Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.

Matematyka Finansowa

Zadanie 1

Strategię tworzymy tak by:

 X

X

 1 +

2

= PV

 t

t

1

2

1

,

1

1

,

1



gdzie

 X 1 ⋅ + X

t

2

1

⋅ t 2 = PV ⋅



D

 t

t

1

2

1

,

1

1

,

1

PV = 1000( a + a + a 10

12

15 )

PV ⋅ D = 1000(

2

10

2

12

2

15

v + 2 v + ... + 10 v + v + 2 v + ... + 12 v + v + 2 v + ... + 15 v ) podstawiamy i wychodzi odpowiedź E) czyli t = ,

4 t = ,

8 X = 1866 ,

9 X = 16748

1

2

1

2

Zadanie 2

Pożyczamy 100 z krótkiej sprzedaży akcji, będziemy musieli zwrócić cenę akcji po 6

miesiącach – ile zarobimy?

Zysk arbitrażowy będzie jeżeli zawsze zarobimy więcej niż cena akcji po 6 miesiącach Inwestujemy 100:

X – cena akcji po 6 miesiącach

a – tyle inwestujemy w aktywa wolne od ryzyka b – tyle inwestujemy w opcje kupna

c – tyle inwestujemy w opcje sprzedaży a+b+c=100 gdzie a jest nieujemne b,c – mogą być ujemne 0,07⋅0,5

b

c

ZYSK = ae

+

max( X − 95 0

; ) +

max 9

( 5 − X 0

; ) − X

1 ,

1 4

,

5 6

I. X < 95

0,07⋅0,5

c

ZYSK = ae

+

9

( 5 − X ) − X chcemy by ZYSK>0 i nzl od X

,

5 6

c

czyli −

−1 = 0 → c = − ,

5 6

,

5 6

II tak samo dla X>95

b

b

0,07 0,5

ZYSK =

⋅

ae

+

( X − 9 )

5 − X →

−1 = 0 → b = 1 ,

1 4

1 ,

1 4

1 ,

1 4

wtedy ZYSK(I)=ZYSK(II)=

0,07 0

⋅ ,5

ae

− 95

a = 100 − b − c = 100 −1 , 1 4 + ,

5 6 = 9 ,

4 2

ODP = (9 ,

4 2 0,035

e

− 95) −0,035

⋅ e

= 9 ,

4 2 − 95 −0,035

e

≈ ,

2 47

Zadanie 3

S (0) ≡ 7 → F

GDZIE ⊗ - zbiór pusty

0 = { ,

0

}

Ω

F

jest generowane przez rozbicie Ω na zbiory S ) 1

(

1

− 1

( 1

)

i S )

1

(

1

− (4) czyli na zbiory

1

{ w , w , w , w → F = ,

⊗ ,

Ω w , w , w , w czyli (i) TAK

1

2 } {

3

4 }

1

{

{ 1 2} { 3 4}

1

1

13

10

23

dla w , w E S t =

F =

⋅ + ⋅ =

+

=

=

1

2

( ( 2) 1) 13

10

11 5

,

2

2

2

2

2

1

1

dla w , w E S t =

F = ⋅

+ ⋅ =

3

4

( ( 2) 1) 6

2

4

2

2

czyli (ii) NIE (iii) TAK

(iv) chcemy, by

− r

S t

( ) e był martyngałem:

E( S )

1

(

− r

e

F =

p +

− r

p e

=

0 )

(11

4

1

2 )

7

E(

r

−

x

x e

S (2) r

e

F

1 )

(13 1 +10 2 ) − =

=

11

(6

r

y

y e

1 + 2

2 ) −

= 4

niezależne układy równań:

11 p

p

er

13 x

x

er

6 y

y

er

1 + 2

2 = 4

1 + 10

2 = 11

1 + 4

2 = 7

I 

.

II 

.

