Egzamin dla Aktuariuszy z 25 stycznia 2003 r.

Matematyka Finansowa

Zadanie 1

(i)

NIE bo:

L = i[ a a + a ( Ia) − a a −

= ( − )

1

+

czyli zależy od m a prawa strona m

n

k

n

k

n ]

a a

i

a a

ia v

n

m

n

m

k

nie

(ii)

NIE bo:

( m

1 − a )

n

L =

a

n

1 − an

2

I = a

a

ma

n + 2

n + ... +

m

n

2

3

m 1

Ia

a

a

ma

n =

n + 2

n + ...

+

+

n

1 − m

an

m 1

I 1

( − a )

+

a

ma

n

= n

−

1 −

n

an

v n [ L − mam+1

n

]

P =

= L pytanie czy ta równość prawdziwa; widać, że nie bo np. dla i=0,1 i 1 − an

n=m=10 nie

(iii)

TAK bo:

2

t

a′ = − v( v + 2 v + ... + tv ) = − v( Ia) t

t

æ

2

t +1

t v

tvt

t ö

æ − tv(1− vt + i − ivt ) å

2

t +1

2

t +1

t

− tvIat −

−

+

=

t v

t v

tv

t

çç

2

2 ÷

÷ å

ö

+

−

−

+

=

çç

2

2

2 ÷

÷

è

i

i

i ø

è

i

i

i

i

i ø

t

t

t

t

t

= åæ − tv 1(− v ) − itv 1(− v ) + t 1(− v ) ö =

1

(

v )( tv

itv

t)

1

(

v ) t( v 1

(

i)

)

1

çç

2

÷÷ å −

− −

+ =

2

å −

−

+ + = 0

è

i

ø

2

i

i

Zadanie 2

t

a t

( ) = 1

( + i)

1

1

1

ln 6 − ln 4 + ln 7 − ln 5 + ... + ln15 − ln13

a

=

+

+ ... +

=

=

10

a

a

a

ln 5 − ln 3

1

2

10

æ 6 ⋅ 7 ⋅8 ⋅⋅⋅⋅15 ö

æ14 ⋅15 ö

æ 21ö

lnç

÷

lnç

÷

lnç

÷

è 4 ⋅ 5⋅ 6 ⋅⋅⋅⋅13ø

è 4 ⋅5 ø

è 2 ø

=

=

=

≈ ,

4 6

æ 5 ö

æ 5 ö

æ 5 ö

lnç ÷

lnç ÷

lnç ÷

è 3ø

è 3ø

è 3ø

Zadanie 3

z f

I

unduszu n

a k

oniec K

: ⋅1,1 bo wszystkie odsetki oprócz ostatniego roku zabierane I

z I f

unduszu 9

: ⋅ 1

,

0 ⋅ ,

1 08 K

I

z

1.

II f

unduszu

1

,

0

:

⋅

[

08

,

0

06

,

1

8 + 2 ⋅ 06

,

1

7 + ... + 8 ⋅ 06

,

1

]

D = 1

( + i) 8 + 1

(

2 + i) 7 + ... + 8 ⋅ 1

( + i)

9

8

2

D 1

( + i) = 1

( + i) + 1

(

2 + i) + ... + 1

(

8 + i)

Di = 1

( + i)9 + ... + 1

( + i) 2 − 1

(

8 + i) = 1

( + i) s&

& − 1

(

8 + i)

8

s − 8

D

8

= &&

d

Z 1 wynika:

s&

&

− 8

1

,

0 ⋅ 0

,

0 8

8;0,06

⋅

0

,

0 6

0

,

1 6

[,1068 − ]1,106 −8

10

,

0 06

1

( + i)

= 1,

1 + 9 ⋅ 1

,

0 ⋅ ,

1 08 + 1

,

0 ⋅ ,

0 08

→ i ≈ 3

,

9 %

,

0 06

,

1 06

Zadanie 4

Po 10 latach = 500000

,

0 4 ⋅ 500000 - rata w II okresie 10

éstopa = 0,08 ù

é

,

0 4 ⋅ 500000ù

ê

ú

OD w roku i (i=1 tzn. 11 rok): 500000 − ( i − ) 1

⋅

ê

ú stop

a ê tylko d

la i

= ú

5

ë

10

û

êstopa = 12% ú

ë

û

4

10

Narosłe odsetki: 1

,

1 2å

9−

OD( i ,

1

) 08 i +

5

,

1 08 OD )

