Składanie przekształceń liniowych a
mnożenie macierzy
WYKŁAD 7
Jacek Jędrzejewski
2010/2011
Spis treści
1
Macierz przekształcenia liniowego
2
2
Mnożenie macierzy
4
1
Macierz przekształcenia liniowego
W tym paragrafie zajmiemy się zagadnieniem związania przekształcenia liniowego z macierzą. Oczywiście, nie zawsze tak można uczynić. Taki związek znajdziemy tylko dla przekształceń liniowych skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej w przestrzeń liniową skończenie wymiarową. W związku z tym wszystkie przestrzenie liniowe rozważane w tym rozdziale będą przestrzeniami skończenie wymiarowymi.
Z twierdzenia o określaniu przekształcenia liniowego wiemy, że takie przekształcenie liniowe jest jednoznacznie wyznaczone przez wartości tego przekształcenia dla wektorów bazy. Niech więc V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K i niech układ ( x 1 , . . . , xn) będzie bazą przestrzeni V , natomiast układ ( y , . . . , y ) będzie bazą przestrzeni W .
1
m
Niech A będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W .
Każdy wektor A( xj) można jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów y , . . . , y , tzn. istnieją elementy a 1
m
ij ciała K takie, że
A( xj) = a 1 jy + . . . + a
,
gdy j ∈ { 1 , . . . , n}.
1
mj ym
Otrzymane współczynniki tworzą macierz o m wierszach i n kolumnach
a
11
. . .
a 1 n
. . .
. . .
. . .
.
am 1
. . .
amn
h
i
Oznaczamy tę macierz symbolem A
lub M A lub krótko A . Macierz tę
Y,X
nazywamy macierzą przekształcenia A względem baz X i Y, gdzie X = ( x 1 , . . . , xn) i Y = ( y , . . . , y ) .
1
m
Zauważamy, że j-ta kolumna składa się ze współczynników rozwinięcia wektora A( xj) względem bazy ( y , . . . , y ) .
1
m
Twierdzenie 1 Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K oraz dim V = n i dim W = m, to przestrzeń Hom(V , W ) jest izomorficzna z przestrzenią M m×n(K) wszystkich macierzy o m wierszach i n kolumnach.
2
Wniosek 1 Niech V i V 0 będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K oraz niech X będzie bazą przestrzeni V , a X 0 – bazą przestrzeni V 0. Jeśli A ∈ Hom(V , V 0) , B ∈ Hom(V , V 0) i α ∈ K , to h
i
h
i
h
i
A + B
= A
+ B
X 0,X
X 0,X
X 0,X
h
i
h
i
α · A
= α · A
X 0,X
X 0,X
Przykład 1 Niech funkcja A :
3
2
R −→ R będzie określona wzorem
A ( x 1 , x 2 , x 3) = (2 x 1 + x 2 , x 1 − 3 x 2 + x 3) .
Czy A jest homomorfizmem przestrzeni
3
2
R
w przestrzeń R ? Jeśli tak, to
znaleźć macierz tego przekształcenia względem baz X i Y, gdzie
X = ( x 1 , x 2 , x 3) i Y = ( y , y ) 1
2
oraz
x 1 = (1 , 0 , 0) ,
x 2 = (0 , 1 , 0) ,
x 3 = 0 , 0 , 1) ,
y = (1 , 0) ,
i y = (0 , 1) .
1
2
Niech x i y, gdzie
x = ( x 1 , x 2 , x 3) i y = ( y 1 , y 2 , y 3) , będą dowolnymi wektorami z przestrzeni
3
R i α dowolnym elementem ciała R.
Wtedy
x + y = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) i αx = ( αx 1 , αx 2 , αx 3) .
Zatem
A( x + y) =
2( x 1 + y 1) + ( x 2 + y 2) , ( x 1 + y 1) − 3( x 2 + y 2) + ( x 3 + y 3) =
= 2 x 1 + x 2 , x 1 − 3 x 2 + x 3) + 2 y 1 + y 2 , y 1 − 3 y 2 + y 3 =
3
Podobnie
A( αx) = 2( αx 1) + αx 2 , αx 1 − 3( αx 2) + αx 3 =
= α(2 x 1 + x 2) , α( x 1 − 3 x 2 + x 3) =
= α· (2 x 1 + x 2) , ( x 1 − 3 x 2 + x 3) = α·A( x) .
Udowodniliśmy, że przekształcenie A jest homomorfizmem.
Obliczmy wartości A( x 1), A( x 2) i A( x 3) :
A( x 1) = 2 · 1 + 0 , 1 − 3 · 0 + 0 = (2 , 1) = 2 ·(1 , 0) + (0 , 1) = 2 y + y , 1
2
A( x 2) = 2 · 0 + 1 , 0 − 3 · 1 + 0 = (1 , − 3) = (1 , 0) − 3 ·(0 , 1) = y − 3 y , 1
2
A( x 3) = 2 · 0 + 0 , 0 − 3 · 0 + 1 = (0 , 1) = y .
