WYKŁAD 1
Liczby zespolone
Jacek Jędrzejewski
2010/2011
Spis treści
1
Liczby zespolone
2
1.1
Definicja liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Postać kanoniczna liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Postać trygonometryczna liczby zespolonej . . . . . . . . . . .
6
1.4
Pierwiastkowanie liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . .
9
1
Liczby zespolone
1.1
Definicja liczby zespolonej
Wiadomo, że równanie x 2 + 1 = 0 nie ma pierwiastków (rozwiązań) w zbiorze liczb rzeczywistych, gdyż kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną.
„Rozszerzamy” więc ciało liczb rzeczywistych R w taki sposób, aby równanie x 2 + 1 = 0 miało w nowym ciele rozwiązanie.
Ciało liczb rzeczywistych utożsamiamy z „prostą liczbową”, na której usta-lono punkt odpowiadający liczbie 0 i odcinek jednostkowy, którego koniec utożsamiamy z liczbą 1.
Niestety, na prostej nie można już znaleźć miejsca dla nowych liczb.
W tym celu do (geometrycznej) konstrukcji ciała liczb zespolonych zasto-sujemy płaszczyznę, którą będziemy nazywali płaszczyzną zespoloną.
Niech
2
C oznacza zbiór R , czyli
C = {( a, b) : a ∈ R ∧ b ∈ R } .
W zbiorze tym określamy działania + i · w sposób następujący:
( a, b) + ( c, d) =
a + c, b + d ,
( a, b) · ( c, d) =
ac − bd, ad + bc .
Zwróćmy tu jednak uwagę na fakt, że symbole + oraz · zostały użyte w dwóch znaczeniach; raz dla oznaczenia działań w zbiorze liczb rzeczywistych, a drugi raz dla oznaczenia nowych działań w zbiorze C .
Parę ( a, b) będziemy nazywali liczbą zespoloną, a zgodnie z własnościami par uporządkowanych, liczby ( a, b) i ( c, d) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.
Liczby zespolone będziemy oznaczali krótko jako z, z 1 lub podobnie. Wtedy mamy: z = ( a, b).
2
W naturalny sposób każdej liczbie zespolonej jest więc przypisany punkt na płaszczyźnie, oraz odwrotnie, każdemu punktowi płaszczyzny jest przypi-sana pewna liczba zespolona.
Liczbie zespolonej z równej parze ( a, b) odpowiada na płaszczyźnie punkt o współrzędnych ( a, b).
Twierdzenie 1 Zbiór C wraz z działaniami określonymi powyżej spełnia na-stępujące warunki:
Przemienność
Łączność działań
Rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Para (0 , 0) jest, jak łatwo zauważyć, elementem zerowym, natomiast para (1 , 0) jest jedynką w zbiorze C .
Elementem przeciwnym do pary ( a, b) jest para ( −a, −b), gdyż ( −a, −b) + ( a, b) = ( −a + a, −b + b) = (0 , 0) .
Jeśli para ( a, b) jest różna od zera, czyli różna od pary (0 , 0), to a 6= 0 lub b 6= 0, więc a 2 + b 2 > 0 .
Z równości
a
−b
!
( a, b) ·
,
=
a 2 + b 2 a 2 + b 2
a
−b
−b
a
!
=
a ·
− b ·
, a ·
+ b ·
=
a 2 + b 2
a 2 + b 2
a 2 + b 2
a 2 + b 2
a 2 + b 2
−ab + ab !
=
,
= (1 , 0)
a 2 + b 2
a 2 + b 2
a
−b
!
wynika, że para
,
jest elementem odwrotnym do pary
a 2 + b 2 a 2 + b 2
( a, b) .
Warunki powyższe pozwalają stwierdzić, że (C , + , ·) tworzy ciało.
3
Postać kanoniczna liczby zespolonej
Ponieważ
(0 , b) = ( b, 0) · (0 , 1)
oraz
( a, b) = ( a, 0) + (0 , b) = ( a, 0) + ( b, 0) · (0 , 1) , więc możemy utożsamić parę, mającą postać ( a, 0) z liczbą a oraz ozna-czając parę (0 , 1) symbolem i, otrzymujemy przedstawienie liczby zespolonej ( a, b) w postaci
a + bi.
Taki zapis liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną lub postacią algebraiczną.
Oczywiście, i 2 = − 1.
Zauważmy teraz, jak łatwo jest wykonywać działania na liczbach zespolonych, jeśli przedstawiamy je w postaci kanonicznej.
