WYKŁAD 6
Struktury algebraiczne
Jacek Jędrzejewski
2010/2011
Spis treści
1
Struktury algebraiczne
2
1.1
Iloczyn kartezjański . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Działania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Struktury algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Półgrupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
Grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1
Struktury algebraiczne
1.1
Iloczyn kartezjański
Zakładam, że każdy mój student poznał już pojęcie pary uporządkowanej.
Niemniej dla pełności wykładu przypomnijmy, że parą uporządkowaną o po-przedniku a i następniku b (za Kazimierzem Kuratowskim) nazywamy zbiór
{a}, {a, b} .
Parę tę oznaczamy symbolem ( a, b) .
Z definicji pary uporządkowanej wynika, że
( a, b) = ( c, d) ⇐⇒
a = c ∧ b = d .
Para uporządkowana ( a, b) różni się od zbioru {a, b}, gdyż jeśli a 6= b, to ( a, b) 6= ( b, a)
ale
{a, b} = {b, a}.
Oczywiście, para uporządkowana jest dobrze rozumiana jako ciąg dwuele-
mentowy, jednak do zdefiniowania ciągu konieczna jest poprawna definicja funkcji, a tę musimy umieć zdefiniować bez użycia pojęcia przyporządkowanie (które nie jest terminem ściśle matematycznym. Z tego powodu należy zacząć od przerwania błędnego koła, aby móc z pełną precyzją zdefiniować funkcję, ciąg itd. Dlatego wprowadzamy więc jako jedno z pierwszych pojęcie pary
uporządkowanej. W oparciu o tę ideę można zdefiniować funkcję bez użycia eufemizmów w rodzaju przyporządkowanie.
Trójką uporządkowaną (lub ciągiem trójelementowym) ( a, b, c) nazywamy parę uporządkowaną
( a, b) , c .
Podobnie, n-elementowy ciąg ( a 1 , . . . an), gdzie n > 2, definiujemy jako
a 1 , . . . , an− 1 , an =
a 1 , . . . , an− 1 , an .
2
Definicja 1 Jeśli A i B są dowolnymi zbiorami, to iloczynem kartezjańskim zbioru A i zbioru B, oznaczanym symbolem A×B, nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych ( a, b) takich, że a ∈ A i b ∈ B, czyli
A × B = {( a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} .
Wtedy:
A × B = ∅ ⇐⇒
A = ∅ ∨ B = ∅ .
Podobnie, jak w przypadku ciągów n-elementowych, przyjmujemy nastę-
pującą definicję.
Definicja 2 Jeśli A 1 , A 2 , . . . An, An+1 są dowolnymi zbiorami, to iloczyn kartezjański określamy następująco:
A 1 × A 2 × A 3 = A 1 × A 2 × A 3
A 1 × . . . × An × An+1 = A 1 × . . . × An × An+1 .
Definicja 3 Niech A będzie dowolnym zbiorem oraz n dowolną liczbą naturalną. Wtedy n-tą potęgą zbioru A (n-tą potęgą kartezjańską zbioru A) nazywamy iloczyn
A 1 × . . . × An,
gdzie Ak = A dla każdej liczby naturalnej k ze zbioru { 1 , 2 , . . . , n}.
Iloczyn ten oznaczamy symbolem An. Zbiór A 2 nazywamy kwadratem kartezjańskim zbioru A.
1.2
Działania
Definicja 4 Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym. Dwuargumentowym działaniem wewnętrznym (krótko, działaniem wewnętrznym, lub jesz-cze krócej, działaniem) w zbiorze X nazywamy funkcję
τ : X 2 −→ X.
3
Zamiast zapisu wyniku działania τ dla pary ( a, b) w postaci τ (( a, b)) bę-
dziemy stosowali zapis aτ b.
Dla oznaczania działań w jakimś zbiorze najczęściej stosujemy specjalne
symbole, np. +, ·, •, /, ? , ⊗, ⊥ i tak dalej.
W zbiorze liczb całkowitych Z, dodawanie, mnożenie i odejmowanie są
działaniami wewnętrznymi.
Ponadto, wzory
a ◦ b = a + 2 ·b − 5 ·a·b,
x ? y = − 13 ·x + 7 ·y,
n m = n·m + 5 ·n 2 ,
również określają działania w zbiorze liczb całkowitych.
