WYKŁAD 7
Struktury algebraiczne
Jacek Jędrzejewski
2010/2011
Spis treści
1
Struktury algebraiczne
2
1.1
Grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Pierścienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Ciała . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
Wielomiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1
Struktury algebraiczne
1.1
Grupy
Twierdzenie 1 Jeśli (G , ·) jest grupą, to
(1)
^
a− 1 − 1 = a ,
a∈ G
− 1
(2)
^
^
ab
= b− 1 a− 1 ,
a∈ G b∈ G
(3)
^
^
^
ab = ac = ⇒ b = c ,
a∈ G b∈ G c∈ G
(4)
^
^
^
ba = ca = ⇒ b = c ,
a∈ G b∈ G c∈ G
(5)
^
^
_
_
ax = b ∧ ya = b .
a∈ G b∈ G x∈ G y∈ G
D o w ó d. Warunek (1) wynika bezpośrednio z definicji elementu odwrotnego.
Ad. (2). Niech a i b będą dowolnymi elementami grupy G .
Wtedy
( ab) · b− 1 · a− 1 = a · b · b− 1 · a− 1 =
= a ·
bb− 1 · a− 1 == a ea− 1 = aa− 1 = e,
co dowodzi warunku (2).
Ad. (3).
Niech teraz a, b oraz c będą dowolnymi elementami grupy G .
Jeśli ab = ac, to również
a− 1 · ( ab) = a− 1 · ( ac) ,
więc
a− 1 · a · b = a− 1 · a · c,
2
Dowód warunku (4) jest analogiczny.
Ad. (5). Niech a i b będą dowolnymi elementami tej grupy.
Wtedy element a− 1 · b jest elementem grupy G i
a · a− 1 · b = aa− 1 · b = eb = b,
co oznacza, że element a− 1 ·b jest rozwiązaniem równania ax = b.
Podobnie, element ba− 1 jest elementem grupy G i
b·a− 1 · a = b· a− 1 · a = be = b,
co oznacza, że element b·a− 1 jest rozwiązaniem równania ya = b.
Zauważmy, że, na podstawie (3) i (4), każde z równań ax = b i ya = b ma jedno rozwiązanie w grupie G .
Istotnie. Niech a i b będą dowolnymi elementami grupy (G , ·).
Wtedy jeśli x 1 i x 2 są rozwiązaniami równania ax = b, czyli ax 1 = b i ax 2 = b, to ax 1 = ax 2,
skąd wynika równość x 1 = x 2 .
Ostatni warunek powyższego twierdzenia można wzmocnić, uzyskując następujące twierdze-
nie.
Twierdzenie 2 Półgrupa (G , ·) jest grupą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów a i b ze zbioru G istnieją rozwiązania równań
ax = b
oraz
ya = b.
Definicja 1 Niepusty podzbiór H grupy (G , ·) nazywamy podgrupą, jeśli zbiór H z działaniem
· ( obciętym do zbioru H × H ) jest grupą.
Twierdzenie 3 Niepusty podzbiór H grupy (G , ·) jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy
^
^ a·b ∈ H ,
a∈ H b∈ H
^
a− 1 ∈ H .
a∈ H
D o w ó d. Oczywiście, jeśli H jest podgrupą, to spełnione są powyższe warunki.
3
Jeśli spełnione są powyższe warunki, to z warunku pierwszego wynika, że funkcja ·| H × H jest działaniem w zbiorze H .
Oczywiście, jest to działanie łączne, gdyż dla większego zbioru spełniony jest warunek łącz-ności.
Drugi warunek stwierdza, że każdy element zbioru H ma element odwrotny (w zbiorze G )
należący do zbioru H .
Pozostaje nam udowodnić, że element neutralny grupy G należy też do zbioru H .
Ponieważ zbiór H jest niepusty, więc istnieje w tym zbiorze jakiś element a.
Wtedy, z pierwszego z powyższych warunków, wynika, że
e = a · a− 1 ∈ H ,
skąd wnioskujemy, że (H , ·) jest grupą, czyli podgrupą grupy G .
Twierdzenie 4 Niepusty podzbiór H grupy (G , ·) jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy
^
^ a·b− 1 ∈ H .
a∈ H b∈ H
Twierdzenie 5 Skończony niepusty podzbiór H grupy (G , ·) jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy
^
^ a·b ∈ H .
a∈ H b∈ H
Definicja 2 Niech (G , ·) i (H , ◦) będą grupami. Funkcję φ : G −→ H nazywamy homomorfizmem, jeśli dla każdych dwóch elementów a i b ze zbioru G spełniony jest warunek φ( a · b) = φ( a) ◦ φ( b) .