Na przykład:
( a + bi) · ( c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = ac − bd + ( ad + bc) i.
a + bi
( a + bi) · ( c − di)
( a + bi) : ( c + di) =
=
=
c + di
( c + di) · ( c − di)
( ac + bd) + ( −ad + bc) · i
ac + bd
−ad + bc
=
=
+
· i
c 2 + d 2
c 2 + d 2
c 2 + d 2
Definicja 1 Częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, mającej postać z = ( a, b) = a + bi,
nazywamy liczbę (rzeczywistą) a. Część rzeczywistą liczby zespolonej z oznaczamy symbolem re z.
Definicja 2 Częścią urojoną liczby zespolonej z, mającej postać z = ( a, b) =
a + bi nazywamy liczbę (rzeczywistą) b. Część urojoną liczby zespolonej z oznaczamy symbolem im z.
4
Często liczby zespolone będziemy zapisywali w postaci a + ib. Tak więc liczbę z równą a + ib możemy przedstawić w postaci z = re z + i · im z.
Liczbę zespoloną, mającą postać yi, gdzie (rzecz jasna) y jest liczbą rzeczywistą, nazywamy liczbą czysto urojoną.
Jeśli z = x + iy, to liczbę z, mającą postać z = x − iy,
nazywamy liczbą sprzężoną do liczby z.
Twierdzenie 2 Dla dowolnych liczb zespolonych z 1 , z 2 spełnione są warunki:
z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ,
i
z 1 − z 2 = z 1 − z 2 ,
z 1 · z 2 = z 1 · z 2 ,
z
1
z 1
=
,
gdy
z 2 6= 0 .
z 2
z 2
Przykład 1 Oto kilka przykładów działań na liczbach zespolonych.
(1 + i) + (2 − 5 i) = 3 − 4 i, (2 + 3 i) · (4 − 6 i) = 8 − 12 i + 12 i + 18 = 26, 3 + 2 i
(3 + 2 i)(1 − i)
3 + 2 − 3 i + 2 i
5
1
=
=
=
−
· i.
1 + i
(1 + i)(1 − i)
2
2
2
Przykład 2 Przykłady wyznaczania części rzeczywistej i urojonej.
re ( − 3 + 4 i) = − 3 ,
im ( − 3 + 4 i) = 4 ,
re (3 − 7 i) = 3 ,
im (3 − 7 i) = − 7 ,
(21 + 13 i) = 21 − 13 i,
(21 − 13 i) = 21 + 13 i.
5
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Liczby zespolone możemy przedstawiać na płaszczyźnie z układem współ-
rzędnych. Wtedy liczbie zespolonej x + iy odpowiada punkt o współrzędnych ( x, y). Liczbę zespoloną będziemy najczęściej utożsamiać z odpowiadającym jej punktem na płaszczyźnie zespolonej.
6
Im
1
x
0
1
Re
-
y
z
Oś odciętych nazywamy zwykle osią rzeczywistą, oś rzędnych – osią urojoną.
Definicja 3 Modułem liczby zespolonej z, gdzie z = a + ib, nazywamy liczbę
√
|z|, określoną wzorem |z| =
a 2 + b 2 .
Geometrycznie, moduł liczby zespolonej z oznacza jej odległość od począt-ku układu współrzędnych. Jest też długością wektora, którego początkiem jest początek układu współrzędnych, a końcem punkt z. Wektor ten często nosi nazwę wektora wodzącego liczby z.
6
Definicja 4 Argumentem liczby zespolonej z różnej od zera nazywamy liczbę rzeczywistą φ, spełniającą układ równań:
cos φ = re z ,
|z|
sin φ = im z .
|z|
Argument liczby zespolonej nie jest wyznaczony więc jednoznacznie. Każ-
de dwie wartości argumentu liczby zespolonej różnią się o wielokrotność liczby 2 π. Argumentem liczby zespolonej jest więc miara zorientowanego kąta uogól-nionego, utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej i wektor wodzący liczby z.
Argument liczby zespolonej z oznaczamy symbolem arg z.
Niech r będzie modułem niezerowej liczby zespolonej z, gdzie z = a + ib, zaś φ jednym z jej argumentów.
Wtedy
a = r cos φ i b = r sin φ
Zatem liczbę z można przedstawić w postaci
z = r · (cos φ + i sin φ) .
To przedstawienie liczby z nazywamy postacią trygonometryczną liczby z.