2
Z obliczeń tych wynika, że
h
i
2
1
0
A
=
.
Y,X
1
− 3
1
W przypadku endomorfizmów (czyli gdy V = W ) przyjmujemy (chyba,
że zaznaczymy inaczej), że została ustalona tylko jedna baza; niech to będzie h
i
baza X . W takim przypadku mówimy, że macierz A
endomorfizmu (ope-
X ,X
ratora liniowego) A przestrzeni V jest macierzą tego endomorfizmu względem h
i
bazy X . Macierz tę oznaczamy jako A
. Macierz takiego przekształcenia
X
jest więc macierzą kwadratową.
2
Mnożenie macierzy
Paragraf, dotyczący mnożenia macierzy, rozpoczniemy od twierdzenia, wska-zującego na sposób określenia iloczynu dwóch macierzy.
4
Twierdzenie 2 Niech U , V i W będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K , w których bazami są:
X = ( u 1 , . . . , un) w przestrzeni U , Y = ( v 1 , . . . , vm) w przestrzeni V , Z = ( w 1 , . . . , wk) w przestrzeni W .
h
i
h
i
Jeśli A ∈ Hom(U , V ) i B ∈ Hom(V , W ) oraz A i B
są macie-
Y,X
Z,Y
h
i
h
i
rzami przekształceń A i B, gdzie A
= [ aij] i B
= [ bli] , to macierz
Y,X
Z,Y
h
i
B ◦ A
przekształcenia B ◦A ma współczynniki clj, gdzie
Z,X
m
c
X
lj =
bli·aij,
gdy l ∈ { 1 , . . . , k} i j ∈ { 1 , . . . , n}.
i=1
D o w ó d. Z przyjętego sposobu wyznaczania macierzy przekształcenia liniowego względem danych baz przestrzeni liniowych wynika, że
m
A( u
X
j ) = a 1 j ·v 1 + . . . + amj ·vm =
aijvi
i=1
oraz
k
B( v
X
i) = b 1 i ·w 1 + . . . + bki ·wk =
bliwl,
l=1
gdzie j ∈ { 1 , . . . , n} oraz i ∈ { 1 , . . . , m}.
Składając przekształcenia B i A możemy zapisać
m
( B ◦A)( u
X
j ) = B A( uj )
=
aij ·B( vi) =
i=1
m
k
!
k
m
!
= X a
X
X
X
ij ·
bli·wl
=
bli·aij ·wl.
i=1
l=1
l=1
i=1
Oznacza to, że współczynnik clj macierzy złożenia przekształceń względem m
baz X i Z w l-tym wierszu i j-tej kolumnie jest równy X bli ·aij.
i=1
Powyższe twierdzenie sugeruje, jak powinno być zdefiniowane mnożenie macierzy i w jakich przypadkach.
5
Definicja 1 Niech A ∈ M m×n(K) i B ∈ M k×m(K) . Jeśli
a
11
· · ·
a 1 n
b 11
· · ·
b 1 m
A =
· · ·
· · ·
· · ·
i B = · · ·
· · ·
· · · ,
am 1
· · ·
amn
bk 1
· · ·
bkm
to iloczynem macierzy B i A nazywamy macierz C taką, że m
l=1 ,...,k
C = c
X
lj
i clj =
bli·aij.
j=1 ,...,n
i=1
Macierz tę oznaczamy symbolem B • A .
Element clj tego iloczynu nazywamy iloczynem l-tego wiersza macierzy B
przez j-tą kolumnę macierzy A .
Zachowując oznaczenia poprzedniego twierdzenia, sformułujemy je nieco inaczej:
Wniosek 2 Jeśli A ∈ Hom (U , V ) i B ∈ Hom (V , W ) , to K
K
h
i
h
i
h
i
B ◦A
= B
•
A
.
Z,X
Z,Y
Y,X
Jeśli macierz B przedstawimy jako ciąg wierszy zapisanych w postaci jed-nej kolumny
B
[1]
B[2]
B =
. . .
B[ k]
i macierz A jako ciąg kolumn zapisanych w postaci jednego wiersza
A = A[1] , A[2] , . . . , A[ n] , to
B
[1]
B[2]
B • A =
•
A[1] , A[2] , . . . , A[ n] =
. . .
B[ k]
6
B
[1] ·A[1]
B[1] ·A[2]
. . .
B[1] ·A[ n]
B[2] ·A[1]
B[2] ·A[2]
. . .
B[2] ·A[ n]
.
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
B[ k] ·A[1]
B[ k] ·A[2]
. . .
B[ k] ·A[ n]
Mnożenie macierzy możemy też traktować jako odwzorowanie
• : M k×m(K) × M m×n(K) −→ M k×n(K) .
Przykład 2 Niech
1 2
5 − 1 3
A =
.
i B =
3 0
4
2 3
− 2 1
Obliczyć iloczyny B • A i A • B .
