) l
= lim lim = lim ,
l1 Dl0 Dl f (lx) l1 śl f (lx)
powinno być:
f ((1+ Dl)x) - f (x) f ((l + Dl)x) - f (lx)
f (x) f (lx)
El (x1, x2 ) = lim = lim lim =
Dl0 Dl l1 Dl0 Dl
(3.7)
l l
f ((l + Dl)x) - f (lx) l śf (lx) l
= lim lim = lim ,
l1 Dl0 l1
Dl f (lx) śl f (lx)
s. 118
(interpretacja Df. 3.10)
Jest:
które określa o ile w przybliżeniu % należy zwiększyć nakład 2-ego czynnika produkcji w
2
wektorze nakładów x = (x1, x2 ) R+ , gdy nakład 1-ego czynnika produkcji zmniejszyła się o
1%, tak, aby wielkość produkcji nie uległa zmianie i pozostała na poziomie y0 = const. > 0
jednostek produktu.
Powinno być:
które określa o ile w przybliżeniu % należy zwiększyć nakład 2-ego czynnika produkcji w
2
wektorze nakładów x = (x1, x2 ) R+ , gdy nakład 1-ego czynnika produkcji zmniejszył się o
1%, tak, aby wielkość produkcji nie uległa zmianie i pozostała na poziomie y0 = const. > 0
jednostek produktu.
s. 119, Tabela 3.1
Jest:
Potęgowa
a1x2
s12 (x1, x2 ) =
śf (x1, x2 )
a1-1
a2 x1
= a1ax1 xa2
2
śx1
5
a1
śf (x1, x2 ) a2 x1
a1
f (x1, x2 ) = ax1 xa2
2 = a ax1 xa2-1 s (x1, x2 ) =
21
śx2 2 2 a1x2
a,ai > 0,
i = 1,2
Cobba-Douglasa
a1x2
s12 (x1, x2 ) =
a1
śf (x1, x2 )
a1-1
f (x1, x2 ) = ax1 xa2
a2 x1
2 = a1ax1 xa2
2
śx1
a,ai > 0, a1 + a2 = 1,
a2 x1
s (x1, x2 ) =
i = 1,2 śf (x1, x2 ) 21
a1
a1x2
= a ax1 xa2-1
śx2 2 2
Powinno być: zamiast a1, a2 w 3 kolumnie powinny być: a1,a2 - czyli:
Potęgowa
a1x2
s12 (x1, x2 ) =
a1
śf (x1, x2 )
a1-1
f (x1, x2 ) = ax1 xa2
a2 x1
2 = a1ax1 xa2
2
śx1
a,ai > 0,
a2 x1
s (x1, x2 ) =
i = 1,2 śf (x1, x2 )
a1 21
= a ax1 xa2-1
a1x2
śx2 2 2
Cobba-Douglasa
a1x2
s12 (x1, x2 ) =
a1
śf (x1, x2 )
a1-1
f (x1, x2 ) = ax1 xa2
a2 x1
2 = a1ax1 xa2
2
śx1
a,ai > 0, a1 + a = 1,
2
a2 x1
s (x1, x2 ) =
śf (x1, x2 )
i =1,2 a1 21
= a ax1 xa2-1
a1x2
śx2 2 2
s.124, 8 wiersz dół
Jest:
2
x = (x1, x2 ) R+ - wektor nakładów wektor czynników produkcji,
Powinno być:
2
x = (x1, x2 ) R+ - wektor nakładów czynników produkcji,
s. 125 wzór (3.45)
Jest:
z
śP(x1, x2 ) śR(x1, x2 ) śk (x1, x2 )
= 0 p =
śxi x = x śxi x = x śxi x = x
śf (x1, x2 )
p = ci , i = 1,2,
śxi x = x
Powinno być:
6
z
śP(x1, x2 ) śr(x1, x2 ) śk (x1, x2 )
= 0 =
śxi x = x śxi x = x śxi x = x
śf (x1, x2 )
p = ci , i = 1,2,
śxi x = x
s.126, Df.3.25
Jest:
Funkcją warunkowego popytu na czynniki produkcji nazywamy odwzorowanie
3 2
x : int R+ int R+ , które dowolnym cenom produktu czynników produkcji
c = (c1, c2 ) > (0, 0) i dowolnemu poziomowi produkcji y > 0 przyporządkowuje rozwiązanie
optymalne zadania (Z2k) postaci:
Powinno być:
Funkcją warunkowego popytu na czynniki produkcji nazywamy odwzorowanie
3 2
x : int R+ int R+ , które dowolnym cenom czynników produkcji c = (c1, c2 ) > (0, 0) i
dowolnemu poziomowi produkcji y > 0 przyporządkowuje rozwiązanie optymalne zadania
(Z2k) postaci:
s. 127 Tw. 3.5
Jest:
(2) "l > 0 m(lc, y) = lm(lc, y), co oznacza, że funkcja minimalnego kosztu wytworzenia
przez przedsiębiorstwo y jednostek produktu jest dodatnio jednorodna stopnia 1 względem
cen czynników produkcji,
Powinno być:
(2) "l > 0 m(lc, y) = lm(c, y), co oznacza, że funkcja minimalnego kosztu wytworzenia
przez przedsiębiorstwo y jednostek produktu jest dodatnio jednorodna stopnia 1 względem
cen czynników produkcji,
s. 134
(zmiana numeracji i kolejności poleceń zgodna z kolejnością poleceń podaną w przykładzie
3.1)
Jest:
Ad 8. Zauważmy, że funkcja warunkowego popytu na czynnik produkcji nie zależy od ceny
czynnika produkcji, nie jest ona zatem jednorodna stopnia 0 względem ceny czynnika
produkcji.
Stopień jednorodności tej funkcji względem wielkości produkcji:
2
y
~
"l > 0 x = x (ly) = l2 ć = l2x ( y), (3.82)

