PRZESTRZENIE WEKTOROWE
Jacek Jędrzejewski
2010/2011
Spis treści
1
Określenie przestrzeni liniowej
2
2
Podstawowe własności przestrzeni liniowych
2
3
Podprzestrzenie liniowe
3
4
Liniowa zależność układu wektorów
4
5
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
7
1
Określenie przestrzeni liniowej
Niech V będzie dowolnym zbiorem niepustym, a K ciałem. Funkcję przekształcającą zbiór
K × V w zbiór V nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze V . Często będziemy mówili
wtedy, że jest to mnożenie elementów zbioru V przez elementy ciała K. Ciało K nazywamy
wtedy zbiorem operatorów (lub ciałem skalarów).
Jeśli funkcję tę oznaczymy symbolem ·, to również zamiast pisać ·( α, x) będziemy pisali α·x lub krócej αx, gdzie α ∈ K i x ∈ V .
Definicja 1 Przestrzenią liniową (lub przestrzenią wektorową) nad ciałem K nazywamy niepusty zbiór V z dwoma działaniami: działaniem wewnętrznym oznaczanym symbolem + i zwanym dodawaniem i działaniem zewnętrznym oznaczanym symbolem · i nazywanym mnożeniem, które
spełniają następujące warunki:
I.
(V , +) jest grupą przemienną,
II.
∀ ∀
λ ( v
,
λ∈ K
v 1 ∈ V ∀v 2 ∈ V
1 + v 2) = ( λv 1) + ( λv 2)
III. ∀
∀
∀
( λ
,
λ 1 ∈ K
λ 2 ∈ K
v∈ V
1 + λ 2) v = ( λ 1 v) + ( λ 2 v)
IV. ∀
∀
∀
( λ
,
λ 1 ∈ K
λ 2 ∈ K
v∈ V
1 ·λ 2) ·v = ( λ 1 ·( λ 2 ·v))
V.
∀
1 ·v = v , gdzie 1 oznacza jedynkę w ciele
v∈ V
K .
2
Podstawowe własności przestrzeni liniowych
Własność 2 W każdej przestrzeni liniowej istnieje tylko jeden wektor zerowy.
Własność 3 W każdej przestrzeni liniowej dla każdego wektora a istnieje tylko jeden wektor przeciwny do a.
Własność 4 Dla każdego elementu α z ciała K i wektora zerowego 0 z przestrzeni liniowej spełniony jest warunek α·0 = 0 .
Własność 5 Dla każdego wektora a z przestrzeni liniowej i zera z ciała K spełniony jest warunek 0 ·a = 0 .
Własność 6 Dla każdej przestrzeni liniowej V nad K spełnione są następujące warunki:
1. ∀
( − 1) ·a = −a ,
a∈ V
2. ∀
∀
( −λ) ·a = −( λa) ,
λ∈ K
a∈ V
3. ∀
∀
λa = 0 = ⇒ ( λ = 0 ∨ a = 0
,
λ∈ K
a∈ V
4. ∀
∀ ∀
λa = µa = ⇒ ( λ = µ ∨ a = 0
.
λ∈ K
µ∈ K
a∈ V
2
Definicja 7 Różnicą wektorów a i b z przestrzeni liniowej V nazywamy wektor a + ( −b) , oznaczamy ten wektor jako a − b.
Własność 8 Dla każdych dwóch wektorów a i b należących do przestrzeni liniowej V wektor
a − b jest jedynym wektorem spełniającym równanie
b + x = a.
3
Podprzestrzenie liniowe
Definicja 9 Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nad ciałem K . Niepusty podzbiór W
zbioru V nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni V , jeśli W tworzy przestrzeń liniową nad ciałem K względem działań indukowanych przez działania w przestrzeni V .
Twierdzenie 10 Niepusty podzbiór W zbioru V tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni V
wtedy i tylko wtedy, gdy
1. ∀
a + b ∈ W ,
a∈ W ∀b∈ W
2. ∀
∀
α·a ∈ W .
α∈ K
a∈ W
Definicja 11 Układem wektorów (skończonym) będziemy nazywali ciąg skończony, którego ele-
mentami są wektory.