Definicja 3 Homomorfizm φ : G −→ H grupy G w grupę H nazywamy izomorfizmem, jeśli φ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną
4
Pierścienie
Pierścieniem nazywamy strukturę algebraiczną (R , + , ·), spełniającą następujące warunki:
^
^
a + b = b + a ,
a∈ R b∈ R
^
^
^
( a + b) + c = a + ( b + c) ,
a∈ R b∈ R c∈ R
_
^
Θ + a = a ,
Θ ∈ R a∈ R
^
_
a + a = Θ ,
a∈ R a∈ R
^
^
^
a · ( b + c) = ( ab) + ( ac) ,
a∈ R b∈ R c∈ R
^
^
^
( a + b) · c) = ( ac) + ( bc) ,
a∈ R b∈ R c∈ R
Inaczej mówiąc, pierścieniem nazywamy strukturę algebraiczną (R , + , ·), spełniającą nastę-
pujące warunki:
• (R , +) jest grupą przemienną,
• „mnożenie” jest działaniem rozdzielnym względem „dodawania”.
Element neutralny grupy (R , +) nazywamy zerem pierścienia i oznaczamy symbolem 0, jedynkę półgrupy (R , ·) nazywamy jedynką pierścienia i oznaczamy symbolem 1 .
Element odwrotny do elementu a względem działania + nazywamy elementem przeciwnym do elementu a i oznaczamy symbolem −a.
Często zamiast a + ( −b) będziemy pisali a − b.
Jeśli działanie · pierścienia (R , + , ·) jest działaniem przemiennym, to taki pierścień nazywamy pierścieniem przemiennym.
Jeśli działanie · pierścienia (R , + , ·) jest działaniem łącznym, to taki pierścień nazywamy pierścieniem łącznym.
Przykład 1 Przykładem pierścienia jest (Z , + , ·) , gdzie działania + i · są zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia liczb.
Przykład 2 Struktura algebraiczna (N , + , ·) nie jest pierścieniem, gdyż (N , +) nie jest grupą.
Definicja 4 Podpierścieniem pierścienia (R , + , ·) nazywamy podzbiór K zbioru R , który z działaniami + i · stanowi pierścień.
5
Twierdzenie 6 Jeśli (R , + , ·) jest pierścieniem, to niepusty podzbiór K zbioru R stanowi podpierścień pierścienia R wtedy i tylko wtedy, gdy
1.
ab ∈ K ,
a∈ K b∈ K
2.
a − b ∈ K .
a∈ K b∈ K
Twierdzenie 7 Dla każdego pierścienia (R , + , ·) spełnione są następujące warunki:
^
a · 0 = 0 · a = 0 ,
a∈ R
^
^
a · ( −b) = ( −a) · b = −( ab) ,
a∈ R b∈ R
^
^
( −a) · ( −b) = ab ,
a∈ R b∈ R
^
^
^
( a − b) · c = ( ac) − ( bc) ,
a∈ R b∈ R c∈ R
^
^
^
c · ( a − b) = ( ca) − ( cb) .
a∈ R b∈ R c∈ R
D o w ó d. Ponieważ 0 + 0 = 0, więc dla każdego elementu a pierścienia R mamy: 0 + a · 0 = a · 0 = a · (0 + 0) = ( a · 0) + ( a · 0) , skąd na mocy prawa skracania w grupie wynika, że
a · 0 = 0 .
W podobny sposób dowodzimy równości 0 · a = 0 dla każdego elementu a pierścienia R .
Niech a i b będą dowolnymi elementami pierścienia R.
Ponieważ
0 = b + ( −b) ,
więc
0 = a · 0 = a · ( b + ( −b)) = ( ab) + ( a · ( −b)) , skąd wynika równość
a · ( −b) = −( ab) .
Podobnie dowodzimy, że
( −a) · b = −( ab)
6
dla dowolnych elementów a i b pierścienia R .
Niech znowu a i b będą dowolnymi elementami pierścienia R.
Wtedy
( −a) · ( −b) = −( a · ( −b)) = −( −( ab)) = ab, co dowodzi następnego warunku twierdzenia.
Niech teraz a, b i c będą dowolnymi elementami pierścienia R. Wtedy ( a − b) · c = [ a + ( −b)] · c = ( a · c) + ( −b) · c = ( a · c) − ( b · c) , skąd wynika kolejny warunek twierdzenia.
Podobnie dowodzi się ostatniego warunku tego twierdzenia.