a
Ł ł
wynosi:
7
q = 2 > 0. (3.83)
Funkcja zmiennych kosztów produkcji jest dodatnio jednorodna stopnia pierwszego
względem ceny czynnika produkcji, gdyż:
2
y
z
"l > 0 k (lc1, y) = lc1ć . (3.84)

a
Ł ł
Funkcja całkowitych kosztów produkcji jest dodatnio jednorodna stopnia 1 względem
stałych i zmiennych kosztów produkcji, gdyż:
2 2
ć
y y
c
"l > 0 k (lc1, lc2 , y) = lc1ć + lc2 = lc1ć + c2 .(3.85)


a a
Ł ł Ł ł
Ł ł
Funkcja zmiennych kosztów produkcji jest dodatnio jednorodna stopnia q = 2
względem poziomu produkcji, gdyż:
2
y
z
"l > 0 k (c1,ly) = l2c1ć . (3.86)

a
Ł ł
Ad 9. W zadaniu (Z2k), ustalonemu poziomowi produkcji odpowiada dokładnie jeden poziom
nakładu czynnika produkcji, który jest jednocześnie rozwiązaniem optymalnym tego zadania.
Jest to sytuacja, gdy zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem jednoelementowym. W
takim przypadku, niezależnie od kryterium optymalności jedyne rozwiązanie dopuszczalne
takiego zadania jest jednocześnie jedynym jego rozwiązaniem optymalnym.
Powinno być:
Ad 8. W zadaniu (Z2k), ustalonemu poziomowi produkcji odpowiada dokładnie jeden poziom
nakładu czynnika produkcji, który jest jednocześnie rozwiązaniem optymalnym tego zadania.
Jest to sytuacja, gdy zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem jednoelementowym. W
takim przypadku, niezależnie od kryterium optymalności jedyne rozwiązanie dopuszczalne
takiego zadania jest jednocześnie jedynym jego rozwiązaniem optymalnym.
Ad 9. Zauważmy, że funkcja warunkowego popytu na czynnik produkcji nie zależy od ceny
czynnika produkcji, nie jest ona zatem jednorodna stopnia 0 względem ceny czynnika
produkcji.
Stopień jednorodności tej funkcji względem wielkości produkcji:
2
y
~
"l > 0 x = x (ly) = l2 ć = l2x ( y), (3.82)

a
Ł ł
wynosi:
q = 2 > 0. (3.83)
8
Funkcja zmiennych kosztów produkcji jest dodatnio jednorodna stopnia pierwszego
względem ceny czynnika produkcji, gdyż:
2
y
z
"l > 0 k (lc1, y) = lc1ć . (3.84)

a
Ł ł
Funkcja całkowitych kosztów produkcji jest dodatnio jednorodna stopnia 1 względem
stałych i zmiennych kosztów produkcji, gdyż:
2 2
ć
y y
c
"l > 0 k (lc1, lc2 , y) = lc1ć + lc2 = lc1ć + c2 .(3.85)


a a
Ł ł Ł ł
Ł ł
Funkcja zmiennych kosztów produkcji jest dodatnio jednorodna stopnia q = 2
względem poziomu produkcji, gdyż:
2
y
z
"l > 0 k (c1,ly) = l2c1ć . (3.86)

a
Ł ł
s.136, Wzór (3.92)
Jest:
yc1
dP( y) ć
lim = lim p - 2 = -Ą < p < 0,

y+Ą y+Ą
dy
a2
Ł ł
Powinno być:
yc1
dP( y) ć
lim = lim p - 2 = -Ą < 0.