Definicja 12 Kombinacją liniową układu wektorów ( a 1 , . . . , an) nazywamy wektor, mający postać
α 1 ·a 1 + . . . + αn·an,
gdzie α 1 , . . . , αn są pewnymi elementami ciała K .
Dla skrócenia zapisów będziemy stosowali również następujące oznaczenie:
n
X αkak = α 1 a 1 + . . . + αnan.
k=1
Definicja 13 Niech A będzie dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej V . Podprzestrzenią generowaną przez zbiór A (powłoką liniową zbioru A, lub podprzestrzenią rozpiętą na
zbiorze A) nazywamy zbiór wszystkich (skończonych) kombinacji liniowych wektorów ze zbioru
A. Zbiór ten oznaczamy symbolem span ( A) lub lin( A) lub L( A) .
3
Jeśli A jest skończonym układem wektorów ( a 1 , . . . , an), to będziemy również stosowali oznaczenie span ( a 1 , . . . , an) lub L ( a 1 , . . . , an) lub Stosując zapis symboliczny mamy:
span ( A) =
n
o
= x ∈ V : ∃
∃
x = α
.
n∈ N
( α 1 ,...,αn) ∈ K n ∃( a 1 ,..., an) ∈An
1 ·a 1 + . . . + αn ·an
Twierdzenie 14 Dla każdego niepustego podzbioru A przestrzeni liniowej V podprzestrzeń ge-nerowana przez zbiór A jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V .
4
Liniowa zależność układu wektorów
Definicja 15 Układ ( u 1 , . . . , um) wektorów z przestrzeni V nazywamy liniowo zależnym, jeśli istnieją elementy α 1 , . . . , αm w ciele K , nie wszystkie równe zeru i takie, że
α 1 u 1 + · · · + αmum = 0 .
Definicja 16 Układ ( u 1 , . . . , um) wektorów z przestrzeni V nazywamy liniowo niezależnym, jeśli nie jest on układem liniowo zależnym.
Własność 17 W każdej przestrzeni liniowej układ złożony z jednego wektora jest liniowo za-
leżny wtedy i tylko wtedy, gdy wektor ten jest zerowy.
Własność 18 Jeśli m > 1 , to układ wektorów ( a 1 , . . . , am) jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z tych wektorów jest kombinacją liniową pozostałych wektorów.
Własność 19 Jeśli część układu wektorów jest liniowo zależna, to również cały układ jest li-
niowo zależny.
Własność 20 Każda część układu liniowo niezależnego jest układem liniowo niezależnym.
Twierdzenie 21 (Twierdzenie Steinitza)
Jeśli układ wektorów ( x 1 , x 2 , . . . , xk) należących do podprzestrzeni span ( a 1 , . . . , am)
jest liniowo niezależny, to k ¬ m.
Przeprowadzimy dowód równoważnego sformułowania twierdzenia Steinitza.
4
Twierdzenie 22 Jeśli wektory x 1 , x 2 , . . . , xk należą do podprzestrzeni span ( a 1 , . . . , am)
oraz k > m, to układ wektorów ( x 1 , x 2 , . . . , xk) jest liniowo zależny.
D o w ó d. Z Własności 19 wynika, że wystarczy udowodnić tezę, gdy k = m + 1 .
W dowodzie wykorzystamy metodę indukcji matematycznej.
Załóżmy, że m = 1 .
Niech x 1 i x 2 będą wektorami należącym do przestrzeni generowanej przez wektor a 1 .
Jeśli x 1 = 0 lub x 2 = 0, to układ wektorów ( x 1 , x 2) jest liniowo zależny.
Jeśli x 1 6= 0 i x 2 6= 0, to istnieją elementy α 1 i α 2 takie, że α 1 6= 0 i α 2 6= 0 i x 1 = α 1 a 1 i x 2 = α 2 a 1 .
Wtedy
α 2 x 1 + ( −α 1) x 2 = ( α 2 · α 1) a 1 + ( −α 1 · α 2) a 1 = 0
a ponieważ α 1 · α 2 6= 0, więc wektory x 1 i x 2 stanowią układ liniowo zależny.
Załóżmy teraz, że m jest dowolną (ustaloną) liczbą naturalną oraz każdy układ m + 1 wektorów w podprzestrzeni generowanej przez m wektorów jest liniowo zależny. Udowodnimy, że
układ m + 2 wektorów należących do podprzestrzeni generowanej przez m + 1 wektorów jest liniowo zależny.