W dalszym ciągu będziemy stosowali tradycyjną zasadę opuszczania nawiasów w wyrażeniach takich jak
( ac) − ( bc) ,
traktując „mnożenie” (czyli działanie oznaczane kropką) jako działanie wykonywane w pierwszej kolejności, a „dodawanie” (czyli działanie oznaczane plusem) jako działanie wykonywane w następnej kolejności.
Jeśli jedynym elementem pierścienia R jest element zerowy, to taki pierścień nazywamy
pierścieniem zerowym.
Pierścień mający więcej niż jeden element nazywamy pierścieniem niezerowym.
Jeśli w pierścieniu R istnieje element neutralny działania ·, to nazywamy go jedynką pier-
ścienia i oznaczali symbolem 1.
Elementem odwracalnym w pierścieniu (R , + , ·) z jedynką (różną od zera) nazywamy taki element a, dla którego istnieje element b w pierścieniu R, spełniający warunek ab = ba = 1 .
Oczywiście wtedy a 6= 0 i b 6= 0 .
1.3
Ciała
Ciałem nazywamy pierścień łączny i przemienny z jedynką (różną od zera), w którym wszystkie elementy różne od zera są odwracalne.
Inaczej możemy określić ciało w następujący sposób.
Definicja 5 Ciałem nazywamy strukturę algebraiczną (F , + , ·) , spełniającą następujące warunki:
7
1.
^
^
a + b = b + a ,
a∈ F b∈ F
2.
^
^
^
( a + b) + c = a + ( b + c) ,
a∈ F b∈ F c∈ F
3.
_
^
Θ + a = a ,
Θ ∈ F a∈ F
4.
^
_
a + a = Θ ,
a∈ F a∈ F
5.
^
^
^
a · ( b + c) = ( a · b) + ( a · c) ,
a∈ F b∈ F c∈ F
6.
^
^
a · b = b · a ,
a∈ F b∈ F
7.
^
^
^
( a · b) · c = a · ( b · c) ,
a∈ F b∈ F c∈ F
8.
_
^
ι · a = a ,
ι∈ F \{Θ } a∈ F
9.
^
_
a0 · a = ι .
a∈ F \{Θ } a0∈ F \{Θ }
Jeszcze inaczej można warunki ciała wyrazić następująco:
Ciałem nazywamy strukturę algebraiczną (F , + , ·), gdzie F ma co najmniej dwa elementy oraz
1. (F , +) jest grupą przemienną, w której Θ jest elementem neutralnym „dodawania, 2. (F \ {Θ }, ·) jest grupą przemienną,
3. „mnożenie” jest rozdzielne względem dodawania z obu stron.
Element neutralny dodawania (zero) będziemy oznaczali symbolem 0,
element neutralny mnożenia (jedynkę) – symbolem 1,
element odwrotny (przeciwny) do elementu a względem działania + oznaczamy symbolem
−a,
natomiast element odwrotny do elementu a względem działania · oznaczamy symbolem a− 1 .
8
W dalszym ciągu będziemy stosowali umowę, iż jeśli mówimy o pewnych ciałach i ustaliliśmy w nich działania, to dane ciała będziemy wymieniali zaznaczając tylko zbiory ich elementów, pomijając oznaczenia działań.
Przykład 3 Przykładami ciał są: (R , + , ·) i (Q , + , ·) , gdzie + i · są zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia liczb.
Przykład 4 Struktura algebraiczna (Z , + , ·) nie jest ciałem. Istotnie, (Z \{ 0 }, ·) nie jest grupą, gdyż nie każdy element jest odwracalny. Takim nieodwracalnym elementem jest np. 2 .
W ciele (F , + , ·) przyjmujemy oznaczenia:
1
a
b− 1 =
,
i
ab− 1 =
,
gdy
b 6= 0 .
b
b
Łatwo udowodnić następujące twierdzenie.
Twierdzenie 8 W dowolnym ciele (F , + , ·) spełnione są warunki: a
at
=
,
gdy
b 6= 0 , t 6= 0 ,
b
bt
a
c
ad + bc
+
=
,
gdy
b 6= 0 , d 6= 0 ,
b
d
bd
a
c
ac
·
=
,
gdy
b 6= 0 , d 6= 0 ,
b
d
bd
a
c
ad
:
=
,
gdy
b 6= 0 , d 6= 0 , c 6= 0 .
b
d
bc
Twierdzenie 9 Jeśli (F , + , ·) jest ciałem, x i y są elementami ciała F oraz x · y = 0 , to x = 0
lub y = 0 .
D o w ó d. Przypuśćmy, że x 6= 0. Wtedy istnieje element x− 1 odwrotny do elementu x i
y = 1 · y = x− 1 · x · y = x− 1 · ( x · y) = x− 1 · 0 = 0 , a stąd wynika teza.