y+Ą y+Ą
dy
a2
Ł ł
s.136, Wzór (3.96)
Jest:
2
ć
p2a2 pa

P( y) = py + k(y) = - c1 - c2.
2c1 Ł 2c1 ł
Powinno być:
2
ć
p2a2 pa

P( y) = py - k( y) = - c1 - c2.
2c1 Ł 2c1 ł
s.137, Wzór (3.98)
Jest:
d2P( y) c1
= -2 < 0.
dy y = y a
Powinno być:
9
2
d P( y) c1
= -2 < 0.
dy y = y
a2
s.139, 5 w. od góry
Jest:
2
x = (x1, x2 ) R+ - wektor nakładów wektor czynników produkcji,
Powinno być:
2
x = (x1, x2 ) R+ - wektor nakładów czynników produkcji,
s. 139, Wzór (3.109)
Jest:
ć ć
śf (x) śf (x)
x1 p - c1 - l1 + x2 - c2 - l2 = 0,

śx1 x = x śx2 x = x
Ł ł Ł ł
Powinno być:
ć ć
śf (x) śf (x)
x1 p - c1 - l1 + x2 p - c2 - l2 = 0,

śx1 x = x śx2 x = x
Ł ł Ł ł
s. 143, Wzór (3.137)
Jest:
m(c, y)) = k( y).
Powinno być:
m(c, y) = k( y).
s. 146, 22 i 23 wiersz od dołu
Jest:
9. Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku (Z3k-k).
10. Przedstaw ilustrację geometryczną zadania maksymalizacji zysku (Z3k-k).
Powinno być:
9. Przedstaw ilustrację geometryczną zadania maksymalizacji zysku (Z3k-k).
10. Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku (Z3k-k).
(Wówczas Ad.9 na str. 151 i Ad. 10 na str. 152 pozostawić bez zmian).
10
s.146, 3 w. od dołu
Jest:
& nakładach czynnika produkcji zysk krańcowy jest niższy od krańcowego kosztu produkcji,
Powinno być:
& nakładach czynnika produkcji przychód krańcowy jest niższy od krańcowego kosztu
produkcji,
s. 147, Wzór (3.158)
Jest:
ć
df (x)

x - c1 - l = 0,

dx x = x
Ł ł
Powinno być:
ć
d f (x)

x p - c1 - l = 0,

d x x = x
Ł ł
s.148, 9 w. od góry
Jest:
2
P : R+ R1
Powinno być:
1
P : R+ R1
s. 149, Wzór (3.166)
Jest:
ć
df (x)

x - c1 - l = 0,

dx x = x
Ł ł
Powinno być:
ć
d f (x)

x p - c1 - l = 0,

d x x = x
Ł ł
11
s. 151, 8 i 9 w. od dołu
Jest:
Funkcja zmiennych kosztów produkcji jest funkcja dodatnio jednorodna stopnia q = 2
względem poziomu produkcji, gdyż:
Powinno być:
Funkcja zmiennych kosztów produkcji jest funkcją dodatnio jednorodna stopnia q = 2
względem poziomu produkcji, gdyż:
s. 153, Wzór (3.186)
Jest:
yc1
dP( y) ć
lim = lim p - 2 = -Ą < p < 0,

y+Ą y+Ą
dy
a2
Ł ł
Powinno być:
yc1
d P( y) ć
lim = lim p - 2 = -Ą < 0.

y+Ą y+Ą
d y
a2
Ł ł
s. 153 w wierszu pod wzorem (3.189)
Jest:
d f (x)
gdzie: l = ł 0 &
1
x = x
2
d ab
Powinno być:
d y
gdzie: l = ł 0 &
1
y = y
2
d ab
s. 153, 15 w. od dołu
Jest:
2
P : R+ R1
Powinno być:
1
P : R+ R1
s. 154, w. 2 od góry
12
Jest:
(3.186) ma &
Powinno być
(3.188) ma &
s. 154, w. 5 od góry
Jest:
2
P : R+ R1
Powinno być:
1
P : R+ R1
s. 154, wzór (3.194)
Jest:
2
ć
p2a2 pa

