Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r.

Matematyka Finansowa

Zadanie 1

i = 1

,

1 0,25 −1 - stopa kwartalna

100000 1

( + i)40 − Xs

= 60000 → X wyliczamy

40; i

OD( I ) = 40 X − 40000

j = 08

,

1

0,25 −1

40

é

60000

å

ù

j 60000 − ( k − ) 1

ê

ú

ë

û

1

=

40

OD( )

2 = k

g

z

bo

ory pl

acimy

08

,

1

25

OD( I ) + OD(2) ≈ 104102

Zadanie 2

TEORIA:

Met. Kapitałowa: wpłaty: 100000-20000-50000+150000=180000

Zysk=I=22844,2029*13-180000=116974,6377

2

I = i ⋅100000 − 20000 ⋅ 75

,

0

i − 50000 ⋅ ⋅ i + 150000 ⋅ 5

,

0 i → i wylicza y m

1

3

Metoda (time-weighted):

10000 ⋅

5

,

11

1 + j

=

0,25

100000

20000

1

( 0000 −

) ⋅12

11 5

,

1 + j =

1

10000 ⋅11 5

, − 20000

3

æ

20000

50000 ö

ç10000 −

−

÷ ⋅8

è

11 5

,

12

ø

1 + j

=

0,5

æ

20000 ö

ç10000 −

÷ ⋅12 − 50000

è

11 5

,

ø

,

22844 2029 ⋅13

1 + j =

1

æ

20000

50000 ö

ç10000 −

−

÷ ⋅8 +150000

è

5

,

11

12

ø

1

( + i ) = 1

( + j

) 1

( + j ) 1

( + j ) 1

( + j ) = 3

,

1 → i = 3

,

0

2

0,25

1

0,5

1

2

3

ODP = i − i ≈ 62 %

3

,

1

2

Zadanie 3

Odsetki zapłacone: jk

1

−

−2

1

n

n

X 1

( + i)

+ X 1

( + i)

+ ... + X = 1 → tyl ew f undusz → X =

sn

Ia

1. X ( s − kX

;

1

−

=

k )

( ) k i

sn

(

&

& −

Is) =

1

( + ) =

n

( Ia)

s

n

i n

n

n

i

2.

(

&

&

− ( − )

1

−

Is)

s

k

s

k

k −1

k

−1 =

=

k

i

i

Z 1 i 2 wynika:

i( Is) k− i;1

sn

Z tego odpowiedź A.

Zadanie 4

ODP = a∞ + 2 va∞ + 3 2

v a∞ + ... = a 1

(

∞

+ 2 v + 3 2

v + ...)

I = 1 + v

2 + v

3 2 + ...

Iv = v + v

2 2 + v

3 3 + ...

a

2

∞ + 1

I 1

( − v) = 1 + v + v + ... = a∞ + 1 → I = 1− v v

+1

a + 1

v

1 −

ODP =

∞

v

v

a∞

=

=

≈ 8820

1 − v

1 − v 1 − v

1

( − v)3

Zadanie 5

Po przekształceniach:

( m + )

1 2 2

i + (2 2

m + 5 m − )

2

2

i + m + 3 m + 1 = 0

.

1 m ≠ − b

1

o wtedy l

iniowe

∆ > 0 → ∆ = -15m2 − 40 m

æ 8 ö

m ∈ ç −

0

; ÷ \ {− }

1

è 3 ø

− 2(2 2

m + 5 m − 2)

−16 − 2 71

2 71 −16

i + i =

< 5

,

1 → ∆ = 4 ⋅ 71 → i =

, i =

1

2

2

1

2

2( m + )

1

14

14

æ

ö

8 −16 − 2 71

z tych dwóch wynika, że: m ∈ çç− ;

÷÷

è 3

14

ø

Widać, że nic nie pasuje i dalej nie trzeba ...

Zadanie 6

r = 2

1

r = 2

r ,..., r

= 26

2

29

39

...

r

= 26

40

...

r = 24

41

r = 38

...

19

r ,..., r = 38

...