Stosując oznaczenie działania +, będziemy czytali a+ b jako „suma elementów a i b”, natomiast, gdy działanie jest oznaczone symbolem · , wynik tego działania dla pary ( a, b) będziemy oznaczali a·b lub w skrócie ab i będziemy wynik ten nazywali iloczynem elementów a i b.
Działaniem n-argumentowym w zbiorze X, gdzie n jest pewną liczbą naturalną, nazywamy funkcję określoną w zbiorze Xn i przyjmującą wartości w zbiorze X.
Czasami wygodnie jest traktować ustalony element zbioru X jako działanie zeroargumentowe.
1.3
Struktury algebraiczne
Definicja 5 Strukturą algebraiczną (systemem algebraicznym, czasem algebrą) nazywamy niepusty zbiór wraz z pewną liczbą działań algebraicznych w tym zbiorze.
4
Jeśli w zbiorze X określone są działania ω 1, ω 2, . . . , ωm, to strukturę algebraiczną złożoną ze zbioru X i tych działań oznaczamy symbolem
X, ω 1 , . . . , ωm .
Przykład 1 Przyjmując wcześniej przyjęte oznaczenia możemy zapisać na-stępujące struktury algebraiczne:
(Z , +) , (Z , ·) , (Z , ◦) , (Z , + , ·) , (Z , ◦, ? ) .
Poza przypadkami, gdzie to będzie wyraźnie zaznaczone, działania, roz-
ważane w tej książce, są działaniami dwuargumentowymi, tak więc pisząc
„działanie” będziemy mieli na uwadze właśnie działanie dwuargumentowe.
Definicja 6 Działanie ? w zbiorze X nazywamy działaniem łącznym, jeśli spełniony jest warunek
^
^
^
( a ? b) ? c = a ? ( b ? c) .
a∈X b∈X c∈X
Definicja 7 Działanie ? w zbiorze X nazywamy działaniem przemiennym, jeśli spełnia ono warunek
^
^
a ? b = b ? a .
a∈X b∈X
Definicja 8 Element e, należący do zbioru X, nazywamy elementem lewostronnie neutralnym działania ? w zbiorze X, jeśli
^
e ? x = x .
x∈X
Definicja 9 Element e, należący do zbioru X, nazywamy elementem prawostronnie neutralnym działania ? w zbiorze X, jeśli
^
x ? e = x .
x∈X
5
Definicja 10 Element e nazywamy elementem neutralnym w zbiorze X, jeśli jest on lewostronnie i prawostronnie neutralny, czyli
^
e ? x = x ? e = x .
x∈X
Łatwo zauważamy, że jeśli w zbiorze X z działaniem ? istnieje element neutralny, to jest tylko jeden.
Istotnie, jeśli e i e0 są elementami neutralnymi działania ? w zbiorze X, to e = e ? e0, gdyż e0 jest elementem neutralnym oraz e0 = e ? e0, bowiem e jest elementem neutralnym. Z tych równości wynika więc równość
e = e0.
Jeśli w strukturze algebraicznej ( X, ? ) istnieje element neutralny e dzia-
łania ? , to strukturę tę można zapisać symbolicznie w postaci ( X, ?, e) .
1.4
Półgrupa
Definicja 11 Strukturę algebraiczną, złożoną z niepustego zbioru P i jednego działania łącznego, nazywamy półgrupą.
Innymi słowy, półgrupą nazywamy strukturę algebraiczną (P , ? ), jeśli
^
^
^
( a ? b) ? c = a ? ( b ? c) .
a∈ P b∈ P c∈ P
Półgrupę, w której istnieje element neutralny, nazywamy półgrupą z jedynką lub monoidem.
Półgrupę, w której działanie jest przemienne, nazywamy półgrupą przemienną lub półgrupą abelową.
Element a w półgrupie (P , ? ) z jedynką e nazywamy elementem odwracal-nym, jeśli istnieje element a0 w zbiorze P taki, że
a0 ? a = a ? a0 = e.
Element a0 nazywamy wtedy elementem odwrotnym do elementu a.
6
Warto zaznaczyć, że jeśli element a jest odwracalny, to ma jedyny element odwrotny.