P( y) = py + k(y) = - c1 - c2.
2c1 Ł 2c1 ł
Powinno być:
2
ć
p2a2 pa

P( y) = py - k( y) = - c1 - c2.
2c1 Ł 2c1 ł
s. 154, wzór (3.196)
Jest:
ć ć
l ap ap

"l > 0 x = h(lp,lc1) = = = h( p,c1),

2lc1 2c1
Ł ł Ł ł
Powinno być:
ć ć
l ap ap

"l > 0 y = h(lp,lc1) = = = h( p,c1),

2lc1 2c1
Ł ł Ł ł
s. 155, 11 w. od góry
Jest:
2
x = (x1, x2 ) R+ - wektor nakładów wektor czynników produkcji,
Powinno być:
13
2
x = (x1, x2 ) R+ - wektor nakładów czynników produkcji,
s. 156, wzór (3.204)
Jest:
c
śP(x1, x2 ) śr(x1, x2 ) śk (x1, x2 )
x = x = 0 =
śxi śxi x = x śxi x = x
z
śr(x1, x2 ) śk (x1, x2 )
= i = 1,2,
śxi x = x śxi x = x
Powinno być:
c
śP(x1, x2 ) śr(x1, x2 ) śk (x1, x2 )
= 0 =
śxi x = x śxi x = x śxi x = x
z
śr(x1, x2 ) śk (x1, x2 )
= i = 1,2,
śxi x = x śxi x = x
s. 159, 17 w. od góry
Jest:
1
c
4
P(x) = r(x) - k (x) = ax - ax2 - zysk jako funkcja nakładu czynnika produkcji,
Powinno być:
1
c
4
P(x) = r(x) - k (x) = ax - ax2 - c2 - zysk jako funkcja nakładu czynnika produkcji,
s. 163, wzór (3.232)
Jest:
1
4
ax = y,
Powinno być:
1
2
ax = y,
s. 163, wzór (3.234)
jest:
4
y
ć
~
x =

a
Ł ł
14
Powinno być:
2
y
ć
~
x =

a
Ł ł
s. 165, wzory (3.240) i (3.241)
Jest:
1 1
ć
-
dP( y) 1
2 2
lim = lim a y - 4a-3 y3 = +Ą, (3.240)

dy 2
y0+ x0+
Ł ł
oraz
1 1
ć
-
dP( y) 1
2 2
lim = lim a y - 4a-3 y3 = -Ą. (3.241)

y+Ą x+Ą
dy 2
Ł ł
Powinno być:
1 1
ć
-
dP( y) 1
2 2
lim = lim a y - 4a-3 y3 = +Ą, (3.240)

dy 2
y0+ y0+
Ł ł
oraz
1 1
ć
-
dP( y) 1
2 2
lim = lim a y - 4a-3 y3 = -Ą. (3.241)

y+Ą y+Ą
dy 2
Ł ł
s. 166, wzór (3.247)
Jest:
1 3 6
- -
d2P( y) 1
2
2 2 7
= - a y -12a-3 y < 0, gdyż: y = a2 > 0.
dy y = y 4
Powinno być:
1 3 6
2
- -
d P( y) 1
2 2 7
= - a y -12a-3 y2 < 0, gdyż: y = a2 > 0.
y = y 4
dy2
s. 166, wzór (3.250)
Jest:
4
4 3 12
ć
-
y
ć
~
2-7 7
x = = = 2 = x.


a
Ł ł
Ł ł
15
Powinno być:
2
2 6 12
ć
-
y
ć
~
2-7 7
x = = = 2 = x.


