Wymagania na drugą kartkówkę – teoria (wersja wstępna)

Na drugą kartkówkę obowiązuje znajomość całego wykładu do funkcji mierzalnych włącznie (rozdziały 1-5). Pytania będą bezpośrednio dotyczyć miary Lebesgue’a oraz funkcji mierzalnych (rozdziały 3-5).

Sugeruję zwrócić uwagę na następujące definicje i twierdzenia:

Definicje

− przedział (k-wymiarowy), objętość przedziału

− miara zewnętrzna Lebesgue'a, miara Lebesgue'a, zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a

− zbiór Vitaliego

− funkcja mierzalna (względem σ-ciała), funkcja borelowska, funkcja mierzalna w sensie Lebesgue'a

−

–

funkcje f+ i f

Twierdzenia (w nawiasie numer twierdzenia, własności lub wniosku)

− warunki równoważne definicji miary zewnętrznej Lebesgue'a (3.1)

− własności miary zewnętrznej Lebesgue'a (3.2)

− o mierzalności przedziału i o mierze przedziału (3.11, 3.8)

− o mierzalności zbiorów borelowskich (3.13)

− charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a (3.14)

− o niezmienniczości miary Lebesgue'a na translację (4.1)

− o mierze Lebesgue’a zbiorów przekształconych przez jednokładność (4.2)

− własności zbioru Vitaliego (wraz z wnioskiem dotyczącym Rk) (4.3, 4.4)

− warunki równoważne mierzalności funkcji (5.1)

− warunki równoważne mierzalności funkcji skończonej (5.2)

− o mierzalności zbiorów zdefiniowanych przy pomocy funkcji mierzalnych (5.6, 5.4)

− o działaniach na funkcjach mierzalnych (5.7)

− o mierzalności kresów i granic (5.8)

− o mierzalności złożenia funkcji (5.9)