Definicja 6 Podciałem ciała (F , + , ·) nazywamy podzbiór K zbioru F , który z działaniami + i
· stanowi ciało.
9
Bezpośrednio z definicji wynika następujące twierdzenie.
Twierdzenie 10 Niech (F , + , ·) będzie dowolnym ciałem. Podzbiór K zbioru F stanowi podciało ciała F wtedy i tylko wtedy, gdy K ma co najmniej dwa elementy oraz spełnia następujące warunki:
1. ^ ^ a − b ∈ K ,
a∈ K b∈ K
2. ^
^
ab− 1 ∈ K .
a∈ K b∈ K \{ 0 }
Przykład 5 Znając własności zbiorów liczbowych, łatwo zauważamy, że (Q , + , ·) jest podciałem ciała (R , + , ·) . Natomiast struktura (Z , + , ·) nie jest podciałem ciała (Q , + , ·) ani ciała (R , + , ·) .
Definicja 7 Niech (R , + , ·) i (K , ⊕, ) będą pierścieniami.
Funkcję φ : R −→ K nazywamy homomorfizmem, jeśli spełnia następujące warunki:
1. φ( a + b) = φ( a) ⊕ φ( b) ,
a∈ R b∈ R
2. φ( a · b) = φ( a) φ( b) ,
a∈ R b∈ R
Homomorfizm φ : R −→ K nazywamy monomorfizmem, jeśli φ jest funkcją różnowarto-
ściową.
Homomorfizm φ : R −→ K nazywamy epimorfizmem, jeśli φ przekształca pierścień R na pierścień K .
Homomorfizm φ : R −→ K nazywamy izomorfizmem, jeśli φ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.
Zauważamy bez trudu, że izomorfizm jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem.
Mówimy często, że homomorfizm zachowuje działania.
Warunek (1) z powyższej definicji nazywamy warunkiem addytywności funkcji φ.
Jeśli φ jest homomorfizmem pierścienia (R , + , ·) w pierścień (K , ⊕, ), to zbiór φ(R) czyli n
o
y ∈ K : W x∈ R y = φ( x)
nazywamy obrazem homomorfizmu φ.
Twierdzenie 11 Jeśli φ jest homomorfizmem ciała (F , + , ·) w ciało (K , ⊕, ) , to 1. φ (1 ) = 1 ,
F
K
10
F
K
3. φ ( −a) = −φ( a) ,
gdy a ∈ F ,
− 1
4. φ a− 1 =
φ( a)
,
gdy
a ∈ F \ { 0 }, gdzie, oczywiście, 0 i 1 oznaczają zero i
F
F
F
jedynkę w ciele F, natomiast 0 oraz 1 oznaczają zero i jedynkę w ciele
K
K
K.
D o w ó d. Z warunku addytywności funkcji ϕ wynika:
φ (0 ) = φ (0 + 0 ) = φ (0 ) + φ (0 ) ,
F
F
F
F
F
skąd wnioskujemy, że
φ (0 ) = 0 .
F
K
Ponadto, φ( a) + φ( −a) = φ ( a + ( −a)) = φ (0 ) = 0 , F
K
a stąd wynika równość
−φ( a) = φ ( −a) .
Podobnie dowodzi się ostatniego warunku.
Wniosek 1 Obraz homomorfizmu ciała F w ciało K jest podciałem ciała K .
Twierdzenie 12 Jeśli φ jest homomorfizmem ciała (F , + , ·) w ciało (K , ⊕, ) , to jest on monomorfizmem.
D o w ó d. Przypuśćmy, że istnieją elementy a i b w ciele F takie, że a 6= b i φ( a) = φ( b).
Wtedy a − b 6= 0 oraz φ( a − b) = φ( a) − φ( b) = 0.
Stąd
x = x · ( a − b) − 1 · ( a − b) = x · ( a − b) − 1 · ( a − b) , dla każdego elementu x z ciała F
i dalej
φ( x) = φ x · ( a − b) − 1 · φ (( a − b)) =
= φ x · ( a − b) − 1 · ( φ( a) − φ( b)) =
= φ x · ( a − b) − 1 · 0 = 0 ,
11
Wnioskujemy zatem, że φ jest monomorfizmem.
Łatwo zauważamy, że dla dowolnego ciała (F , + , ·), funkcja tożsamościowa id jest izo-F
morfizmem ciała (F , + , ·) na siebie.
Niech (F , + , ·) i (K , ⊕, ) będą ciałami. Niech ponadto φ będzie izomorfizmem ciała (F , + , ·) na ciało (K , ⊕, ).