a
Ł ł
Ł ł
s. 166, 7 w. od dołu
Jest:
2
x = (x1, x2 ) R+ - wektor nakładów wektor czynników produkcji,
Powinno być:
2
x = (x1, x2 ) R+ - wektor nakładów czynników produkcji,
s. 167, 9 w. od góry
Jest:
c
P(x1, x2 ) = R(x1, x2 ) - k (x1, x2 ) = p( f (x1, x2 ) f (x1, x2 ) - (c1(x1)x1 + c2 (x2 )x2 + c3 )
Powinno być:
c
P(x1, x2 ) = r(x1, x2 ) - k (x1, x2 ) = p( f (x1, x2 ) f (x1, x2 ) - (c1(x1)x1 + c2 (x2 )x2 + c3)
s. 167, 5 w. od dołu
Jest:
2
Gdyby wektor x = (x1, x2 ) int R+ spełniał warunek ograniczający (3.255), byłby &
Powinno być:
2
Gdyby wektor x = (x1, x2 ) int R+ spełniał warunek ograniczający (3.253), byłby &
s. 173, 5 w. od góry
Jest:
1
c
4
P(x) = r(x) - k (x) = ax - ax2 - zysk jako funkcja nakładu czynnika produkcji,
Powinno być:
1
c
4
P(x) = r(x) - k (x) = ax - ax2 - c2 - zysk jako funkcja nakładu czynnika produkcji,
s. 174, wzór (3.309) i dalej
Jest:
16
l (d - x) = 0. (3.309)
12
-
G
7
Jeżeli x > 0, l = 0 , to x = x = 2 > 0. Natomiast gdy x > 0, l > 0 , to
L
x = x = d > 0.
Powinno być:
l (b - x) = 0. (3.309)
12
-
G
7
Jeżeli x > 0, l = 0 , to x = x = 2 > 0. Natomiast gdy x > 0, l > 0 , to
L
x = x = b > 0.
s. 175, Prawidłowy Rys. 3.10a
c
k (x)
r(x)
c
k (x)
r (x)
c2
x
Ć
x1
Ć
xL =b xG b2 x2
17
s. 175, Prawidłowy Rys.3.10c
dr(x)
c
d k (x)
dx
d x
dkc(x)
dx
c
d k (x)
= c1
d x
d r(x)
d x
x
Ć
x1
Ć
xL =b xG b2 x2
s. 176, wzór (3.315)
Jest:
4
y
ć
~
x = ,

a
Ł ł
Powinno być:
2
y
ć
~
x = ,

a
Ł ł
s. 178, wzór (3.321)
Jest:
c
ć
dr(y) dk ( y)

y - - l = 0,

dx y = y dy y = y
Ł ł
Powinno być:
ć
d r( y) d k(y)

y - - l = 0,

d y y = y d y y = y
Ł ł
18
s. 197, wzór (4.61)
Jest:
ć 2a - (g1 + g ) a + (g1 + g ) b + a(g1 + g )
2 2 2
p = a - b ( y1 + y2 ) = a - b = = > 0

3b 3 3a
Ł ł
Powinno być:
ć 2a - (g1 + g ) a + (g1 + g ) b + a(g1 + g )
2 2 2
p = a - b (y1 + y2 ) = a - b = = > 0

3b 3 3a
Ł ł
s. 197, wzór (4.63)
Jest:
b + a(g1 + g ) b - a(g1 + g ) - 3d
2 2
= ,
3a 3c
Powinno być:
b + a(g1 + g ) 2b - a(g1 + g ) - 3d
2 2
= ,
3a 3c
s. 197, wzór (4.64)
Jest:
ab - 3ad - bc
g1 + g =
2
a(a - c)
Powinno być:
2ab - 3ad - bc
g1 + g =
2
a(a + c)
s. 199, wzór (4.75)
Jest:
b - d ad + bc ad + bc
0, b, d,
s
p yd Ł y yd > ys ,

ę ę ę
a + c a + c a + c
ł ł ł
Powinno być:
b - d ad + bc ad + bc
0, d,
p yd ,b Ł ys yd > ys ,

ę ę ę
a + c a + c a + c
ł ł ł
19
s. 199, wzór (4.77)
Jest:
b - d b ad + bc ad + bc ad + bc
ć ł ć ł
s s
p , yd ,0 Ł y , y > yd ,

ś ę ś
a + c a a + c a + c a
Ł ł Ł
Powinno być:
b - d b ad + bc ad + bc ad + bc
ć ł 0, ć ł
s s
p , yd Ł y , y > yd ,

ś ę ś
a + c a a + c a + c a
Ł ł Ł
s. 201, wzór (4.89)
Jest:
yd = h( p( ys )) = -ap( ys )a + b, a,b > 0,a (0,1).
Powinno być:
yd = h( p( ys )) = -ap( ys )a + b, a,b > 0,a (0,1).
s. 204, wzór (4.114)
Jest:
ć