Im
6
1
'$
a
φ
1
Re
-
r
N
0
b
z
7
z = r · (cos φ + i sin φ)
i
z0 = r0 · (cos φ0 + i sin φ0) .
Wtedy
z ·z0 = r·r0 · cos ( φ + φ0) + i sin ( φ + φ0) i
z
r
=
· cos ( φ − φ0) + i sin ( φ − φ0) .
z0
r0
Twierdzenie 4 (Wzór de Moivre’a). Dla każdej liczby rzeczywistej φ i dla każdej liczby naturalnej n spełniony jest warunek
(cos φ + i sin φ) n = cos( nφ) + i sin( nφ) .
Wniosek 1 Jeśli z jest liczbą zespoloną różną od zera, to dla każdej liczby naturalnej n,
zn = |z|n
i
arg zn = n · arg z.
Oczywiście, drugi z powyższych wzorów należy rozumieć w taki sposób,
że jeden z argumentów należy dobrać do drugiego tak, aby była spełniona odpowiednia równość.
Czasami stosuje się oznaczenie
eiφ = cos φ + i· sin φ.
Powyższy wzór nosi nazwę wzoru Eulera.
Każdą liczbę zespoloną z różną od zera można więc przedstawić w postaci z = |z|·eiφ,
gdzie φ jest argumentem liczby z.
√
Przykład 3 Przedstawmy liczbę 1 + i 3 w postaci trygonometrycznej.
8
√
√
Ponieważ re 1 + i 3 = 1 oraz im 1 + i 3 =
3,
więc
√
r
√
2
1 + i
3 =
12 +
3
= 2 .
Zatem
√
1
3
cos φ =
i
sin φ =
.
2
2
Wnioskujemy stąd, że φ = π .
3
Teraz możemy zapisać
√
π
π
1 + i 3 = 2 · cos
+ i sin
.
3
3
Przykład 4 Obliczmy (1 + i)140 .
Ponieważ
√
π
π
1 + i =
2 · cos
+ i sin
,
4
4
więc korzystając ze wzoru de Moivre’a otrzymujemy:
√
π
π 140
(1 + i)140 =
2 · cos
+ i sin
=
4
4
√
140
140
π
π
=
2
· cos
+ i sin
=
4
4
= 270 · (cos 35 π + i sin 35 π) = 270 · (cos π + i sin π) = − 270 .
1.4
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Jedną z pierwszych własności, która istotnie wyróżnia zbiór liczb zespolonych, jest możliwość pierwiastkowania. Zgodnie ze zwyczajem definiowania pierwiastków przyjmujemy następującą definicję.
Definicja 5 Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy liczbę zespoloną w taką, że wn = z.
9
Oczywiście, jedynym pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby 0 jest 0.
Twierdzenie 5 Niech liczba zespolona z, różna od zera, ma postać z = r(cos φ + i sin φ) .
Wtedy każda liczba wk, mająca postać
√
φ + 2 kπ
φ + 2 kπ !
wk = n r · cos
+ i sin
,
n
n
gdzie k jest liczbą całkowitą, jest pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z oraz każdy pierwiastek n-tego stopnia z liczby z jest jedną z liczb wk.
Zauważmy, że różnych pierwiastków n-tego stopnia z liczby z jest n. Są to liczby wk, gdy k jest jedną z liczb 0 , 1 , . . . , n − 1 . Wynika to z okresowości funkcji sin i cos .
Przykład 5 Znajdźmy pierwiastki 4 -tego stopnia z liczby 1.
Ponieważ 1 = 1 · (cos 0 + i sin 0) , więc pierwiastkami czwartego stopnia z liczby 1 są liczby, mające postać
√
2 kπ
2 kπ !
wk = 4 1 · cos
+ i sin
,
4
4
gdzie k jest liczbą całkowitą,
zatem różnymi pierwiastkami czwartego stopnia są:
w 0 = 1 ,
w 1 = i,
w 2 = − 1 ,
w 3 = −i.
Przykład 6 Znajdźmy pierwiastki 3-go stopnia z liczby 8 + 8 i.
Ponieważ
√
π
π
8 + 8 i =
128 · cos
+ i sin
,
4
4
więc pierwiastki 3-go stopnia z tej liczby mają postać
π
π
!
q √
3
+ 2 kπ
+ 2 kπ
w
4
4
k =
128 · cos
+ i sin
,
3
3
10
√
π + 8 kπ
π + 8 kπ !
wk = 2 · 6 2 · cos
+ i sin
,
12
12
gdzie k jest jedną z liczb 0, 1, 2.
11