5

(

+ å

10−

OD( i ,

1

) 08

i

i=1

i=6

æ

é

,

0 4 ⋅ 500000 ù

é

,

0 4 ⋅ 500000ù

ö

ç

500000 −

,

0 08

500000 − 3 ⋅

,

0 08 ÷

500000

,

0 08

9 ç

ê

ú

ê

ú

⋅

ë

10

û

ë

10

û

÷

= 1

,

1 2 ⋅ ,

1 08

+

+ ... +

+

ç

2

4

÷

ç

,

1 08

,

1 08

,

1 08

÷

è

ø

é

,

0 4 ⋅ 500000ù

500000 − i

(

)

1

,

0 08

10 ê

−

ú

,

0 4 500000

5 é

⋅

ù

10

ë

10

û

+ ,108 500000 − 4 ⋅

1

,

0 2 + ,

1 08 å

=

ê

ú

i

ë

10

û

i=6

,

1 08

é

,

0 08

,

0 4 500000 1

,

0 4 500000

9

⋅

⋅

ù

5 é

⋅

ù

= 1

,

1 2 ⋅ ,

1 08 500000 ⋅ ,

0 08 a −

Ia

ê

,

1 08 500000

4

1

,

0 2

4

3 ú +

−

+

ê

ú

ë

10

,

1 08

û

ë

10

û

é

1

,

0 4 500000

1

10

⋅

ù

+ ,108 500000 ⋅ ,

0 08

a

ê

− ,

0 08

4

5

5

5 ( a

+ Ia

5

5 )ú = OD

ë

,

1 08

10

,

1 08

û

KREDYT(po 20 latach) = OD+Pozostały Kapitał= OD+ , 0 6 ⋅ 500000

4

1

5

1

9

1

1

KREDYT = Xa

+ Xv

+ Xv

+ ...

3

+ Xv

= Xa

+

Xv a

→

4;0,08

1

,

1 4

1

,

1 4

1

,

1 4

4;0,08

1

,

1 4

6;0,08

→

=

KREDYT

X

≈ 126226

1

3

a

+

v a

4;0,08

1

,

1 4

6;0,08

Zadanie 5

N

B =

← N + ,

0 2 B = B

8

,

0

r = 10

10

r = 2560 ⋅ 2

1

r = 10

11

→ i ∈{ ,1..., }

9 2

560 ⋅

9

r = 2560 ⋅ 4

2i 1-

r = 20

12

8

...

i = 1

0 r = 10

...

i−

...

i ∈ {1 ,

1 ... 1

, }

9 2

560 ⋅ 2 10

...

9

r = 2560 ⋅ 2

dziel p

rzez1

0

r = 2560

19

1

9

1

1

10

19 2560

i

1

N = å 2560 ⋅ 2

+

+

i

i

å

⋅ 2

=

10

10

i

i 1

=

,

1 07 2

,

1 07

i 1

= 1 2

,

1 07

9

9

æ

1

ö

æ 2 ö

1 − ç

÷

− ç

÷

11 1

1

è 2 ⋅ ,

1 07 ø

10

æ 2 ö

è ,

1 07 ø

= 5120 ⋅

+

+ 5

,

2 ç

÷

2 ⋅ ,

1 07

1

,

1 0710

è ,

1 07 ø

2

1 −

1 −

2 ⋅ ,

1 07

,

1 07

= N

WYNIK

⋅ 1

,

0 ≈ 97638

8

,

0

Zadanie 6

Przy uwzględnieniu uwagi:

100

100

I : 4

8 − 48 ⋅

4

8 ⋅

30

30

110

100

II :

2

4

0

− 240 ⋅

2

40 ⋅

30

30

110

100

x(300

)

-

300

3

00

30

30

4

8

6

4

-

42

0

-

30

0

1

00

0

100

x + 48

= 460 → x = 300

30

Z tego wynika:

48 + 64 v − 420 2

v − 300 3

v + 1000 4

v = 0 → 250 4

v − 75 3

v −105 2

v + 16 v + 12 = 0

4

75

3

105 2

16

12

v −

v −

v +

v +

= 0 → v + ... + v

n =

3

,

0

b

o :

250

250

250

250

1

Z teorii:

n

n 1

x + ... + x = − a d l

a x + a x − + ... + a 1

n

n

n

2

Zadanie 7

Sprawdzamy kiedy istnieje:

2

1

æ

1 ö

= x → ç k − ÷ + ( k − ) 1

2

x + x = 0

1

( + i)8

è

2 ø

i ≠

→ x ≠

∆ = −

0

1

3 2

k + 2 k

Zakładamy, że

i z

e x > 0

− 3 2

k + 2 k ≥ 0

é 2ù

k ∈ ê ;

0

ú

ë 3û

jeszcze sprawdzamy:

1 − k − − 3 2

k + 2 k

.

1 x =

≥

0 c

zy to p

rawdziwe

1

2

1 − k + − 3 2

k + 2 k

x =

≥

0 to o

czywiste b

o 1

- k ≥

0 w tym p

rzedziale

2

2

Sprawdzamy 1.

1 − k ≥ 0

1

( − k)2 ≥ −3 2

k + 2 k ← 4k 2 − 4 k + 1 ≥ 0 ← ∆ = 16 −16 =

0 O

K

æ 2 ö

Odpowiedź: R − ç ;

0

÷

è 3 ø

Zadanie 8

Oznaczmy przez a,b,c,d,e,f,g,h odpowiednio ilość kupionych lub sprzedanych opcji typu: C

, C

, C

, C

, P , P , P , P . Ujemna wartość oznacza że sprzedajemy taką ilość.

100

110

120

140

100

110

120

140

Tworzymy układ równań:

Np. dla x<=100 mamy:

e 1

( 00 − x) + f 1

( 10 − x) + g 1

( 20 − x) + h 1

( 20 − x) = −20

a dla x ∈ 1

( 10 1

, 2 )

0

a( x −100) + b( x −110) + g 1

( 20 − x) + h 1

( 40 − x) = x −120

Tworząc w ten sposób równania otrzymujemy: a=1, c=-1, g=1, h=-1 reszta równa 0

Odpowiedź: 37,221 − 31 9

, 37 + 47,710 − h ⋅ cena Pozostaje ustalić cenę h:

ì C

P

d

S

S

120 −

120 +

120 =

ì = 94 9

, 87

í

→ í

î C

P

d

S

d

110 −

110 +

110 =

î = 9

,

0 23

C

− P + d 140 = S → obliczamy c ene h 140

140

Ostatecznie wychodzi -9

Zadanie 9

K - kapitał

d = rd

+ 1

( − r) d

A

OB

papdl

10

10

,

0 08 Ia + 10 v

Ia + 10 v

10

10

d

=

=

OB

10

10

,

0 08 a + v

a + v

10

10

Ia

v

∞

1 − v

1

d

=

=

=

papdl

a

2

∞

1

( − v)

v

1 − v

8

9

10

80000 v + 135000 v + 200000 v d

=

zob

8

9

10

10000 v + 15000 v + 20000 v d

d

zob −

r =

papdl ≈ 70%

d

d

OB −

papdl

Zadanie 10

1 − n

v =10

δ

1 − 2 n

v

= 15

δ

ïì10δ = 1− n

v

íïî15δ =1− 2 n

v

Pierwsze równanie mnożymy przez 1,5 i odejmujemy II od I.

2

v n − 5

,

1 v n + 5

,

0

=

0 v n = x

x = 5

,

0

→ n

v = 5

,

0

1

x =

1 o

dpada

2

10δ = 1 − 5

,

0

δ = ,

0 05 → −

e δ

n = 5

,

0

→ δ n = ln 2 → n = , 0 693147 ⋅ 20 = 13 8

, 6294

(

2

2

2

Da )

n

a

nv

(2

)

2

....

255

2

= ò n

−

n −

t

t v dt

na

2

n

=

− n

=

≈

2 n

0

δ