z s z
1 dk (y ) dk ( ys )
s
lim p( y ) = lim =
s

1
y = y
E( yd )-Ą e ( yd )-Ą dys dys ys = y ,
1+
E( yd )
Ł ł
Powinno być:
ć

z z
1 dk ( ys ) dk ( ys )
s
lim p( y ) = lim =
s

1
y = y
E( yd )-Ą E( yd )-Ą dys dys ys = y ,
1+
E( yd )
Ł ł
s. 206, wzór (4.124)
Jest:
b
+ g
(a - g ) a + g b + ag
a
p( y) = g(y) = a - by = a - b = = = > 0
2
2b 2 2
a
Powinno być:
20
b
+ g
(a - g ) a + g b + ag
a
p( y) = g(y) = a - by = a - b = = = > 0
2b 2 2 2a
s. 209, wzór (4.141)
Jest:
"i = 1,2 yis = yid = yi.
Powinno być:
"i =1,2 yis = yid = yi .
s. 209, wzór (4.142)
Jest:
c c
P( y1, y2 ) = r1(y1) + r2 (y2 ) - k ( y) = {p1(y1)y1 + p2( y2 ) - k (y)} max
Powinno być:
c c
P( y1, y2 ) = r1(y1) + r2 (y2 ) - k ( y) = {p1(y1)y1 + p2( y2) y2 - k (y)} max
s. 215, wzór (4.195)
Jest
ś2P( y1, y2 )
= -2 f2 y < 0,
2
śy2 y = y
Powinno być:
ś2P(y1, y2 )
= -2 f2 < 0,
2
y = y
śy2
s. 215, pod wzorem (4.197)
Jest:
Ponieważ det H ( y1, y2 ) = 4 f1 f2 > 0 , więc dla poziomów produkcji podanych w
warunkach (4.190) i (4.192), monopolista osiąga maksymalny zysk.
Powinno być:
Ponieważ det H ( y1, y2 ) = 4 f1 f2 > 0 oraz spełnione są warunki (4.194)-(4.195) więc dla
poziomów produkcji podanych w warunkach (4.190) i (4.192), monopolista osiąga
maksymalny zysk.
21
s. 216, wzór (4.201)
Jest:
2 2 2 2
d1 - a2c1 d2 - a2c2 a((d1 + d2 ) - a(c1 + c2 ))- 2b
P( y1, y2 ) = + - .
4c1 4c2 2
Powinno być:
2 2 2 2
d1 - a2c1 d2 - a2c2 a((d1 + d2 ) - a(c1 + c2 ))+ 2b
P( y1, y2 ) = + - .
4c1 4c2 2
s. 217, Tabela 4.3c
Jest:
śy1 śy1 śy1 śy1
śy
Charakterystyka
śc1 śd1 śc2 śd2
śa
- (c1 + c2 ) - a 1 - a 1
Wartość
2 2 2 2
2
Powinno być:
śy śy śy śy
śy
Charakterystyka
śc1 śd1 śc2 śd2
śa
- (c1 + c2 ) - a 1 - a 1
Wartość
2 2 2 2
2
s.217, wniosek 2
Jest:
2. Siła reakcji optymalnej podaży na rynek i-ty na siłę reakcji konsumentów di na zmianę
ceny produktu na i-tym rynku jest ujemna i równa połowie wartości tej miary reakcji
konsumentów na zmianę ceny produktu na i-tym rynku produktu.
Powinno być:
2. Siła reakcji optymalnej podaży na rynku i-tym na siłę reakcji konsumentów ci na
zmianę ceny produktu na i-tym rynku jest ujemna i równa połowie wartości kosztu
krańcowego produkcji.
s.217, wniosek 4
Jest:
22
4. Siła reakcji optymalnej podaży na i-ty rynek i na oba rynki jednocześnie na siłę reakcji
konsumentów na zmianę ceny produktu na i-tym rynku jest dla każdego z tych trzech
przypadków ujemna i równa połowie krańcowego kosztu produkcji.
Powinno być:
4. Siła reakcji optymalnej podaży na i-ty rynek (na oba rynki jednocześnie) na zmianę
kosztu krańcowego produkcji jest ujemna i równa połowie wartości parametru ci
(połowie wartości sumy c1 + c2 ).
s. 224, na rys. 4.9, na osi odciętych ( y1),
współrzędne punktu A1 wynoszą:
ć a - c1
0,