Istotnie, jeśli elementy a0 i ˜
a są elementami odwrotnymi dla elementu a to
a0 = a0 ? e = a0 ? ( a ? a) = ( a0 ? a) ? a = e ? a = a.
e
e
e
e
1.5
Grupy
Strukturę algebraiczną (G , ? ) nazywamy grupą, jeśli spełnione są następujące warunki:
(1)
^
^
^
( a ? b) ? c = a ? ( b ? c) ,
a∈ G b∈ G c∈ G
(2)
_
^
e ? a = a ,
e∈ G a∈ G
(3)
^
_
a ? a = e .
a∈ G a∈ G
Bez większego trudu można udowodnić, że jeśli (G , ? ) jest grupą, to speł-
nione są również warunki:
(4)
^
^
^
( a ? b) ? c = a ? ( b ? c) ,
a∈ G b∈ G c∈ G
(5)
_
^
a ? e0 = a ,
e0∈ G a∈ G
(6)
^
_
a ? a0 = e0
a∈ G a0∈ G
Ponadto e0 = e i a = a0.
Odwrotnie, jeśli struktura (G , ? ) spełnia warunki (4)–(6), to jest grupą w sensie podanej definicji grupy.
7
Istotnie. Załóżmy najpierw, że (G , ? ) jest grupą.
Niech a będzie dowolnym elementem zbioru G .
Istnieje element a w grupie G taki, że a ? a = e.
Dla elementu a również istnieje element a w grupie G taki, że a ? a = e.
e
e
Wtedy
a = e ? a = a ? a ? a = a ? a ? a ,
a zatem
e = a ? a = a ? a ? a ? a
= a ? a ? a ? a = e ? a ? a = a ? a.
e
e
e
Dowodzi to, że a ? a = e.
Udowodnimy teraz warunek:
^
( a ? e = a) .
a∈ G
Niech a będzie dowolnym elementem zbioru G .
Z definicji grupy i powyżej udowodnionej własności wynika, że istnieje
element a w grupie G , taki, że a ? a = e = a ? a.
Zatem
a ? e = a ? ( a ? a) = ( a ? a) ? a = e ? a = a.
Podobnie dowodzi się implikacji odwrotnej.
Z tych rozważań wynika, że:
Struktura algebraiczna (G , ? ) jest grupą wtedy i tylko wtedy, gdy
^
^
^
( a ? b) ? c = a ? ( b ? c) ,
a∈ G b∈ G c∈ G
_
^
e ? a = a = a ? e ,
e∈ G a∈ G
^
_
a ? a = e = a ? a .
a∈ G a∈ G
8
Zazwyczaj działanie w grupie G oznaczamy kropką, zatem warunki grupy zapiszemy w postaci
^
^
^
( a · b) · c = a · ( b · c) ,
a∈ G b∈ G c∈ G
_
^
e · a = a = a · e ,
e∈ G a∈ G
^
_
a · a = e = a · a
a∈ G a∈ G
Pomijając kropki, jak to zwykle czynimy, mamy:
^
^
^
( ab) c = a( bc) ,
a∈ G b∈ G c∈ G
_
^
ea = a = ae ,
e∈ G a∈ G
^
_
aa = e = aa .
a∈ G a∈ G
Element neutralny grupy nazywamy czasem jedynką grupy; gdy działanie w grupie oznaczamy znakiem +, taki element neutralny nazywamy zerem
grupy.
Z powyższych rozważań wynika, że każdy element grupy jest odwracal-
ny, element a nazywamy elementem odwrotnym do elementu a i oznaczamy symbolem a− 1 .
Przykład 2 Bez trudu zauważamy, że zbiór liczb całkowitych z dodawaniem tworzy grupę. Również zbiór liczb rzeczywistych z dodawaniem tworzy grupę, natomiast zbiór liczb naturalnych z dodawaniem nie jest grupą; jest „zaledwie” półgrupą.
Przykład 3 Bez trudu zauważamy, że zbiór liczb całkowitych z dodawaniem tworzy grupę. Również zbiór liczb rzeczywistych z dodawaniem tworzy grupę, natomiast zbiór liczb naturalnych z dodawaniem nie jest grupą; jest też
„zaledwie” półgrupą.
9
Przykład 4 Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich z mnożeniem jest grupą.
Przykład 5 Również zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera z mnożeniem jest grupą.
Definicja 12 Grupę nazywamy przemienną (abelową) , jeśli działanie w tej grupie jest przemienne.
Jeśli (G , ·) jest grupą, to
(7)
^
a− 1 − 1 = a ,
a∈ G
− 1
(8)
^
^
ab
= b− 1 a− 1 ,
a∈ G b∈ G
(9)
^
^
^
ab = ac = ⇒ b = c ,
a∈ G b∈ G c∈ G
(10)
^
^
^
ba = ca = ⇒ b = c ,
a∈ G b∈ G c∈ G
(11)
^
^
_
_
ax = b ∧ ya = b .
a∈ G b∈ G x∈ G y∈ G
D o w ó d. Warunek (7) wynika bezpośrednio z definicji elementu odwrot-
nego.