1 · 5 + 2 · 4
1 ·( − 1) + 2 · 2
1 · 3 + 2 · 3
B
• A =
3 · 5 + 0 · 4
3 ·( − 1) + 0 · 2
3 · 3 + 0 · 3 =
( − 2) · 5 + 1 · 4
( − 2) ·( − 1) + 1 · 2
( − 2) · 3 + 1 · 3
13
3
9
15
− 3
9 .
− 6
4
-3
5 · 1 + ( − 1) · 3 + 3 ·( − 2)
5 · 2 + ( − 1) · 0 + 3 · 1
A • B =
=
4 · 1 + 2 · 3 + 3 ·( − 2)
4 · 2 + 2 · 0 + 3 · 1
− 4
13
.
4
11
W tym przypadku oba iloczyny A • B i B • A istnieją, ale nie są równe; co więcej mają różne wymiary. Nawet, gdy mnożymy macierze kwadratowe A i B o tej samej liczbie wierszy, ich iloczyny A • B i B • A mogą być różne.
Zauważmy, że mnożenie macierzy zostało zdefiniowane w taki sposób, aby iloczyn macierzy odpowiadał składaniu przekształceń liniowych.
7
Twierdzenie 3 Jeśli E jest macierzą jednostkową stopnia n oraz A ∈ M m×n(K) i B ∈ M n×m(K) , gdzie m jest dowolną liczbą naturalną dodatnią, to A • E = A i E • B = B .
h
i
h
i
D o w ó d. Niech A = aij i oczywiście, E = δij , gdzie δij jest deltą Kroneckera. Wtedy współczynnik cij macierzy A • E, w i-tym wierszu i j-tej kolumnie ma postać:
n
c
X
ij =
aik ·δkj,
l=1
czyli
cij = aij ·δjj = aij,
co dowodzi, że A • E = A .
Podobnie dowodzi się równości E • B = B .
Twierdzenie 4 Mnożenie macierzy jest łączne.
D o w ó d. Niech A ∈ M n×m(K) , B ∈ M m×k(K) i C ∈ M k×l(K). Zgodnie z twierdzeniem 1 istnieją przekształcenia liniowe A, B i C takie, że A ∈ Hom( m
n
k
m
l
k
K , K ) ,
B ∈ Hom(K , K ) i C ∈ Hom(K , K ) oraz
A = [ A] ,
B = [ B] i C = [ C]
względem baz kanonicznych w odpowiednich przestrzeniach. Wtedy
A◦( B ◦C) = ( A◦B) ◦C,
zatem dla odpowiadających im macierzy spełniony jest warunek
A • (B • C) = (A • B) • C .
Podobnie dowodzi się następującej własności:
8
Własność 1 Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania macierzy (tak z lewej strony jak i z prawej), to znaczy:
(B + B 0) • A = B • A + B 0 • A , B • (A + A 0) = B • A + B • A 0.
Warto teraz przypomnieć macierze transponowane i odnotować odpowied-
nie własności transponowania macierzy. W rozdziale czwartym zdefiniowa-liśmy macierze transponowane w sposób następujący: Jeśli
a
11
. . .
a 1 n
A =
· · ·
· · ·
· · · ,
am 1
. . .
amn
to
a
11
. . .
am 1
A t =
· · ·
· · ·
· · · .
a 1 n
. . .
amn
Bez najmniejszego trudu możemy udowodnić następujące twierdzenie:
Twierdzenie 5 Jeśli A ∈ M m×n(K) , B ∈ M m×n(K) i α ∈ K , to
A t t = A , (A + B) t = A t + B t i ( α·A) t = α·A t.
Twierdzenie 6 Jeśli A ∈ M m×l(K) , B ∈ M l×n(K) i α ∈ K , to
A •B) t = B t •A t, ( α·A) •B = α·(A •B) = A •( α·B) .
D o w ó d. Załóżmy, że
h
i
h
i
h
i
A = aij ,
B = bjk ,
A • B = fik
oraz
h
i
h
i
h
i
h
i
A t = cji ,
B t = dkj ,
(A • B) t = gki
i B t • A t = hki .
9
cji = aij,
dkj = bjk,
gki = fik
oraz
l
l
f
X
X
ik =
aij ·bjk i hki =
dkj ·cji.
j=1
j=1
Wynika stąd:
l
l
l
h
X
X
X
ki =
dkj ·cji =
bjk ·aij =
aij ·bjk = fik = gki,
j=1
j=1
j=1
a stąd wynika równość (A • B) t = B t • A t.
Łatwiej dowodzimy drugiej równości. Z równości
l
l
l
α·f
X
X
X
ik = α ·
aij ·bjk =
( α·aij) ·bjk =
aij ·( α·bjk)
j=1
j=1
j=1
wynikają równości
( α·A) • B = α·(A • B) = A • ( α·B) .
10