Funkcjonały dwuliniowe
Jacek Jędrzejewski
1
Funkcjonały dwuliniowe
Definicja 1 Funkcjonałem dwuliniowym w przestrzeni V nad ciałem K nazywamy funkcję φ : V × V −→ K , która jest przekształceniem liniowym ze względu na każdą ze zmiennych
czyli funkcję spełniającą następujące warunki:
∀
φ( a + a0, b) = φ( a, b) + φ( a0, b) ,
a∈ V ∀a0∈ V ∀b∈ V
∀
φ( a, b + b0) = φ( a, b) + φ( a, b0) ,
a∈ V ∀b∈ V ∀b0∈ V
∀ ∀
φ( α·a, b) = α·φ( a, b) , α∈ K
a∈ V ∀b∈ V
∀ ∀
φ( a, α·b) = α·φ( a, b) .
α∈ K
a∈ V ∀b∈ V
Określając w tradycyjny sposób dodawanie funkcjonałów dwuliniowych
i mnożenie tychże przez elementy z ciała K, zauważamy bez trudu, że zbiór wszystkich funkcjonałów dwuliniowych w przestrzeni liniowej V nad cia-
łem K jest też przestrzenią liniową nad ciałem K .
Przestrzeń wszystkich funkcjonałów dwuliniowych określonych w prze-
strzeni V oznaczamy symbolem L 2(V , K).
Niech B, gdzie B = ( b 1 , . . . , bn), będzie bazą przestrzeni V i niech φ będzie dowolnym funkcjonałem dwuliniowym w przestrzeni V .
Dla dowolnych wektorów x i y, mających przedstawienia n
n
x = X x
X
i ·bi
i
y =
yi·bi,
(1)
i=1
i=1
mamy
n
n
n
n
φ( x, y) = φ
X x
X y
X X x
i ·bi,
j ·bj =
i ·yj ·φ( bi, bj ) .
i=1
j=1
i=1 j=1
Wartości φ( bi, bj) są zależne tylko od funkcjonału dwuliniowego φ. Ozna-czając przez αij wartości φ( bi, bj), możemy przedstawić funkcjonał φ w postaci
n
n
X X αij ·xi·yj.
i=1 j=1
Współczynniki αij występujące w powyższym wzorze tworzą macierz A, gdzie
2
α
11
α 12
. . .
α 1 n
α
A =
21
α 22
. . .
α 2 n
,
. . .
. . .
. . .
. . .
αn 1
αn 2
. . .
αnn
którą nazywamy macierzą funkcjonału dwuliniowego φ względem bazy B.
Wtedy, oczywiście,
A = [ φ( bi, bj)]
oraz
φ( x, y) = [ x] • A • [ y] t, gdzie [ x] = [ x 1 , . . . , xn] i [ y] = [ y 1 , . . . , yn] .
Twierdzenie 2 Niech B i B0: B = ( b 1 , . . . , bn) i B0 = ( b0 , . . . , b0 ) będą 1
n
dwiema bazami przestrzeni V oraz macierz C , gdzie
c
11
c 12
. . .
c 1 n
c
C =
21
c 22
. . .
c 2 n
,
. . .
. . .
. . .
. . .
cn 1
cn 2
. . .
cnn
będzie macierzą przejścia od bazy B do bazy B0. Jeśli funkcjonał dwuliniowy φ ma względem bazy B macierz A , a względem bazy B0 — macierz A 0, to A 0 = C t • A • C .
D o w ó d. Niech
α
11
. . . α 1 n
α0
. . . α0
11
1 n
A = . . .
. . . . . .
i
A 0 = . . .
. . . . . . .
αn 1 . . . αnn
α0
. . . α0
n 1
nn
n
n
!
Wtedy α0 = φ b0 , b0
= φ X c
X c
=
ij
i
j
ki ·bk ,
lj ·bl
k=1
l=1
n
n
n
n
= X X c
X X
ki ·clj ·φ( bk , bl) =
cki·clj ·αkl =
k=1 l=1
k=1 l=1
n
n
!
= X c
X
ki ·
αkl ·clj ,
k=1
l=1
a stąd wynika równość A 0 = C t • A • C .
3
Definicja 3 Rzędem funkcjonału dwuliniowego nazywamy rząd jego macierzy.
Twierdzenie 4 Rząd funkcjonału dwuliniowego nie zależy od wyboru bazy.
Definicja 5 Funkcjonał dwuliniowy φ : V 2 −→ K nazywamy symetrycznym, jeśli
φ( x, x0) = φ( x0, x) dla dowolnych wektorów x i x0 z przestrzeni V .