Wiemy, że istnieje funkcja φ− 1 odwrotna do funkcji φ. Wtedy dla elementów x i y zbioru K
istnieją elementy a i b zbioru F takie, że
x = φ( a)
i
y = φ( b) .
Zatem
a = φ− 1( x)
i
b = φ− 1( y)
oraz
φ− 1( x ⊕ y) = φ− 1 φ( a) ⊕ φ( b) =
= φ− 1 ( φ( a + b)) = a + b = φ− 1( x) + φ− 1( x) , co dowodzi warunku addytywności funkcji φ− 1 .
Podobnie, φ− 1 spełnia drugi warunek homomorfizmu:
φ− 1( x y) = φ− 1 φ( a) φ( b) =
= φ− 1 ( φ( a · b)) = a · b = φ− 1( x) · φ− 1( x) , skąd wnioskujemy, że φ− 1 jest też izomorfizmem.
Niech teraz (F , + , ·), (K , ⊕, ) i (L , , ) będą ciałami a funkcje φ : F −→ K
i
ψ : K −→ L
izomorfizmami.
Wtedy złożenie (superpozycja) ψ ◦ φ funkcji ψ i φ jest też izomorfizmem.
Istotnie, złożenie dwu funkcji wzajemnie jednoznacznych jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.
Udowodnimy teraz, że funkcja ψ ◦ φ zachowuje działania, czyli jest homomorfizmem.
Niech a i b będą dowolnymi elementami zbioru F.
Wtedy, korzystając z warunku addytywności funkcji φ i funkcji ψ mamy: 12
( ψ ◦ φ)( a + b) = ψ φ( a + b)
= ψ φ( a) ⊕ φ( b)
=
= ψ φ( a) ψ φ( b) = ( ψ ◦ φ)( a) ( ψ ◦ φ)( b) .
Podobnie dowodzi się drugiego z warunków homomorfizmu przekształcenia ψ ◦ φ.
Mówimy, że ciało (K , ⊕, ) jest izomorficzne z ciałem (F , + , ·), jeśli istnieje izomorfizm ciała
∼
K na ciało F. Piszemy wtedy K = F .
Z poprzednich rozważań wynika:
∼
F = F ,
∼
∼
F = K = ⇒ K = F ,
(
∼
∼
∼
F = K ∧ K = L) = ⇒ F = L .
W związku z drugim wypisanym powyżej warunkiem, nie będziemy rozróżniali, czy ciało
F jest izomorficzne z ciałem K, czy odwrotnie. Ponieważ „być izomorficznym” ma atrybuty relacji równoważności, więc ciała izomorficzne są z punktu widzenia algebry nierozróżnialne; będziemy je więc utożsamiali (z punktu widzenia własności algebraicznych).
W szczególności, jeśli φ jest monomorfizmem jakiegokolwiek ciała (F , + , ·) w ciało (K , ⊕, ), to ciało F utożsamiamy z podciałem φ(F) ciała K.
W tym sensie zamiast φ( a) będziemy mogli pisać a dla każdego elementu a ze zbioru F. W
takim przypadku będziemy mówili, że φ jest zanurzeniem ciała F w ciało K .
1.4
Wielomiany
Definicja 8 Wielomianem o współczynnikach z ciała K nazywamy wyrażenie α 0 + α 1 ·x + . . . + αn·xn,
gdzie α 0 , α 1 , . . ., αn są ustalonymi elementami ciała K , a x jest zmienną. Czasami wielomian taki będziemy oznaczali krótko jako ϕ( x) .
Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach z ciała K oznaczamy symbolem K[ x].
Wielomiany takie można zapisać w postaci
∞
ϕ( x) = α
X
0 +
αk ·xk,
k=1
13
gdzie tylko skończona liczba współczynników αk jest różna od zera.
Wtedy dla wielomianów ϕ( x) i ψ( x), gdzie
∞
∞
ϕ( x) = α
X
X
0 +
αk ·xk
i
ψ( x) = β 0 +
βk ·xk,
k=1
k=1
sumą i iloczynem wielomianów ϕ( x) i ψ( x) nazywamy wielomiany ( ϕ + ψ)( x) i ( ϕ · ψ)( x), gdzie
∞
( ϕ + ψ)( x) = ( α
X
0 + β 0) +
( αk + βk) ·xk
k=1
∞
( ϕ · ψ)( x) = γ
X
0 +
γk ·xk,
k=1
zaś
k
γ
X
0 = α 0 · β 0
i
γk =
αi · βk−i.
i=0
Teraz już nietrudno sprawdzić, że K[ x] jest pierścieniem przemiennym.
14