III 

.

 p

p

 x

x

 y

y

1 +

2 = 1

1 +

2 = 1

1 +

2 = 1

rozwiązując I:

1 (

1 1 − p +

=

2 )

r

4 p

7 e

2

11

11

9

,

4 7

0 < p =

− r

e < 1 musi być z tego r < ln

 ≈

2

7

 7 

11

II analogicznie:

13 

8

,

1 3

2

r < ln

 ≈

<

 11 

11

11

2

czyli dla r >

nie istnieje miara martyngałowa

11

Zadanie 4

 t



 t









1



a( s, t) = exp ∫δ ( s, w) dw =





ex 

p ∫

dw



s

w 1

s





+ +

s



t∫ 1

1

dw = [ln 1

( + s + w)] t

 + s + t 

ln 1

(

s

t)

ln 1

(

s

s)

ln

s =

+ + −

+ + = 



1 + s + w

 1 + 2 s 

s

1 + s + t

a( s, t) =

1 + 2 s

1 + 2 + 5

8

a(

)

5

,

2

=

=

1 + 2 ⋅ 2

5

1 + 2 + 3

6

a(

)

3

,

2

=

=

1 + 2 ⋅ 2

5

1 + 3 + 5

9

a

)

5

,

3

(

=

=

1 + 2 ⋅ 3

7

8

6 9

56 − 54

2

ODP =

−

=

=

5

5 7

35

35

Zadanie 5

To, że u(s) znane i d(2) znane oznacza, że jeśli chcielibyśmy osiągnąć zysk arbitrażowy to tylko kupując obligację dwuletnią tzn po okresie 2

Badamy granicę w nieskończoności więc interesuje nas zachowanie: P( , 0 2) P( ,

2 ∞)

T

T −

T −

Wiemy: 0 1,

0,2

e

= e (1+ R( ,

2 T )) 2 → (1 + R( ,

2 T )) 2

0 1

, T −0,2

= e

I

T −

T −

Ale: ( 1

,

1 − d (2))(1 + R( ,

2 T )) 2 = ( 1

,

1 − d ( T )) 1

Podstawiając z I:

(

T −

T −

1

,

1 − d (2)) 0 1, 0,2

e

= ( 1,

1 − d ( T )) 1

(

0 1

, T

0,2

1

−

1

,

1 − d (2))

1 T

−

T 1

−

T 1

− e

e

= 1,

1 − d ( T )

→exp(0 )

1

,

1

1

→

→

6 4

4 7 4

4 8

4

6

4

7 86 4

4 7 4

4 8

1



T 





d ( T ) = 1

,

1 − ( 1

,

1 − d (2))

1

,

0

,

0 2

T 1

− exp

exp −

 → 1

,

1

0 1

,

− e ≈ 0

 T −1

 T −1

Zadanie 6

p

- prawdopodobieństwo wzrostu ceny akcji 1

p

- prawdopodobieństwo spadku ceny akcji 2

w(i) – numer węzła

c(i) – cena opcji w węźle i

z braku arbitrażu mamy:



1

10

17

p

,

1 05



1

12

46 p

34 p

40

,

1 05

3

6

1 +

2 =

⋅(

)

1 =

( ) −

12





→ 



1



23

10

p

p

1

1 +

2 =

 p

,

1 05

2 =

−

( )



12



6

3

wyceniamy od prawej strony:

c(18)=c(17)=c(20)=c(24)=51,70975-44=7,70975

c(16)=69,96025-44=25,96025

c(31)=c(30)=c(29)=c(28)=c(27)=c(26)=c(25)=c(23)=c(22)=c(21)=c(19)=0

−

c )

8

(

= [ p c 1

( 6) + p c 1

( 7) ,

1 05

1

2

]( ) 112

1

−12

c 9

( ) = p c 1

(

)

8 ( ,

1 0 )

5

1

1

−12

c 1

( 0) = p c(20)( ,

1 0 )

5

1

1

−12

c 1

( 2) = p c(24)( ,

1 0 )

5

1

c 1

( )

1 = c 1

( )

3 = c 1

( 4) = c 1

(

)

5 = 0

−

c(4) = [ p c )