2b
Ł ł
Powinno być:
ća - c1
,0

2b
Ł ł
s. 225, 1 w. od dołu
Jest:
ma zmianę ceny produktu, tym niższa jest podaż produktu każdego producenta.
Powinno być:
na zmianę ceny produktu, tym niższa jest podaż produktu każdego producenta.
s. 232, wzór (4.295)
Jest:
3a - (2c1 + c2 ) 3a - b (2c1 + c2 )
( (
y(S ) = y1S ) + y2S ) = =
4b 4
Powinno być:
3a - (2c1 + c2 ) 3b - a(2c1 + c2 )
( (
y(S ) = y1S ) + y2S ) = =
4b 4
23
s. 237, Tabela 4.5a, 4 wiersz i 3 kolumna
Jest:
- (c1 + c2 )
2
Powinno być:
- (c1 + c2 )
3
s.238, 1-3 w. od dołu
Jest:
największy spadek łącznej podaży produktu w stanie równowagi wywołany wzrostem
całkowitego kosztu produkcji występuje w duopolu Stackelberga, średni w duopolu Cournota,
a najniższy w czystym monopolu.
Powinno być:
największy spadek łącznej podaży produktu w stanie równowagi wywołany wzrostem
krańcowego kosztu produkcji występuje w duopolu Stackelberga, średni w duopolu Cournota,
a najniższy w czystym monopolu.
s.239, 5-7 w. od góry
Jest:
największy wzrost ceny równowagi, wywołany wzrostem pojemności rynku występuje
w monopolu czystym, średnia w duopolu Cournota a najniższa w duopolu Stackelberga;
Powinno być:
największy wzrost ceny równowagi, wywołany wzrostem pojemności rynku występuje
w monopolu czystym, średni w duopolu Cournota a najniższy w duopolu Stackelberga;
s. 241,
pominąć 15-17 w. od góry (wniosek ten jest powtórzeniem wniosku podanego w 11-14 w. od
góry).
24
Innymi słowy usunąć zdanie:
największy wzrost podaży produktu wywołany wzrostem pojemności rynku występuje u
naśladowcy, w monopolu czystym i w duopolu, średni w duopolu Cournota i najniższy w
duopolu Stackelberga.
s. 241, w. 20-22 od góry
Jest:
W przypadku przedsiębiorstwa pierwszego w duopolu Cournota i w duopolu
Stackelberga może być on ujemny lub niedodatni, w zależności od poziomu całkowitych
kosztów produkcji przedsiębiorstwa pierwszego i drugiego, tworzących duopol:
Powinno być1:
W przypadku przedsiębiorstwa pierwszego w duopolu Cournota i w duopolu Stackelberga
może być on ujemny lub nieujemny, w zależności od poziomu krańcowych kosztów produkcji
przedsiębiorstwa pierwszego i drugiego, tworzących duopol:
s. 241, 23-25 w. od góry
Jest:
2
jeżeli c1 > 0 oraz c2 < c1, to mamy do czynienia ze wzrostem podaży produktu ze strony
3
przedsiębiorstwa drugiego w duopolu Cournota i Stackelberga wskutek reakcji konsumentów
na zmianę ceny produktu;
Powinno być:
2
jeżeli c1 > 0 oraz c2 > c1, to mamy do czynienia ze spadkiem podaży produktu ze strony
3
przedsiębiorstwa drugiego w duopolu Cournota i Stackelberga wskutek reakcji konsumentów
na zmianę ceny produktu;
1
Wiersz 20 od góry nie powinien być zaznaczony jako nowy akapit, gdyż jest kontynuacją treści podanej w 19
w. od góry!
25
s. 242, 9 w. od dołu
Jest:
W przypadku podaży producenta drugiego można stwierdzić co następuje:
Powinno być2:
W przypadku podaży producenta drugiego można stwierdzić co następuje:
podaż produktu naśladowcy w modelu duopolu Stackelberga jest dwukrotnie niższa od
podaży monopolisty, a także niższa od podaży produktu drugiego producenta w modelu
duopolu Cournota.
s. 242, w. 6-8 w. od dołu
Jest:
wzrost pojemności rynku powoduje najwyższy wzrost podaży produktu dla duopolu
Cournota, średni dla czystego monopolu a najniższy dla duopolu Stackelberga,
Powinno być:
wzrost pojemności rynku powoduje najwyższy wzrost podaży produktu dla czystego
monopolu, średni dla duopolu Cournota a najniższy dla duopolu Stackelberga,
s. 244, 3 w. od góry
Jest:
& na towar drugi ( a1 > g1).
Powinno być:
& na towar pierwszy ( a1 > g1).
s. 244, 15 w. od góry
Jest:
& popyt na produkt pierwszy, gdy &
Powinno być:
& popyt na produkt drugi, gdy &
2
Czyli chodzi o dodanie nowego wniosku zapisanego w 3 wierszach.
26
s. 245, wzór (4.342)
Jest:
2
P1( p1, p2 ) = -(b1c1 + d1) + (b1 + a1c1) p1 + g1 p2 ( p1 - c2 ) - a1 p1 ,
Powinno być:
2
P1( p1, p2 ) = -(b1c1 + d1) + (b1 + a1c1) p1 + g1 p2 ( p1 - c1) - a1 p1 ,
s. 246, w. 7 od dołu
Jest:
Warunki konieczny i dostateczny maksymalizacji zysku pierwszego producenta &
Powinno być:
Warunki konieczny i dostateczny maksymalizacji zysku drugiego producenta &
s. 250, tabela 4.7a, kolumna 1
Jest: Powinno być:
Charakterystyka Charakterystyka
(S (B)
śp1 ) śp1
śc1 śc1
(S
(B)
śp1 )
śp1
śc2
śc2
(
(B)
śp1S )
śp1
śb1
śb1
(
(B)
śp1S )
śp1
śb2
śb2
(S
(B)
śp1 )
śp1
śg1
śg1
(S
(B)
śp1 )
śp1
śg
2 śg
2
(
(B)
śp1S )
śp1
śa1
śa1
(
(B)
śp1S )
śp1
śa2
śa2
27
s. 251, tabela 4.7b, kolumna 1
Jest: Powinno być:
Charakterystyka Charakterystyka
( (
śp2S ) śp2B)
śc1 śc1
(
(
śp2S )
śp2B)
śc2
śc2
(
(
śp2S )
śp2B)
śb1
śb1
(
(
śp2S )
śp2B)
śb2
śb2
(
(
śp2S )
śp2B)
śg1
śg1
(
(
śp2S )
śp2B)
śg
2 śg
2
(
(
śp2S )
śp2B)
śa1
śa1
(
(
śp2S )
śp2B)
śa2
śa2
s.256, w. 13-14 od dołu
Jest:
a. całkowitych kosztów produkcji obu przedsiębiorstw:
"i = 1,2 kic ( yi ) = kiz (yi ) = kis ( yi ) = ci yi + di , ci ,di > 0.
Powinno być:
a. całkowitych kosztów produkcji obu przedsiębiorstw:
"i = 1,2 kic ( yi ) = kiz ( yi ) + kis (yi ) = ci yi + di , ci , di > 0,
s. 294, 10 w. od dołu
Jest:
n
c) "x1, x2 , x3 R+ d(x1, x3 ) = d(x1, x2 ) + d(x2 , x3 ) .
Powinno być:
n
c) "x1 , x2 , x3 R+ d (x1, x3 ) Ł d (x1, x2 ) + d(x2 , x3 ) .
28
s. 294, 7-8 w. od dołu
Jest:
1
n
2
a. euklidesowa: "x1 , x2 R+ dE (x1, x3 ) = ((x11 - x12 )2 + ... + (x1n - x2n )2) ,
n
b. nieeuklidesowa: "x1, x2 R+ d (x1, x2 ) = max{x11 - x12 , ... , x1n - x2n }.
NE
Powinno być:
1
n
2
a. euklidesowa: "x1 , x2 R+ dE (x1, x2 ) = ((x11 - x21)2 + ... + (x1n - x2n )2) ,
n
b. nieeuklidesowa: "x1 , x2 R+ dNE (x1, x2 ) = max{x11 - x21 , ... , x1n - x2n }.
s. 295, wzór (A.31)
Jest:
b. f (x) = g(x)h(x)
śf (x) śg(x) śh(x)
= f (x) + g(x), i = 1,2, ,
śxi śxi śxi
Powinno być:
b. f (x) = g(x)h(x)
śf (x) śg(x) śh(x)
= h(x) + g(x) , i = 1,2, ,
śxi śxi śxi
s. 314, 1 w. od góry
Jest:
Funkcja kompensacyjnego popytu - funkcja popytu Marshalla (której argumentami są &
Powinno być
Funkcja kompensacyjnego popytu - funkcja popytu Hicksa (której argumentami są &
s. 314, 18 w. od góry
Jest:
Funkcja popytu konsumenta - funkcja popytu Hicksa (której argumentami są ceny&
Powinno być:
Funkcja popytu konsumenta - funkcja popytu Marshalla (której argumentami są ceny &
29


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Errata do sprawozdania
Zadania do rozdzialu 10
1 chemia nowej ery I gimnazjum zeszyt ćwiczeń odpowiedzi klucz rzwiązania do str8 10
Kontrola luzu zaworowego, suplement do Podręcznika
mnozenie do 25 10
Nowy dokument ws rozdziału wizyty do Katynia 10 kwietnia
errata do skryptu chemia organiczna kurs podstawowy
dzielenie do 25 10(1)
nabor do tecnkikum 10
ERRATA do podr Bot Les 09

więcej podobnych podstron