Definicja 6 Funkcjonał dwuliniowy φ : V 2 −→ K nazywamy skośnie symetrycznym (lub antysymetrycznym), jeśli
φ( x, x0) = −φ( x0, x) dla dowolnych wektorów x i x0 z przestrzeni V .
Definicja 7 Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeśli A t = A .
Definicja 8 Macierz kwadratową A nazywamy skośnie symetryczną, jeśli A t = −A .
Twierdzenie 9 Jeśli przestrzeń liniowa V jest skończenie wymiarowa, to funkcjonał dwuliniowy w tej przestrzeni jest symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz względem jakiejkolwiek bazy jest symetryczna.
Twierdzenie 10 Jeśli przestrzeń liniowa V jest skończenie wymiarowa, to funkcjonał dwuliniowy w tej przestrzeni jest skośnie symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz względem jakiejkolwiek bazy jest skośnie symetryczna.
Definicja 11 Mówimy, że baza B, gdzie B = ( b 1 , . . . , bn) , przestrzeni liniowej V jest bazą kanoniczną dla funkcjonału dwuliniowego φ przestrzeni V , jeśli φ( bi, bj) = 0 , gdy i 6= j.
Inaczej można określić bazę kanoniczną w sposób następujący: Baza B jest bazą kanoniczną dla funkcjonału dwuliniowego φ przestrzeni V , jeśli φ( x, y) ma postać
n
φ( x, y) = X γi·xi·yi
i=1
dla każdych wektorów x i y takich, że
n
n
x = X x
X
i ·bi
i
y =
yi·bi.
i=1
i=1
4
Formy kwadratowe
W dalszym ciągu tego rozdziału zakładamy, że V jest przestrzenią liniową skończenie wymiarową nad ciałem K , gdzie jak zwykle K = R lub K = C.
Definicja 12 Funkcję q : V −→ K nazywamy formą kwadratową, jeśli istnieje funkcjonał dwuliniowy symetryczny φ w przestrzeni V taki, że q( x) = φ( x, x) , gdy
x ∈ V .
Funkcjonał dwuliniowy φ z powyższej definicji nazywamy funkcjonałem stowarzyszonym z formą q, a także mówimy, że forma kwadratowa q jest stowarzyszona z funkcjonałem φ.
Z równości
q( x + y) = φ( x + y, x + y) = φ( x, x) + φ( y, y) + 2 ·φ( x, y) =
= q( x) + q( y) + 2 ·φ( x, y) wynika, że
1
φ( x, y) =
· q( x + y) − q( x) − q( y) .
2
Wnioskujemy stąd, że dla danej formy kwadratowej q istnieje jedyny symetryczny funkcjonał dwuliniowy φ taki, że
q( x) = φ( x, x) , gdy
x ∈ V .
Definicja 13 Macierzą formy kwadratowej q stowarzyszonej z funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym φ nazywamy macierz funkcjonału φ.
Z powyższej uwagi i definicji macierzy formy kwadratowej zauważamy, że
po ustaleniu bazy przestrzeni liniowej V , macierz formy kwadratowej jest określona jednoznacznie.
Definicja 14 Rzędem formy kwadratowej nazywamy rząd jej macierzy.
Niech B, gdzie B = ( b 1 , . . . , bn) , będzie ustaloną bazą przestrzeni V .
Wtedy
n
n
q( x) = X X aij ·ξi·ξj.
(2)
i=1 j=1
5
gdzie aij = φ( bi, bj) , dla każdego wektora x, mającego przedstawienie n
x = X ξi·bi.
i=1
Forma kwadratowa jest więc jednorodnym wielomianem drugiego stopnia.
Definicja 15 Jeśli dla pewnej bazy przestrzeni V forma kwadratowa, mająca postać (2) , spełnia warunek
aij = 0 ,
gdy
i 6= j,
to mówimy, że forma kwadratowa ma postać kanoniczną względem tej bazy.
Wtedy możemy przedstawić formę q w postaci
n
n
q( x) = X a
X
ii ·ξ 2 ,
gdy
x =
ξ
i
i ·bi.
i=1
i=1
Bazę przestrzeni liniowej, względem której forma kwadratowa q ma postać kanoniczną nazywamy bazą kanoniczną formy q.
W takim przypadku, funkcjonał dwuliniowy φ, stowarzyszony z formą q, ma względem tej bazy postać
n
φ( x, y) = X φ( bi, bi) ·xi·yi.
i=1
Tę postać funkcjonału dwuliniowego też będziemy nazywali postacią ka-
noniczną tego funkcjonału i, oczywiście, bazę przestrzeni liniowej, względem której funkcjonał dwuliniowy symetryczny φ ma postać kanoniczną też nazywamy bazą kanoniczną funkcjonału φ.