8

(

+ p c 9

( )

,

1

( 0 )

5

1

2

]

1

12

1

−12

c )

5

(

= p c 1

( 0)( ,

1 0 )

5

1

1

−12

c(6) = p c 1

( 2)( ,

1 0 )

5

1

c(7)=0

−

c(2) = [ p c(4) + p c ) 5

(

,

1

( 0 )

5

1

2

]

1

12

1

−12

c )

3

(

= p c( )

6 ( ,

1 0 )

5

1

1

1

2

2

c )

1

(

=

−12

p c(2)( ,

1 0 )

5

p c )

3

( ( ,

1 0 )

5

p c(4)

p p c )

5

(

,

1

( 0 )

5

p p c(6)( ,

1 0 )

5

1

+

−12

2

= [ 21

+ 1 2

]

−12 +

−12

1

2

=

3

3

3

= [ 3

p c )

8

(

p p c 9

( ) ,

1

( 0 )

5

p p c 1

( 0)( ,

1 0 )

5

p p c 1

( 2)( ,

1 0 )

5

1

+ 21 2

]

−12 +

−

2

12

1

2

+

−

2

12

1

2

=

4

4

4

4

= [ 4

p c 1

( 6)

p p c 1

( 7) ,

1

( 0 )

5

p p c 1

(

)

8 ( ,

1 0 )

5

p p c(20)( ,

1 0 )

5

p p c(24)( ,

1 0 )

5

1

+ 31 2

]

−12 +

−

3

12

1

2

+

−

3

12

1

2

+

−

3

12

1

2

=

= [

1

−

4

p ⋅ 25 9

, 6025

3

+ p p ⋅ 7,70975

3

+ p p ⋅ 7,70975

3

+ p p ⋅ 7,70975

3

+ p p ⋅ 7,70975

≈

1

1

2

1

2

1

2

1

2

] ,1(0 )5 3 8,

3

Zadanie 7

10

 1 

300000 = 1

R ⋅ a

+ R 2

 a

10;0,07

10;0,09

 0

,

1 7 

dług po 15 latach:

DL 1

( )

5 = R 2 ⋅ a

5;0,09

100000 + DL 1

( )

5 = R 3 ⋅ a

10;0,08

odsetki spłacone w 7 i 14 racie:



4

3



 1 

 1 

OD(7) = 1

R −  1

R ⋅ a

+ 

 R 2 ⋅ a

− 1

R ⋅ a

− 

 R 2 ⋅ a





4;0,07

 ,

1 07 

10;0,09

3;0,07

 ,

1 07 

10;0,09 





OD 1

(

)

4 = R 2 − [ R 2 ⋅ a

− R 2 ⋅ a

7;0,09

6;0,09 ]

10

10

 1 

 1 

1 − 



− 



10 1

 0

,

1 7 

 1 

 0

,

1 9 

I 3

. 00000 = 1

R

+ R 2



0

,

0 7

 0

,

1 7 

0

,

0 9



4

3 

 1 

 1 



1 − 



1 − 

 



 ,

1 07 

 ,

1 07  

II. R 1⋅ 1 −

+

+





,

0 07

,

0 07













1

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

3

A

7

6

10

10



 1 

 1 

 1 

 1







1 − 



1 − 



− 



− 

 

4 1

3 1



 ,

1 09 

 ,

1 09 

 1 

 ,

1 09 

 1 

 ,

1 09  

+ R 2 1−

+

− 



+ 



= 3162 ,160



,

0 09

,

0 09

 ,

1 07 

,

0 09

 ,

1 07 

,

0 09















1

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

3

B

10



 1







− 

 

10 1



 1 

 ,

1 09  

300000 − R 2



,

0 07



 ,

1 07 

,

0 09















I → 1

R =

10

 1 

1 − 



 ,

1 07 

wstawiamy do II:







10



 1 



10 1 − 





300000 ⋅ ,

0 07

,

0 07

 1 

 ,

1 09 



−





⋅ R 2 ⋅ A + R 2 ⋅ B = 3162 , 1 6 →



10

10





 1 

 1   ,

1 07 

,

0 09



1 − 



1 − 





,

1 07

,

1 07













1

4

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

4

3





C



300000 ⋅

3162 ,

1 6 −

,

0 07 ⋅ A

 1 10

1 − 



 ,

1 07 

→ R 2 =

B − A ⋅ C

obliczamy R3:

5



 1







1 − 

 



 ,

1 09  

100000 + R 2

,

0 08



,

0 09















R 3 =

10

 1 

1 − 



 ,

1 08 

10

 1 

1 − 



 ,

1 08 

ODP = R 3 ⋅10 − R 3

≈ 108800

,

0 08

Zadanie 8

15

 1 

1 − 



 1

,

1 

10000

100000 = Ra = R

→ R =

15

15

1

,

0

 1 

1 − 



 1

,

1 

spłacony kapitał w (K+1) racie = KAP

KAP = R( a

− a

= Rv 15−

15− K

14−

)

K

K

dług po wpłaceniu KAP:

15− K

DLUG( KAP) = Ra

− Rv

= Ra

15− K

14− K

czyli po operacji będzie spłacał o 1 rok krócej OD – odsetki bez dodatkowej wpłaty

OD

- odsetki gdy wpłacona dodatkowa kwota KAP

OD=15R-100000

OD

= 14

15

R +

− K

Rv

KAP

−100000

15 R −100000 −14

15

R −

− K

Rv

+100000 = 701 ,

4 03

15− K

150000

140000

10000

 1 

−

−





= 701 ,

4 03

15

15

15











  1

,

1

1

1

1



1 − 



1 − 



1 − 



 1

,

1 

 1

,

1 

 1

,

1 

15− K

10000



 1





1

 − 



 =

03

,

7014

15



 

 1

,

1

1









1 − 



 1

,

1 

15



 1





701 ,

4 031



−  

15− K







 1

,

1



1



 

1 − 



=

 1

,

1 

10000

15



 1





701 ,

4 031



−  



 1

,

1



K −



 

1

,

1

15 = 1−

10000





15  

 1 



701 ,

4 031 − 

  





 1

,

1   





( K −1 )

5 ln 1

,

1 = ln1 −





10000











15





 

 1 



701 ,

4 031



−   





 1

,

1











ln 1

 −



10000













K =

+15 ≈ 7

ln 1

,

1

Zadanie 9

a – kwota na obligację

P – cena obligacji

N(I), N(II) – nominał

N(III) – kwota wypłacana dla obligacji III N 1

N 2

v

P( I ) =

P( II ) = N 2 ⋅ , 0 05 a

+

P( III ) = N 3

= 20 N 3

,

1

( 0 )

5 15

20

,

1

( 0 )

5 20

1 − v

15

a



 1





b





2

20

20 2

LICZ =

1

 5 N 1

  +

 ,

0 05 N 2( v + 2 v + ... + 20 v ) N

c

+

 +

20

[ N (3 Ia)]

P( I ) 

 ,

1 05  

P( II ) 

,

1

( 0 )

5



P( III )





MIAN=a+b+c=1



a

− 20 21

v



b ⋅  ,

0 05 N 2 20

+ 20 N 2 ⋅ 20

v 

cN 3 ⋅ ,

1 05

15 aN 1

,

1

( 0 )

5 15



1 − v



2

LICZ =

+

+

,

0 05

=

,

1

( 0 )