Ad. (8). Niech a i b będą dowolnymi elementami grupy G .
Wtedy
( ab) · b− 1 · a− 1 = a · b · b− 1 · a− 1 = a ·
bb− 1 · a− 1 =
= a ea− 1 = aa− 1 = e,
co dowodzi warunku (8).
10
Niech teraz a, b oraz c będą dowolnymi elementami grupy G .
Jeśli ab = ac, to również
a− 1 · ( ab) = a− 1 · ( ac) , więc
a− 1 · a · b = a− 1 · a · c,
zatem eb = ec, czyli b = c.
Dowód warunku (10) jest analogiczny.
Ad. (11).
Niech a i b będą dowolnymi elementami tej grupy.
Wtedy element a− 1 · b jest elementem grupy G i
a · a− 1 · b = aa− 1 · b = eb = b, co oznacza, że element a− 1 ·b jest rozwiązaniem równania ax = b.
Podobnie, element ba− 1 jest elementem grupy G i
b·a− 1 · a = b· a− 1 · a = be = b, co oznacza, że element b·a− 1 jest rozwiązaniem równania ya = b.
Zauważmy, że, na podstawie (9) i (10), każde z równań ax = b i ya = b ma jedno rozwiązanie w grupie G .
Istotnie. Niech a i b będą dowolnymi elementami grupy (G , ·).
Wtedy jeśli x 1 i x 2 są rozwiązaniami równania ax = b, czyli ax 1 = b i ax 2 = b, to ax 1 = ax 2, skąd wynika równość x 1 = x 2 .
Ostatni warunek powyższego twierdzenia można wzmocnić, uzyskując na-
stępujące twierdzenie.
Twierdzenie 1 Półgrupa (G , ·) jest grupą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każ-
dych elementów a i b ze zbioru G istnieją rozwiązania równań ax = b
oraz
ya = b.
11
Definicja 13 Niepusty podzbiór H grupy (G , ·) nazywamy podgrupą, jeśli zbiór H z działaniem · ( obciętym do zbioru H × H ) jest grupą.
Twierdzenie 2 Niepusty podzbiór H grupy (G , ·) jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy
^
^ a·b ∈ H ,
a∈ H b∈ H
^
a− 1 ∈ H .
a∈ H
D o w ó d. Oczywiście, jeśli H jest podgrupą, to spełnione są powyższe
warunki.
Jeśli spełnione są powyższe warunki, to z warunku pierwszego wynika, że
funkcja ·| H × H jest działaniem w zbiorze H .
Oczywiście, jest to działanie łączne, gdyż dla większego zbioru spełniony jest warunek łączności.
Drugi warunek stwierdza, że każdy element zbioru H ma element odwrot-
ny (w zbiorze G ) należący do zbioru H .
Pozostaje nam udowodnić, że element neutralny grupy G należy też do
zbioru H .
Ponieważ zbiór H jest niepusty, więc istnieje w tym zbiorze jakiś element a.
Wtedy, z pierwszego z powyższych warunków, wynika, że
e = a · a− 1 ∈ H ,
skąd wnioskujemy, że (H , ·) jest grupą, czyli podgrupą grupy G .
Twierdzenie 3 Niepusty podzbiór H grupy (G , ·) jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy
^
^ a·b− 1 ∈ H .
a∈ H b∈ H
12
Twierdzenie 4 Skończony niepusty podzbiór H grupy (G , ·) jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy
^
^ a·b ∈ H .
a∈ H b∈ H
Definicja 14 Niech (G , ·) i (H , ◦) będą grupami. Funkcję φ : G −→ H nazywamy homomorfizmem, jeśli dla każdych dwóch elementów a i b ze zbioru G spełniony jest warunek
φ( a · b) = φ( a) ◦ φ( b) .
Definicja 15 Jeśli (G , ·) i (H , ◦) są grupami, to funkcję φ : G −→ H nazywamy izomorfizmem, jeśli φ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną i dla każdych dwóch elementów a i b ze zbioru G spełniony jest warunek φ( a · b) = φ( a) ◦ φ( b) .
Tak więc wzajemnie jednoznaczny homomorfizm grupy G na grupę H
nazywamy izomorfizmem grupy G na grupę H .
13