Twierdzenie 16 (Lagrange) Dla każdego symetrycznego funkcjonału dwuliniowego φ w przestrzeni n-wymiarowej V istnieje baza, względem której funkcjonał φ ma postać kanoniczną.
W praktyce znajdowanie bazy kanonicznej dla symetrycznego funkcjonału
dwuliniowego φ odbywa się następująco.
Przykład 17 Sprowadźmy do postaci kanonicznej formę kwadratową q, okre-
śloną wzorem
x 1 ·x 2 + x 1 ·x 3 + x 2 ·x 3 .
6
Rozważana forma kwadratowa nie ma ani jednego różnego od zera współ-
czynnika przy zmiennej występującej w kwadracie, musimy więc zastosować
przekształcenie, określone wzorami:
x 1 = y 1 + y 2 ,
x 2 = y 1 − y 2 ,
x 3 = y 3 ,
czyli
1
1
1
1
y 1 =
·x 1 + ·x 2 , y 2 = ·x 1 − ·x 2 , y 3 = x 3 , 2
2
2
2
Wtedy forma q przyjmuje postać
y 2 − y 2 + y
− y 2 + 2 y
1
2
1 ·y 3 + y 2 ·y 3 + y 1 ·y 3 − y 2 ·y 3 = y 2
1
2
1 ·y 3 .
Zauważmy teraz, że formę tę możemy przedstawić w postaci
y 2 + 2 ·y
− y 2 − y 2 ,
1
1 ·y 3 + y 2
3
2
3
czyli
( y 1 + y 3)2 − y 2 − y 2 .
2
3
Zatem stosując przekształcenie
z 1 = y 1 + y 3 ,
z 2 = y 2 ,
z 3 = y 3
otrzymujemy postać kanoniczną
z 2 − z 2 − z 2 .
1
2
3
Składając stosowane w naszych obliczeniach przekształcenia otrzymujemy
ostatecznie
z 1 = 1 ·x
·x
2
1
+
1
2
2
+ x 3 ,
z 2 = 1 ·x
·x
2
1
− 12 2 ,
z 3 =
x 3 .
Macierz tego przekształcenia ma więc postać
1
1
1
2
2
1
− 1 0 .
2
2
0
0 1
Macierz ta jest jednocześnie iloczynem macierzy składanych przekształceń, czyli macierzy
1 0 1
1
1
0
2
2
1
0 1 0
i
− 1 0 .
2
2
0 0 1
0
0 1
7
Rzeczywiste formy kwadratowe
W ciągu dalszym V będzie oznaczać przestrzeń liniową n-wymiarową nad ciałem R.
Postać kanoniczna formy kwadratowej zależy od sposobu, jaki stosujemy,
sprowadzając tę formę kwadratową do postaci kanonicznej.
Każdą rzeczywistą formę kwadratową q, bo tak będziemy nazywali formy kwadratowe określone w przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej nad ciałem liczb rzeczywistych, możemy przedstawić w postaci
q( x) = ε 1 ·x 2 + . . . + ε
,
1
n ·x 2
n
gdzie εi ∈ { 0 , 1 , − 1 } dla każdej liczby naturalnej i ze zbioru { 1 , . . . , n}. Taką postać formy kwadratowej nazywamy postacią normalną formy kwadratowej q.
Istotnie, jeśli rozważana forma kwadratowa q jest przedstawiona w postaci kanonicznej (twierdzenie Lagrange’a)
n
X ai·x 2 i
i=1
to po zastosowaniu przekształcenia
yi = ci·xi, gdzie
(
q |a
c
i|,
gdy ai 6= 0 ,
i =
1 , gdy ai = 0 ,
nasza forma kwadratowa będzie miała postać
ε 1 ·y 2 + . . . + ε
,
1
n ·y 2
n
gdzie εi = sgn ai dla każdej liczby naturalnej i ze zbioru { 1 , . . . , n}.
Wniosek 18 Jeśli niezerowa macierz symetryczna ma współczynniki rzeczy-8
wiste, to istnieje nieosobliwa macierz C taka, że macierz C t • A • C ma postać
1
0 . . .
0
0 . . .
0 . . .
0 . . .
0
0
1 . . .
0
0 . . .
0 . . .
0 . . .
0
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
0
0 . . .
1
0 . . .
0 . . .
0 . . .
0
0
0 . . .
0
− 1 . . .
0 . . .
0 . . .
0 .
0
0 . . .
0
0 . . . − 1 . . .
0 . . .
0
0
0 . . .
0
0 . . .
0 . . .
0 . . .
0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
0
0 . . .
0
0 . . .
0 . . .
0 . . .