Niech x 1 , . . . , xm+1 , xm+2 będą wektorami należącymi do podprzestrzeni generowanej przez wektory a 1 , . . . , am+1 . Udowodnimy, że wektory
x 1 , . . . , xm+1 , xm+2
są liniowo zależne. Z założenia wynika, że istnieją elementy
α 1 , 1 , . . . , α 1 ,m+1 , . . . , αm+2 , 1 , . . . , αm+2 ,m+1
ciała K takie, że
x 1 = α 1 , 1 a 1 + · · · + α 1 ,mam + α 1 ,m+1 am+1 ,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
xm+1 = αm+1 , 1 a 1 + · · · + αm+1 ,mam + αm+1 ,m+1 am+1 ,
xm+2 = αm+2 , 1 a 1 + · · · + αm+2 ,mam + αm+2 ,m+1 am+1 .
Jeśli α 1 ,m+1 = 0 , α 2 ,m+1 = 0 , . . . αm+2 ,m+1 = 0 , to wektory x 1 , . . . , xm+1 należą do podprzestrzeni span ( a, . . . , am) i, stosując założenie indukcyjne, wnioskujemy, że tworzą one układ liniowo zależny, tak więc również układ wektorów ( x 1 , . . . , xm+1 , xm+2) jest liniowo zależny.
5
Załóżmy teraz, że przynajmniej jeden ze współczynników
α 1 ,m+1 , . . . , αm+2 ,m+1
jest różny od zera. Niech np. αm+2 ,m+1 6= 0. Rozważmy wektory
α
!
y
1 ,m+1
= x
−
x
1
1 +
m+2 ,
αm+2 ,m+1
α
!
y
2 ,m+1
= x
−
x
2
2 +
m+2 ,
αm+2 ,m+1
...................................................
α
!
y
m+1 ,m+1
= x
−
x
m+1
m+1 +
m+2 .
αm+2 ,m+1
Przedstawmy teraz wektor y w innej postaci, wstawiając w miejsce wektorów x
1
1, xm+2
odpowiednie kombinacje liniowe wektorów a 1 , . . . , am+1 :
y = α
1
1 , 1 a 1 + · · · + α 1 ,mam + α 1 ,m+1 am+1+
α
!
1 ,m+1
+ −
· ( αm+2 , 1 a 1 + · · · + αm+2 ,m+1 am+1) =
αm+2 ,m+1
= α 1 , 1 a 1 + · · · + α 1 ,mam + α 1 ,m+1 am+1+
α
!
!
1 ,m+1 αm+2 , 1
α 1 ,m+1 αm+2 ,m
+ −
· a 1 + · · · + −
· am + ( −α 1 ,m+1) · am+1 =
αm+2 ,m+1
αm+2 ,m+1
α
!
!
1 ,m+1 αm+2 , 1
α 1 ,m+1 αm+2 ,m
=
α 1 , 1 −
· a 1 + · · · + α 1 ,m −
· am.
αm+2 ,m+1
αm+2 ,m+1
Udowodniliśmy, że wektor y należy do podprzestrzeni span ( a
1
1 , . . . , am) .
Podobnie dowodzi się, że
y ∈ span ( a
∈ span ( a
2
1 , . . . , am) , . . . , ym+1
1 , . . . , am) .
Korzystając z założenia indukcyjnego wnioskujemy, że wektory
y , . . . , y , y
1
m
m+1
są liniowo zależne. Istnieją więc elementy β 1 , . . . , βm+1 w ciele K (nie wszystkie równe zeru) takie, że
β 1 y + · · · + β
= 0 .
1
m+1 ym+1
Z tego wynika, że również
β 1 x 1 + · · · + βm+1 xm+1 + βm+2 xm+2 = 0 , 6
α
α
!
β
1 ,m+1 β 1
m+1 ,m+1 βm+1
m+2 = −
+ · · · +
.
αm+2 ,m+1
αm+2 ,m+1
Ponieważ przynajmniej jeden z elementów β 1 , . . . , βm+1 jest różny od zera, więc również i przynajmniej jeden z elementów β 1 , . . . , βm+1 , βm+2 jest różny od zera. Dowodzi to, że układ wektorów ( x 1 , x 2 , . . . , xm+1 , xm+2) jest liniowo zależny.