20

26

r = 34

r = 4

27

51

r = 30

28

2 v + 4 v 2 + ... + 3 v 19

8

+ 3 (

8 v 20 + ... + v 26 ) + 34 v 27 + 30 v 28 + 26( v 29 + ... + v 39 ) + 26 v 40 + 24 v 41 + .. + 4 v 51 =

= 2 Ia + 3 v 19

8

a + 34 v 27 + 30 v 28 + 26 v 28 a + v 39 28

2

19

7

11

[ a − Ia

12

12 ] = N

N =

N

8 %

0 B → B =

≈ 213 8

, 1

8

,

0

Zadanie 7

ì

æ 1 ö7

ï150000 = R a

R a

1

+ ç

÷

ï

7;0,05

è ,

1 05 ø

1

7;0 1

,

ïï

æ 1 ö4

í D )

3

(

= R a

R a

1

+ ç

÷

ï

4;0,05

è ,

1 05 ø

1

7;0 1

,

ï D )

3

(

+ 75000 =

ï

R a

2

20;0 1

, 5

ïî

150000

R =

1

7

æ 1 ö

a

+ ç

÷ a

7;0,05

7;0 1

,

è 0

,

1 5 ø

4

æ

ö

æ 1

ç

ö

÷

R a

+ ç

÷ a

+ 75000

1

4;0,05

ç

è 0

,

1 5

7;0 1

, ÷

è

ø

ø

R =

≈ 31553

2

a 20;0 1,5

Zadanie 8

(i)

NIE bo:

2 ∂

L = i

[1(+ i −1) + 1(+ i −2) +...+ 1(+ i − n)]= i 2[− v 2 − v 3

2

− ... − nvn+1]= − vIa i 2 =

i

n

∂

æ

1

1

ö

n

n

= v ç −

+ v÷ ≠ P

è i 2

i 2 v n

i ø

(ii)

NIE bo:

∂

L =

[1(+ i)− k + 1(+ i)−2 k +..].= − k[ k 1+

v

+ 2 2 k 1+

v

+ .. ].

∂ i

k 1

+

2 k 1

I = v

+ 2 v + + ...

k

2 k 1

+

3 k 1

Iv = v

+ 2 v + + ...

k 1

+

k 1

+

+

v

v +

k

k 1

2 k 1

I 1

( − v ) = v

+ v

+ ... =

→ I =

k

k

2

1 − v

1

( − v )

k

k

k

k +

k +

L = − k (

[

1

2

1

k

v

− k − v v v

− kv

1 + i) − ]

1

(

)

1

=

=

< 0

1

( − k

v )2

1

( − k

v )2

1 − k

v

k

P =

v

kv

k 1

( + i) k 1

−

=

>

0 c

zyl

i NIE

1 − k

v

1 − k

v

(iii)

TAK bo:

∂ ì1

2

tδ ü

P =

í e ý = etδ =

x

x

x

P b

o e = 1 +

+

+ ...

∂ t îδ

þ

!

1

!

2

Zadanie 9

1

( 20 − 9 )

5

p

= 0

,

9 9 → p = 3

,

0 9996

1

,

1

2

p ⋅ 49 + 2 p 1

( − p)

ODP :

≈ 8

,

6 7

1

,

1 2

Zadanie 10

t

e = x

ò 1 = t = ln x =

dx

x

x

t

e

t

ò 1 1 = ò 1 − 2 = ln −ln 1(+ 2 ) = −ln 1(+ 2 t) 1 + 2 e

1 + 2 x x

x

1 + 2 x

dt = 1 dx

x

2 t

e

= x

ò 2 = 2 t = ln x =

t

x

x

t

e

2 t

ò 2 1 = ò 1 − 3 = ln −ln 1(+3 ) = 2 − ln 1(+ 3 2 ) 1 + 3 e

1 + 3 x 2 x

x

1 + 3 x

dt = 1 dx

2 x

2

4

3

1 2 e

1 3 e

3

6

2

4

( + )( + )

ò δ

t = 9 − ln 1

( + 2 e ) 1

( + 3 e ) − 6 + ln 1

( + 2 e ) 1

( + 3 e ) = 3 + ln

2

1

( +

3

2 e ) 1

( +

6

3 e )

(

A )

2 = 1

A )

3

(

= exp(ò3δ

)

t

= exp( )

3 exp(ln...)

2

1

( + 2 2

e ) 1

( + 3 4

e )

ODP = exp( )

3

−1 ≈

%

7

,

4

1

( + 2 3

e ) 1

( + 3 6

e )