Zadania treningowe MOMP (II) 1.
Pokazać, dla jakich h wzór różnicowy (jawny) y + − y
n 1
n = f ( y + hf ( x + h / 2) / , 2 x + h / 2
n
n
n
)
h
przybliżający równanie
dy
= f ( y, x)
dx
jest stabilny.
2.
Dane jest zagadnienie brzegowe
2
d y
dy
− (
8 6 2
x + x)
= sin x
2
( )
dx
dx
y( x = −4)=1
y( x = 4) =
1
Podać wzór różnicowy dla siatki równomiernej. Podać ile węzłów siatki sprawi, że macierz układu równań liniowych będzie diagonalnie dominująca.
5.
Dany jest układ równań liniowych
a
b
e
e
K
K
e x
f
1
1
3
4
n 1 1
c
a
b
2
2
2
x 2
f 2
O
O
O
c
a
b
x
f
j
j
j
• j = j
O
O
O
c
a
b
x
f
n−1
n−1
n−1
n−1 n−1
c
a
x
f
n
n
n
n
(Na pozostałych miejscach macierzy są zera).
a) Podać skończony algorytm rozwiązania tego układu równań.
b) Podać iteracyjną metodę rozwiązania tego układu równań (Jacobi lub Gauss-Seidel) 6. Dane jest nieliniowe zagadnienie brzegowe
2
d u
du
+ 3
x cos u
x
2
( ) = sin2( )
dx
dx
u = 0
x=
0
u
= 0
x= π
2
Zaproponować proces iteracyjny (ciąg zagadnień liniowych), który wykorzystać można(by) do rozwiązania tego zagadnienia.
Uwaga: Skorzystać z metody zamrażania współczynników.
1
Jaki krok całkowania siatki równomiernej zapewnia diagonalną dominację tych układów równań liniowych.
7. Dane jest pole funkcji prądu w chwili t=0 zadane wzorem: ψ ( x, y) = x 2
2
y − y x
a) jak wygląda pole wirowości
b) Jaki wydatek objętościowy płynie przez odcinek AB gdzie A=(0,1), B=(3,4).
8. Dane jest równanie adwekcji
∂ u
∂ u
+ c
= 0
∂ t
∂ x
zdyskretyzowane niejawnym wzorem różnicowym: n 1
+
n
n 1
+
n 1
u j − u
u
j
j+ −
+
u
1
+ c
j
= 0
∆
h
Podaj warunki zbieżności (jeśli jakieś są) rozwiązania przybliżonego do dokładnego.
Jakie problemy pojawić się mogą przy numerycznej realizacji tej metody.
9. Dane jest równanie:
2
2
∂ u
∂ u
− ∂
y
u
+ 5
− e
= cos( x + 2 y)
2
2
x
∂
y
∂
x
∂
spełnione w prostokącie <0,3>x<-3,3>. Na brzegu tego prostokąta u=0.
a) przedstaw dyskretyzację metodą różnic skończonych na siatce o komórkach kwadratowych
b) ile oczek siatki (minimum) powinna mieć ta siatka aby macierz była diagonalnie dominująca
c) przedstaw algorytm (iteracyjny) rozwiązania tego układu równań.
10)...Dane jest równanie w postaci zachowawczej:
d
dy
2
(
8 6 x + x)
= cos( x)
dx
dx
y( x = −3)=1
y( x = 3) =
1
Przedstaw dyskretyzację tego równania na siatce nierównomiernej, w której kolejne kroki siatki są 0.01, 0.02, 0.01, 0.02,... itp.
Dla jakich h macierz układu jest diagonalnie dominująca.
Wykorzystaj algorytm teleskopowy do wykazania zachowawczości schematu numerycznego (trudne).
2