Zgodnie z zasadą indukcji matematycznej wnioskujemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla
każdej liczby naturalnej m.
Definicja 23 (Nieskończony) Zbiór wektorów nazywamy liniowo niezależnym, jeśli każdy skoń-
czony podzbiór tego zbioru jest układem liniowo niezależnym.
5
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Definicja 24 Układ wektorów ( x 1 , x 2 , . . . , xn) z przestrzeni liniowej V nazywamy bazą przestrzeni V , jeśli
(1 0) układ wektorów ( x 1 , x 2 , . . . , xn) jest liniowo niezależny, (2 0) każdy wektor przestrzeni V można przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów
x 1 , x 2 , . . ., xn.
Inaczej mówiąc, układ wektorów ( x 1 , x 2 , . . . , xn) jest bazą przestrzeni liniowej V wtedy i tylko wtedy, gdy układ ten jest liniowo niezależny i
V = span ( x 1 , x 2 , . . . , xn) .
Jeszcze inaczej możemy powiedzieć, że układ wektorów ( x 1 , x 2 , . . . , xn) jest bazą przestrzeni liniowej V wtedy i tylko wtedy, gdy układ ten jest liniowo niezależny i każdy wektor a
tej przestrzeni można przedstawić w postaci
(1)
a = α 1 x 1 + · · · + αnxn,
gdzie α 1 , . . . , αn są pewnymi elementami z ciała K. Równość (1) nazywamy rozkładem wektora a
względem bazy ( x 1 , x 2 , . . . , xn). Współczynniki α 1 , . . . , αn nazywamy współrzędnymi wektora
a względem tej bazy.
Niestety, nie wszystkie przestrzenie liniowe mają bazę taką jak zdefiniowaliśmy ją przed chwi-
lą. Aby zagwarantować istnienie bazy każdej niezerowej przestrzeni liniowej należy powyższą
definicję trochę zmodyfikować.
Definicja 25 Podzbiór A wektorów przestrzeni V nazywamy bazą przestrzeni V , jeśli 7
(1) zbiór wektorów A jest liniowo niezależny,
(2) każdy wektor przestrzeni V można przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów ze zbioru A.
Powyższa definicja jest zgodna z poprzednią w przypadku, gdy istnieje baza skończona.
Ta definicja umożliwia jednak udowodnienie, że każda niezerowa przestrzeń liniowa ma bazę.
Dowód tego twierdzenia nie jest elementarny, więc pominiemy go. Wymaga on dość zaawan-
sowanych rozważań teorio-mnogościowych. W dalszym ciągu będziemy zajmowali się takimi
przestrzeniami liniowymi, w których istnieją bazy, będące zbiorami skończonymi.
Twierdzenie 26 Rozkład wektora względem danej bazy przestrzeni liniowej jest jednoznaczny.
D o w ó d. Załóżmy, że układ ( x 1 , x 2 , . . . , xn) jest bazą przestrzeni liniowej V i istnieje wektor a, mający dwa rozkłady, tj.
a = α 1 x 1 + · · · + αnxn
oraz
a = β 1 x 1 + · · · + βnxn.
Wtedy
0 = ( α 1 − β 1) x 1 + · · · + ( αn − βn) xn.
Z liniowej niezależności wektorów bazy wynika, że
α 1 − β 1 = 0 , . . . , αn − βn = 0 ,
czyli α 1 = β 1 , . . . , αn = βn, co kończy dowód.
Twierdzenie 27 Układ wektorów ( x 1 , x 2 , . . . , xn) stanowi bazę przestrzeni liniowej V wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor przestrzeni V można jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji liniowej tego układu wektorów.
D o w ó d. Jeśli układ ( x 1 , x 2 , . . . , xn) stanowi bazę przestrzeni liniowej V , to rzeczywiście każdy wektor ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji liniowej tych wektorów.
Załóżmy teraz, że każdy wektor przestrzeni V ma jednoznaczne przedstawienie w postaci
liniowej kombinacji wektorów x 1 , x 2 , . . . , xn. Wynika stąd bezpośrednio, że V = span ( x 1 , . . . , xn) .