5 15

N 1

,

0 05 N 2 ⋅ a + N 2 ⋅ 20

v

20 N 3

20

 ,

1 0 (

5 a

− 20 v 21

20

)+ 20 v 20 

= 15 a + b ⋅ 

 + 2 c

1 =



20



,

0 05 a

+ v



20



 ,

1 05 a

− 20 v 20 + 20 v 20 

,

1 05 a

= 15 a + b

20



 + 2 c

1 = 15 a

20

+

b + 2 c

1



,

0 05 a

+ v 20





,

0 05 a

+ v 20



20

20

I ponieważ a+b+c=1 to LICZ=17,5

15 a + 21 c = 20

a + c

czyli



,

1 05 a

15 a +

20

b + 21 c = 17 5

,

20



,

0 05 a

+ v



20

15 a + 21 c = 20 a + 20 c

1 (

5 a + b + c) =



15



z II 15a=3c



,

1 05 a

3 c +

20

b + 21 c = 17 5

,



,

0 05 a

+ 20

v



20

3 c +15 b + 15 c = 15

z II 18c=15-15b

czyli:

0

,

1 5 a

20 − 20

20

b +

b = 17 5

,

0

,

0 5

20

a

+ v

20

5

,

2

b =

≈ 3 %

6

0

,

1 5 a

20

20

− 0,

0 5

20

a

+ v

20

Zadanie 10

SPOSÓB I:

Na koniec każdego roku mamy 0,1

Z II Funduszu mamy:

Na koniec 2 roku – 0,1*0,07

Na koniec i-tego roku : 0,1*(i-1)*0,07

WYPŁATA z III Funduszu:

13

12

1

,

0 ⋅ ,

0 07 ⋅ ,

1 08 + 1

,

0 ⋅ 2 ⋅ ,

0 07 ⋅ ,

1 08

+ ... + 1

,

0 ⋅14 ⋅ ,

0 07 = 1

,

0 ⋅ ,

0 07(

13

12

0

,

1 08 + 2 ⋅ ,

1 08

+ ... +14 ⋅ ,

1 08 )

I = ,

1 0813 + 2 ⋅ ,

1 0812 + ... + 14

I ⋅ ,

1 08 = ,

1 0814 + 2 ⋅ ,

1 0813 + ... + 14 ⋅ ,

1 08

−

−

14

1

,

1 0814

13

,

1 0 (

8 ,

1 0814

)1

I ,

1

( 08 − )

1 = ,

1 08 + ,

1 08 + ... + ,

1 08 −14 = ,

1 08

−14 =

−14

1 − ,

1 08

,

0 08

,

1 0 (

8 ,

1 0814 − )

1

14

I =

−

,

0 082

,

0 08

 0

,

1

(8 0,

1 814 − )

1

14 

WYPLAT (

A I ) = 1 + 15 ⋅ 1

,

0 + 1

,

0 ⋅ 0

,

0 7

−

2





0

,

0 8

0

,

0 8

SPOSÓB II

Odsetki z Funduszu 1 na koniec 2 roku = 1

,

1 ⋅ 1

,

0

W Funduszu 1 zostaje: 1,1

Odsetki z Funduszu 1 na koniec 4 roku = 1

,

1 2 ⋅ 1

,

0

W Funduszu 1 zostaje

2

1

,

1

Itd.

Odsetki na koniec 14 roku z Funduszu 1 = 1

,

1 7 ⋅ 1

,

0

W Funduszu 1 zostaje:

7

1

,

1

Czyli z Funduszu 1 na koniec mamy 8

1

,

1

WYPŁATA Z II FUNDUSZU:

7



1



1 −

1

,

1





2



,

1 07 

13

2

11

7

13

1

,

1 ⋅ 1

,

0 ⋅ ,

1 07

+ 1

,

1

⋅ 1

,

0 ⋅ ,

1 07 + ... + 1

,

1

⋅ 1

,

0 ⋅ ,

1 07 = 1

,

0 ⋅ 1

,

1 ⋅ ,

1 07

1

1 − 1

,

1

2

,

1 07

7



1

,

1



1 − 



2

 ,

1 07 

8

13

WYPLAT (

A II ) = 1

,

1

+ 1

,

0 ⋅ 1

,

1 ⋅ ,

1 07

1

,

1

1 −

2

,

1 07

1

1

j = [ WYPLAT (

A I )]15 −1

1

j 2 = [ WYPLAT (

A II )]15 −1

j 2 − 1

j ≈ ,

0 45% ≈ 5

,

0 %