0
Twierdzenie 19 (Sylvester, twierdzenie o bezwładności)
Dla symetrycznego funkcjonału dwuliniowego φ w przestrzeni n-wymiarowej V nad ciałem liczb rzeczywistych i dla dowolnych dwóch przedstawień kanonicznych tego funkcjonału liczby współczynników dodatnich w obu postaciach kanonicznych są równe, liczby współczynników ujemnych w obu postaciach kanonicznych są równe oraz liczby współczynników równych zeru są równe.
Definicja 20 Niech q będzie dowolną formą kwadratową w przestrzeni n-wymiarowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Trójkę ( r 0 , r+ , r−) , gdzie r 0 jest liczbą współczynników równych 0 w postaci normalnej formy q, r+ jest liczbą współczynników równych 1 w postaci normalnej formy q, r− jest liczbą współczynników równych − 1 w postaci normalnej formy q, nazywamy sygnaturą formy kwadratowej q.
Czasami, jeśli r 0 = 0, to sygnaturą formy kwadratowej q nazywa się też liczbę r+ − r−. Oczywiście, liczba r+ + r− jest rzędem formy kwadratowej q.
Definicja 21 Formę kwadratową q w rzeczywistej przestrzeni liniowej V nazywamy określoną dodatnio, jeśli q( x) > 0 dla każdego niezerowego wektora
x, należącego do przestrzeni V .
Definicja 22 Formę kwadratową q w rzeczywistej przestrzeni liniowej V nazywamy określoną ujemnie, jeśli q( x) < 0 dla każdego niezerowego wektora
x, należącego do przestrzeni V .
Definicja 23 Dwuliniowy funkcjonał symetryczny φ w rzeczywistej przestrzeni liniowej V nazywamy określonym dodatnio, jeśli stowarzyszona z nim forma kwadratowa jest określona dodatnio, tzn., gdy φ( x, x) > 0 dla każdego niezerowego wektora x, należącego do przestrzeni V .
9
Definicja 24 Dwuliniowy funkcjonał symetryczny φ w przestrzeni liniowej V nazywamy określonym ujemnie, jeśli stowarzyszona z nim forma kwadratowa jest określona ujemnie, tzn., gdy φ( x, x) < 0 dla każdego niezerowego wektora x, należącego do przestrzeni V .
Z definicji tej wynika, oczywiście, że forma kwadratowa q jest określo-na dodatnio wtedy i tylko wtedy, gdy forma kwadratowa −q jest określona ujemnie. Wystarczy zatem rozważać własności form kwadratowych określonych dodatnio.
Twierdzenie 25 Funkcjonał dwuliniowy symetryczny (forma kwadratowa) w skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych jest określony dodatnio wtedy i tylko wtedy, gdy w każdej postaci kanonicznej wszystkie współczynniki tego funkcjonału są dodatnie.
D o w ó d. Niech φ będzie dowolnym symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym w przestrzeni liniowej V i B, gdzie B = ( b 1 , . . . , bn) , będzie bazą kanoniczną funkcjonału φ.
Jeśli wszystkie współczynniki φ( bi, bi) tego funkcjonału są dodatnie, czyli φ( bi, bi) > 0 ,
gdy
i ∈ { 1 , . . . , n},
to
φ( x, x) = φ P n
ξ
ξ
=
i=1
i ·bi, P n
j=1
j ·bj
n
n
n
= X X ξ
X
i ·ξj ·φ ( bi, bj ) =
ξ 2 ·φ ( b
i
i, bi) > 0
i=1 j=1
j=1
dla dowolnego niezerowego wektora x takiego, że
x = ξ 1 ·b 1 + . . . + ξn·bn, gdyż któryś ze współczynników ξi jest różny od zera.
Tak więc funkcjonał dwuliniowy symetryczny (forma kwadratowa) jest
określony dodatnio.
Odwrotnie, jeśli symetryczny funkcjonał dwuliniowy φ jest określony dodatnio, to dla każdego wektora b z dowolnej bazy B spełniona jest nierówność φ( b, b) > 0, czyli wszystkie współczynniki postaci kanonicznej tego funkcjonału są dodatnie.
10
a
11
. . . a 1 n
A = . . .
. . .
. . . .
an 1 . . . ann
Jeśli A k oznacza macierz
a
11
. . . a 1 k
. . .
. . .
. . . ,
ak 1 . . . akk
gdzie k ∈ { 1 , . . . , n},
to det A k nazywamy minorem głównym stopnia k macierzy A .
Twierdzenie 26 (Sylvester) Forma kwadratowa q, mająca macierz A , jest określona dodatnio wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory główne tej macierzy są dodatnie.
Wniosek 27 Forma kwadratowa q, mająca macierz A , jest określona ujemnie wtedy i tylko wtedy, gdy ( − 1) k · det A k > 0 .
11