Ponadto, jeśli
α 1 x 1 + . . . + αnxn = 0 ,
8
to z uwagi na jednoznaczność tego przedstawienia i równość
0 · x 1 + . . . + 0 · xn = 0
wnioskujemy, że
α 1 = 0 ,
. . . ,
αn = 0 .
To znaczy, że układ ( x 1 , x 2 , . . . , xn) jest liniowo niezależny. Tak więc układ tych wektorów stanowi bazę przestrzeni V .
Twierdzenie 28 Każde dwie bazy przestrzeni liniowej mają tę samą liczbę elementów.
D o w ó d. Niech ( x 1 , x 2 , . . . , xn) oraz ( y , y , . . . , y ) będą dwiema bazami pewnej prze-1
2
m
strzeni liniowej V . Z równości
V = span ( x 1 , . . . , xn) i V = span ( y , . . . , y ) 1
m
oraz twierdzenia Steinitza wynikają nierówności m ¬ n i n ¬ m, co kończy dowód twierdzenia.
Definicja 29 Przestrzeń liniową V nazywamy n-wymiarową, jeśli ma bazę złożoną z n wektorów. Liczbę n nazywamy wymiarem tej przestrzeni. Wymiar przestrzeni V oznaczamy symbolem
dim V .
W tym przypadku mówimy także, że przestrzeń V jest przestrzenią skończenie wymiarową.
Przyjmujemy, że przestrzeń zerowa ma wymiar zero; mówimy też, że przestrzeń zerowa jest
przestrzenią zero-wymiarową.
Twierdzenie 30 Jeśli przestrzeń liniowa V jest n-wymiarowa, to każdy układ wektorów liniowo niezależnych, złożony z n wektorów tej przestrzeni, jest bazą tej przestrzeni.
D o w ó d. Załóżmy, że wektory x 1 , . . . , xn są liniowo niezależne. Niech x będzie dowolnym wektorem tej przestrzeni. Z twierdzenia Steinitza wynika, że układ ( x 1 , . . . , xn, x) jest liniowo zależny. Istnieją więc elementy α 1 , . . . , αn, α z ciała K nie wszystkie równe zeru i takie, że α 1 x 1 + . . . + xnαn + αx = 0 .
Gdyby α był elementem zerowym, to otrzymalibyśmy sprzeczność z liniową niezależnością
wektorów x 1 , . . . , xn. Zatem α 6= 0. Z poprzedniej równości wynika więc, że
α
α
x
1
n
=
−
· x 1 + . . . + −
· xn,
α
α
skąd wnioskujemy, że
x ∈ span ( x 1 , . . . , xn) .
Udowodniliśmy w taki sposób, że układ x 1 , . . . , xn stanowi bazę przestrzeni liniowej V .
Z przyjętej definicji bazy przestrzeni liniowej i rozważań w poprzednim dowodzie wynika
następujące twierdzenie:
9
Twierdzenie 31 Przestrzeń liniowa V jest n-wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w tej przestrzeni układ wektorów liniowo niezależny złożony z n wektorów i każdy układ wektorów
złożony z większej liczby wektorów jest liniowo zależny.
Liniowo niezależny układ wektorów nazywamy maksymalnym układem liniowo niezależnym,
jeśli dołączenie do niego choćby jednego wektora powoduje, że układ taki staje się układem
liniowo zależnym.
Pamiętając o tym, że układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z
wektorów jest kombinacją liniową pozostałych, otrzymujemy następującą charakterystykę bazy
przestrzeni liniowej.
Twierdzenie 32 Układ wektorów stanowi bazę przestrzeni liniowej wtedy i tylko wtedy, gdy
jest on maksymalnym układem liniowo niezależnym w tej przestrzeni.
Definicja 33 Przestrzeń liniową nazywamy nieskończenie wymiarową, jeśli dla każdej liczby
naturalnej n istnieje układ wektorów liniowo niezależny złożony z n wektorów.
Przykład 1 Niech
n
K będzie dowolnym ciałem. Przestrzeń liniowa K
ma wymiar n. Istotnie,
wektory e 1 , e 2 , . . . , en, gdzie
e 1 = (1 , 0 , 0 , . . . , 0) , e 2 = (0 , 1 , 0 , . . . , 0) , . . . , en = (0 , . . . , 0 , 1) , są liniowo niezależne oraz każdy wektor x, gdzie x = ( x 1 , x 2 , . . . , xn) , można przedstawić w postaci
x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + . . . + xnen.
Bazę tę nazywamy bazą kanoniczną przestrzeni
n
K .
Przykład 2 Przestrzeń S ( E 3) wektorów swobodnych jest trójwymiarowa, gdyż istnieją trzy wektory liniowo niezależne, a każde cztery są liniowo zależne.
Niech e 1 , . . . , en będzie bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wtedy dla wektorów a,
b mających przedstawienie
a = α 1 e 1 + · · · + αnen i b = β 1 e 1 + · · · + βnen i dowolnego elementu λ z ciała K mamy:
λa = ( λα 1) e 1 + · · · + ( λαn) en,
a + b = ( α 1 + β 1) e 1 + · · · + ( αn + βn) en.
10
Ze względu na te równości możemy powiedzieć, że przy dodawaniu wektorów dodajemy ich
współrzędne, a przy mnożeniu wektora przez skalar każdą współrzędną mnożymy przez dany
skalar.
Jeśli symbole [ a] i [ b] oznaczają ciągi współrzędnych wektorów a i b, to
[ a + b] = [ α 1 + β 1 , . . . , αn + βn] = [ a] + [ b] ,
[ λ·a] = [ λ·α 1 , . . . , λαn] = λ·[ a] .
Na koniec tego paragrafu udowodnimy dwa z częściej wykorzystywanych twierdzeń, a zapo-
minanych w głównym wątku wykładu.
Twierdzenie 34 Jeśli W jest podprzestrzenią liniową skończenie wymiarowej przestrzeni V i dim W = dim V , to W = V .
D o w ó d. Ponieważ W jest podprzestrzenią przestrzeni skończenie wymiarowej, więc istnieje
skończona baza tej podprzestrzeni; niech to będzie układ ( w 1 , . . . , wn) . Oczywiście wektory te należą do przestrzeni V i są liniowo niezależne. Z równości wymiarów przestrzeni V i W wynika,
że dim V = n, zatem wektory w 1 , . . . , wn stanowią bazę przestrzeni V , zgodnie z twierdzeniem 30. Tak więc
V = span ( w 1 , . . . , wn) = W ,
co kończy dowód.
Twierdzenie 35 Jeśli układ ( x 1 , . . . , xm) wektorów w przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej V , dla której dim V = n i m < n, jest liniowo niezależny, to istnieją wektory xm+1 , . . . , xn takie, że układ
( x 1 , . . . , xm, xm+1 , . . . , xn)
jest bazą przestrzeni V .
D o w ó d. Ponieważ m < n, więc istnieje wektor xm+1 w przestrzeni V taki, że
xm+1 6∈ span ( x 1 , . . . , xm) .
Jeśli m + 1 = n, to układ ( x 1 , . . . , xm, xm+1), będąc liniowo niezależnym, stanowi, w myśl twierdzenia 30, bazę przestrzeni V .
Załóżmy, że m + 1 < n i dla każdego elementu k ze zbioru {m + 1 , . . . , n − 1 } określiliśmy wektory xm+1 , . . . , xk takie, że
xi 6∈ span ( x 1 , . . . , xi− 1) ,
gdy i ∈ {m + 1 , . . . , k}.
11
Ponieważ k < n, więc istnieje wektor xk+1 taki, że
xk+1 6∈ span ( x 1 , . . . , xk) .
W ten sposób określiliśmy indukcyjnie, dla każdej liczby naturalnej k, ze zbioru {m + 1 , . . . , n}
ciąg wektorów xm+1 , . . . , xk taki, że układ
x 1 , . . . , xm, xm+1 , . . . , xk
jest liniowo niezależny. Ponieważ k nie może być większe niż n, więc ciąg
( x 1 , . . . , xm, xm+1 , . . . , xn)
stanowi bazę przestrzeni V .
Powyższe twierdzenie można sformułować następująco:
Twierdzenie 27 0 Każdy liniowo niezależny układ wektorów skończenie wymiarowej przestrzeni
liniowej można uzupełnić do bazy tej przestrzeni.
Wniosek 1 Jeśli V1 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni skończenie wymiarowej V , to dim V1 ¬ dim V .
12